5.2平面向量的数量积高考数学高考数学一、平面向量的数量积一、平面向量的数量积知识清单二、向量数量积的性质二、向量数量积的性质设a、b都是非零向量,是a与b的夹角,则(1)abab=0.(2)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(3)cos=.三、平面向量数量积的坐标表示三、平面向量数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.拓展延伸(1)当a0时,由ab=0不一定推出b=0,这是因为对任一个与a垂直的向量b,都有ab=0.当a0时,由ab=ac也不一定推出b=c,这是因为由ab=ac得a(b-c)=0,则b=c或a与(b-c)垂直.(2)数量积的运算不满足结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,a(bc)表示一个与a共线的向量,这两个向量不一定相等. 平面向量的夹角与模平面向量的夹角与模1.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算,即先平方再开方.2.求a与b的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们的关系,并且要注意两向量夹角的范围,不共线的两个向量的数量积大于零说明两向量的夹角为锐角,数量积小于零说明两向量的夹角为钝角.例1(2017江苏泰州中学摸底)向量a=(cos10,sin10),b=(cos70,sin70),则|a-2b|=.方法技巧方法1解析ab=cos70cos10+sin70sin10=cos60=,易求得|a|=|b|=1,所以|a-2b|=.答案例2设a,b为两个非零向量,且满足|a|+|b|=2,2ab=a2b2,则向量a,b的夹角的最小值为.解析设a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos.由2ab=a2b2=|a|2|b|2,得cos=.而|a|b|=1(当且仅当|a|=|b|时“=”成立),所以cos,因为0,所以,故向量a,b夹角的最小值为.答案 平面向量的综合应用平面向量的综合应用1.解决平面向量综合应用问题最基本的策略就是利用平面向量的定义和运算法则将问题转化为熟知的数学问题来解决,转化时要准确.2.对于平面向量与三角函数、几何等的综合应用问题,坐标化是最基本的方法,应该熟练掌握平面向量的坐标运算,这是进行灵活转化的基础.例3(2013天津,12,5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=1,则AB的长为.方法2解析由题意可知,=+,=-+.因为=1,所以(+)=1.即+-=1.因为|=1,BAD=60,所以=|,因此式可化为1+|-|2=1.解得|=0(舍去)或,所以AB的长为.答案例4(1)已知ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=,=(1-),R.若=-,则=.(2)(2017江苏丹阳期中,12)在平面直角坐标系中,A(0,0),B(1,2)两点绕定点P顺时针方向旋转后,分别到A(4,4),B(5,2)的位置,则cos的值为.解析(1)如图,=-,=-,=-,(-)(-)=-,-+=-.又=,=(1-),(1-)-(1-)-+=-.(*)ABC为等边三角形,且|=|=|=2,=|cos60=22=2,|2=4,|2=4,代入(*)式得42-4+1=0,即(2-1)2=0,=.(2)由题设知P在AA和BB的中垂线上,由A(0,0),A(4,4),可求得AA的中垂线方程为y=-x+4,同理求得BB的中垂线方程为x=3,从而得P(3,1),易知=APA,=(-3,-1),=(1,3),所以=-6,|=|=,所以cos=-.答案(1)(2)-