自来水的水管为什么是圆的？自来水的水管为什么是圆的？猫在冬天为什么喜猫在冬天为什么喜欢抱成一团睡觉？欢抱成一团睡觉？笔尖上的行星笔尖上的行星海王星海王星第一章第一章 1.1 1.1 正数和负数正数和负数 在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运算的问题例如：数的运算的问题例如： 1、 天气预报天气预报2007年年11月某天北京的温度为月某天北京的温度为:33C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？是多少？ 在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运算的问题例如：数的运算的问题例如： 这天的最高温度是零上这天的最高温度是零上3C，最低温度是零下，最低温度是零下3C，温差是，温差是6C 2、有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队、有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1），黄队胜蓝队（），黄队胜蓝队（1：0），蓝队胜红队（），蓝队胜红队（1：0），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？ 3、某机器零件的长度设计为、某机器零件的长度设计为100mm,加工图加工图纸标注的尺寸为纸标注的尺寸为100 0.5（mm），这里的），这里的 0.5代表什么意思？合格产品的长度范围是多少代表什么意思？合格产品的长度范围是多少 ？这里出现了一种新数：这里出现了一种新数：这里出现了一种新数：这里出现了一种新数：-3-3 表示零下表示零下表示零下表示零下3 3摄氏度，摄氏度，摄氏度，摄氏度，-2-2 表示净输表示净输表示净输表示净输2 2球，球，球，球，-0.5-0.5 表示小于设计尺寸表示小于设计尺寸表示小于设计尺寸表示小于设计尺寸0.5mm0.5mm而：而：3 表示零上表示零上3摄氏度，摄氏度，2 表示净胜表示净胜2球，球，+0.5 表示大于设计尺寸表示大于设计尺寸0.5mm 像像-3，-2, -0.5 , 这样的数（即以前学过这样的数（即以前学过的的0以外的数前面加上负号以外的数前面加上负号“-”的数叫做的数叫做负数负数 而在小学学过的除而在小学学过的除“0”以外的数都叫以外的数都叫正数正数 为了突出数的符号为了突出数的符号,可以在正数的前面加可以在正数的前面加“+”号，如号，如+5, + ，+1.2, 我们常常用我们常常用正数和负数正数和负数表示一些表示一些意义相反的量意义相反的量!0既不是正数既不是正数,也不是负数也不是负数.观察下图，试着说明它们的海拔高度观察下图，试着说明它们的海拔高度 珠穆朗玛峰的海拔高度为珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，鲁番盆地的米，鲁番盆地的海拔高度为海拔高度为-155米米0 （1）一个月内，小明体重增加）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减，小华体重减少少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；长值；例题例题 解：（解：（1）这个月小明体重增长）这个月小明体重增长2kg，小华体重，小华体重增长增长-1kg，小强体重增长，小强体重增长0kg （2）2006年下列国家的商品进出口总额比上年的年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：变化情况是： 美国减少美国减少6.4%， 德国增长德国增长1.3%， 法国减少法国减少2.4%， 英国减少英国减少3.5%， 意大利增长意大利增长0.2%，中国增长，中国增长7.5% 写出这些国家写出这些国家2006年商品进出口总额的增长率年商品进出口总额的增长率例题例题解：六个国家解：六个国家2006年商品出口总额的增长率：年商品出口总额的增长率：美国美国 -6.4%， 德国德国 1.3%，法国法国 -2.4%， 英国英国 -3.5%， 意大利意大利 0.2%， 中国中国 7.5%课堂练习课堂练习 （1 1）如果零上）如果零上）如果零上）如果零上5C5C记作记作记作记作+5 C+5 C，那么零下，那么零下，那么零下，那么零下3C3C记记记记作什么？