第四节第四节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点一一 曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义二二 曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定三三 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法问题问题 如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方一、一、 曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义定义定义内的图形是凸的。内的图形是凸的。在在那末称那末称如果如果恒有恒有凹弧凹弧： 曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。凸弧凸弧： 曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。定理定理1 1二、二、 曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定任取两点任取两点证明证明: (1)分析分析：要证要证即证即证两式相加为两式相加为：即证：即证：事实上事实上：同理可证明同理可证明(2(2）而而)( 0)()(2112x xx xx xx x - - ff例例1 1解：解：注意注意,1.1.定义定义注注1 1 拐点处有切线时，切线拐点处有切线时，切线 必在拐点处穿过曲线。必在拐点处穿过曲线。三、三、 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法注注2 2证：证：2. 2. 拐点的必要条件拐点的必要条件由可导函数取得极值的条件由可导函数取得极值的条件，3. 3. 拐点的求法拐点的求法方法方法1例例2 2解：解：凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点例例3 3解解：方法方法2 2注意注意例例4 4解：解：