作什么？作什么？作什么？ （2 2）东、西为两个相反方向，如果）东、西为两个相反方向，如果）东、西为两个相反方向，如果）东、西为两个相反方向，如果- 4- 4米表示一米表示一米表示一米表示一个物体向西运动个物体向西运动个物体向西运动个物体向西运动4 4米，那么米，那么米，那么米，那么+2+2米表示什么？物体米表示什么？物体米表示什么？物体米表示什么？物体原地不动记为什么？原地不动记为什么？原地不动记为什么？原地不动记为什么？ （3 3）某仓库运进面粉）某仓库运进面粉）某仓库运进面粉）某仓库运进面粉7.57.5吨记作吨记作吨记作吨记作+7.5+7.5吨吨吨吨, , 那么那么那么那么运出运出运出运出3.83.8吨应记作什么吨应记作什么吨应记作什么吨应记作什么? ? 解解:（1）零下）零下3C记作记作-3C（2） +2米表示一个物体向东运动米表示一个物体向东运动2米；米； 物体原地不动记为物体原地不动记为0米米 （3）运出）运出3.8吨应记作吨应记作- 3.8吨吨课堂练习课堂练习问题问题: :正负数与相反意义的量之间是什么关系？正负数与相反意义的量之间是什么关系？问题问题: :这种关系说明了什么？这种关系说明了什么？1 1、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。2 2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。1、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。1、如果将+8元计为收入8元，则-6元表示_。2、高出海平面789米计为789米，则-789米表示_。3、减少60千克计为60千克，则+80千克表示_。4、把公元2008年记作+2008年，那么-20年表示_。2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。1、零下15，表示为_ ，比O低4的温度是_ 。2、正表示向西，则负表示为_。3、粮食产量增产11，记作+11，则减产6应记作_。 4、某天中午11时的温度是11，早晨6时气温比中午11时低7， 则早晨6时温度为_，若早晨4时气温比中午11时低13， 则早晨4时温度为_。支出6元低于海平面789米增加80千克公元前20年15 4东 6 4 22、若将28计为0，则可以将27计为1，试猜想若将27计 为0，28应计为。1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考 了85分，记作+2分，得90分应记作_，得80分应 记作_ 。3如果向东走12米记作+12米，则向西走120米记作_米。4如果向东走12米记作12米，则向西走120米记作_米。5如果向东走12米记作_米，则向西走120米记作_米。+7分3分+1120+1201、一种零件的内径尺寸在图纸上是300.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸_毫米，最小不低于标准尺寸_毫米2、味精袋上标有“5005克”字样中，+5表示_，-5表示_ 3、张阿姨在超市买了一袋洗衣粉，发现包装袋上标有这样一段字条：净重：8005g张阿姨怎么也看不明白是什么意思你能给她解释清楚吗？小结：小结：（1 1）正数和负数是表示一些意义相反的量；）正数和负数是表示一些意义相反的量；）正数和负数是表示一些意义相反的量；）正数和负数是表示一些意义相反的量；（2）零既不是正数也不是负数）零既不是正数也不是负数 1.2 有理数问题问题1：什么是正数？什么是负数？：什么是正数？什么是负数？0是正数吗，是正数吗，0是负数吗？是负数吗？问题问题2：正数与负数之间具有什么意义？：正数与负数之间具有什么意义？问题问题3：你能再举出一些用正、负数表示数量的实例吗？：你能再举出一些用正、负数表示数量的实例吗？答案：例如答案：例如5，2.5，0.5我们把这样带有正号的数叫做正数（正我们把这样带有正号的数叫做正数（正号可以省略不写）号可以省略不写）.例如：例如：3，2.5，0.1我们把带有负号的数我们把带有负号的数叫做负数叫做负数. 0即不是正数也不是负数即不是正数也不是负数.正数与负数表示是具有相反意义正数与负数表示是具有相反意义.例如：存入银行例如：存入银行1500元，记作元，记作1500元，支出元，支出500元，元，记作记作500元元.按整数、分数分类：按符号分类：整数分数正整数0负整数正分数负分数自然数正有理数0负有理数正整数负整数正分数负分数有理数有理数整数：整数：正整数、正整数、0、负整数统称整数。、负整数统称整数。分数：分数：正分数和负分数统称分数。正分数和负分数统称分数。有理数：有理数：整数和分数统称有理数。整数和分数统称有理数。例1：把 下列各数填入相应的集合内： 正数集合整数集合负分数集合非负整数集合整数集合 分数集合 负分数集合 非负数集合 非正数集合 有理数集合 例例3：判断题：判断题：（1）零不是整数，也不是正数。）零不是整数，也不是正数。（2）自然数一定是整数。）自然数一定是整数。（3） 一个数，如果不是正数，必定就是负数；一个数，如果不是正数，必定就是负数；（4） 一个数，不是整数，必定就是分数；一个数，不是整数，必定就是分数；（5） 在有理数中，是负数而不是分数的是负整数；在有理数中，是负数而不是分数的是负整数；（6）在有理数中，是整数而不是正数的是负整数）在有理数中，是整数而不是正数的是负整数。 1.有理数中，最大的负整数是；最小的正整数是；最小的非负整数是；最大的非正数是；最大的负偶数是-2.图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请分别在图中的三部分中各填入请分别在图中的三部分中各填入3个数个数.你能说你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗出这个重叠部分表示什么数的集合吗?正数集合整数集合 3.判断题：判断题：（1）零是正数）零是正数.（2）零是整数）零是整数.（3）零是最小的有理数）零是最小的有理数. (4) 零是非负数零是非负数. (5) 零是偶数零是偶数. 1.3 有理数的加减法小明在一条东西向的跑道上，先走了小明在一条东西向的跑道上，先走了2020米，又走米，又走了了3030米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？与原来位置相距多少米？1. 1.若两次都向东，一共向东走了：若两次都向东，一共向东走了：( ( 20)20) ( ( 30)30)5050米米即小明位于原来位置的东即小明位于原来位置的东方方5050米处米处2. 2.若两次都向西，一共向西走了：若两次都向西，一共向西走了：( ( 20)20) ( ( 30)30)5050米米即小明位于原来位置的西方即小明位于原来位置的西方5050米处米处3. 3.若第一次向东走若第一次向东走2020米，第二次向西走米，第二次向西走3030米，米，( ( 20)20) ( ( 30)30)1010米即小明位于原来位置的西方米即小明位于原来位置的西方1010米处米处4. 4.若第一次向西走若第一次向西走2020米，第二次向东走米，第二次向东走3030米，米，( ( 20)20) ( ( 30)30)1010米即小明位于原来位米即小明位于原来位置的置的东方东方1010米处米处5.5. 若第一次向西走若第一次向西走3030米，第二次向东走米，第二次向东走3030米，米，( ( 30)30) ( ( 30)30) 0 06. 6.若第一次向西走若第一次向西走3030米，第二次没走米，第二次没走 ，( ( 30)30) 0 03030 有理数的加法法则有理数的加法法则有理数的加法法则有理数的加法法则: :（1 1）同号两数相加）同号两数相加, ,取相同的符号取相同的符号, ,并把绝对值相加并把绝对值相加; ;（2 2）绝对值不等的异号两数相加）绝对值不等的异号两数相加, ,取绝对值较大的加取绝对值较大的加数的符号数的符号, ,并用较大的绝对值减去较小的绝对值并用较大的绝对值减去较小的绝对值; ;（3 3）互为相反数的两个数相加得零）互为相反数的两个数相加得零; ;（4 4）一个数同零相加）一个数同零相加, ,仍得这个数仍得这个数. . 例例例例11 若若 x x 3 3 与与 y y 2 2 互为相反数，求互为相反数，求x x y y的值的值 解：解： x3 y 2 0， x 3, y2 xy(3)(2)5 例例例例22 两个加数的和一定大于其中一个加数吗两个加数的和一定大于其中一个加数吗? ?答案为：不一定。例例3若a 15,b 8,且ab,求ab解：解：解：解：a a15, 15, b b= = 8, 8, a a b b 则则 a a 15, 15, b b8,8, 当当 a a 15, 15, b b 8 8时，时， a a b b 2323 当当 a a 15, 15, b b8 8时，时， a a b b 7 7有理数的减法有理数的减法法则有理数的减法法则有理数的减法法则有理数的减法法则: : : :减去一个数减去一个数, ,等于加上这个数的相反数等于加上这个数的相反数. . 例例例例11 全班学生分成全班学生分成6 6个组进行游戏个组进行游戏, ,每组的基分为每组的基分为100100分分答对一题加答对一题加5050分分, ,错一题扣错一题扣5050分分. .游戏结束时游戏结束时, ,各组的分数如下各组的分数如下: :(1)(1)第一名超过第二名多少分第一名超过第二名多少分?(2)(2)第一名超过第六名多少分第一名超过第六名多少分?第一组第一组第二组第二组第三组第三组第四组第四组第五组第五组第六组第六组2002005050350350 200200 100100150150350350 200200 150150350350 ( ( 200)200) 350350 200200 550550例例2某日长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下:问:哪个城市的温差最大?哪个城市的温差最小?城市城市哈尔滨哈尔滨长春长春沈阳沈阳北京北京大连大连最高气温最高气温2 23 33 312126 6最低气温最低气温 1212 1010 8 82 2 2 2哈尔滨大连例例例例55 计算计算 1111 7 7 9 9 6 6 解解: :原式原式1111 ( ( 7)7) ( ( 9)9) 6 6 2727 6 6 2121例例6已知a4,b5,c7,求代数式abc的值解解: : 原式原式 a a b b c c ( ( 4)4) ( ( 5)5) ( ( 7)7) 8 8 例例例例77若若a a 0,0,b b 0,0,试求试求 a a b b 1 1 b b a a 1 1 的值的值解解: : a a b b 1 1 b b a a 1 1 a a b b 1 1 ( (b b a a 1)1) a a b b 1 1 b b a a 1 1 0 0 例例例例88（1 1） 两个负数的和为两个负数的和为a a, ,他们的差为他们的差为b b, ,则则a a与与b b的大小的大小关系关系是（）是（）A.A.a a b bB.B.a a b bC.C.a a b bD.D.a a b b（2 2） 已知已知b b 0 0，a a 0, 0,则则a a，a a b b，a a+ +b b的大小关系是的大小关系是 ()() A.A.a a a a b b a a b bB.B.a a b b a a a a b b C.C.a a b b a a b b a aD.D.a a b b a a a a b b 例例例例99点点A A，B B在数轴上分别是表示有理数在数轴上分别是表示有理数a a，b b, ,A A，B B两两点间的距离表示为点间的距离表示为 AB AB a a b b 回答下列问题：回答下列问题：（1 1）数轴上表示）数轴上表示2 2和和5 5的两点间的距离是：的两点间的距离是：（2 2）数轴上表示）数轴上表示 2 2和和 5 5的两点间的距离是：的两点间的距离是：（3 3）数轴上表示）数轴上表示1 1和和 3 3的两点间的距离是：的两点间的距离是：（4 4）数轴上表示）数轴上表示x x和和 1 1的两点间的距离是：的两点间的距离是：, ,如果如果 AB AB 2 2，那么，那么x x 2 5 3 2 ( 5) 3 1 ( 3) 4 x 1 1或或 3有理数的加减混合运算1 1有理数加减法统一成加法的意义有理数加减法统一成加法的意义有理数加减法统一成加法的意义有理数加减法统一成加法的意义(1)(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减 法法转化为加法，统一成只有加法运算的和式，转化为加法，统一成只有加法运算的和式，如如( ( 12)12) ( ( 8)8) ( ( 6)6) ( ( 5)5) ( ( 12)12) ( ( 8)8) ( ( 6)6) ( ( 5)5)(2)(2)在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省l l略略不写，写成省略加号的和的形式：不写，写成省略加号的和的形式：如如( ( 12)12) ( ( 8)8) ( ( 6)6) ( ( 5)5)1212 8 8 6 6 5 5(3)(3)和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作 1212， 8 8， 6 6， 5 5的和的和； 二是按运算的意义，读作负二是按运算的意义，读作负1212，减，减8 8，减，减6 6，加，加5 52 2有理数加减混合运算的方法和步骤：有理数加减混合运算的方法和步骤：有理数加减混合运算的方法和步骤：有理数加减混合运算的方法和步骤：（1 1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号和加号（2 2）运用加法法则，加法运算律进行简便运算）运用加法法则，加法运算律进行简便运算 例例例例11 计算：计算：( ( 10)10) ( ( 13)13) ( ( 4)4) ( ( 9)9) 6 6解原式解原式1010 ( ( 13)13) ( ( 4)4) ( ( 9)9) 6 6 1212例例2计算解：原式 例例例例3 3 把把算式省略加号代数和算式省略加号代数和, ,并计算出结果并计算出结果. .解算式解算式例例4填空（1）比小2的数是_,比大3的数是_.（2）6 xy 的最大值_,此时x与y是什么关系_（3）如果 a 4, b 8，a与b异号,则ab_ 例例例例44 填空填空（1 1）比）比小小2 2的数是的数是_,_,比比大大 3 3的数是的数是_._.（2 2）6 6 x x y y 的最大值是的最大值是66, ,此时此时 x x与与y y是什是什么关系么关系x x y y . .（3 3）如果）如果 a a 4,4, b b 8 8，a a与与b b异号异号, ,则则a a b b 12,12, 1212. . 例例例例55 求值求值: :若若a a与与 3 3的相反数的和为的相反数的和为 1,1,b b的绝对值的绝对值等于等于2,2,c c6,6,求代数式求代数式 a a b b c c的值的值解解: :a a 3 31,1,a a4,4, b b 2,2,b b2 2a a b b c c4 4 2 2 6 61212a a b b c c4 4 2 2 6 68 8 小明的家在学校西边小明的家在学校西边3Km处，小丽的家在学处，小丽的家在学校东边校东边2Km处。处。-3-2 -101232你能建立数轴恰当表示他们的位置吗？你能建立数轴恰当表示他们的位置吗？假如他们步行的速度相同，谁先到学校？假如他们步行的速度相同，谁先到学校？为什么？为什么？ 数轴上表示一个数的点与原点的数轴上表示一个数的点与原点的距离距离，叫做这个数的叫做这个数的绝对值绝对值。例如例如：表示表示-3的点与原点的距离是的点与原点的距离是 ，-3-2 -101232所以所以-3的绝对值是的绝对值是 ；表示表示2的点与原点的距离是的点与原点的距离是 ，表示表示0的点与原点的距离是的点与原点的距离是 ，所以所以2的绝对值是的绝对值是 ；所以所以0的绝对值是的绝对值是 。 如图，你能说出数轴上如图，你能说出数轴上A、B、C、D、E、F各各点所表示的数的绝对值吗？点所表示的数的绝对值吗？点点点所表示的数点所表示的数点到原点的点到原点的距离距离数的绝对值数的绝对值A AB BC CD DE E0 01 12 23 34 45 5-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5A AB BC CD DE EF FF F绝对值的表示方法绝对值的表示方法4的绝对值的绝对值表示为表示为:-3.5的绝对值的绝对值表示为表示为:0的绝对值的绝对值表示为表示为: 4 =4 -3.5 0 =3.5=0例例.比较比较-3与与-6的绝对值的大小的绝对值的大小.-3 =， -6 =36 -3 - 即即-3的绝对值的绝对值小于小于-6的绝对值的绝对值。36-5-4 -3-2-10-6解：解：一一.回答下列问题回答下列问题:1.说出说出 表示的意义表示的意义.2.到原点距离为到原点距离为3的数是的数是 .3.绝对值为绝对值为3的数是的数是 .4.绝对值为绝对值为-3的数是的数是 .5.“任何数的绝对值都是正数任何数的绝对值都是正数”的说法对的说法对吗吗?6.最小的绝对值为最小的绝对值为 .7.绝对值最小的数是绝对值最小的数是 .8.绝对值小于绝对值小于4.5的整数是的整数是.9.绝对值不大于绝对值不大于3的整数是的整数是 .