直到现在为止，我们始终是直到现在为止，我们始终是纯形式纯形式地讨论多地讨论多项式，也就是把多项式看作项式，也就是把多项式看作形式的表达式形式的表达式 . 现在现在在这一节，我们将从另一个观点，即在这一节，我们将从另一个观点，即函数的观点函数的观点来考察多项式来考察多项式.设设(1)是是Px中的多项式，中的多项式，a是数域是数域P中的中的数数，在，在 (1)中用中用a代替代替x所得的数所得的数为为:第七节第七节 多项式函数多项式函数上页上页下页下页返回返回称为称为f(x)当当x=a 时的值时的值，记为，记为f(a) . 上页上页下页下页返回返回 这样一来，多项式这样一来，多项式f(x)就定义了就定义了一个数域一个数域P上上的函数的函数. . 可以由一个多项式来定义的函数称为可以由一个多项式来定义的函数称为数域数域P上上的的多项式函数多项式函数. . 当当P是实数域时，这就是数学分析是实数域时，这就是数学分析中所讨论的多项式函数中所讨论的多项式函数. . 因为因为x在在与与数域数域P中的中的数数进行进行运算运算时时适合与数适合与数的运算相同的运算规律的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果，所以不难看出，如果 上页上页下页下页返回返回那么那么 利用带余除法，我们得到下面常用的定理：利用带余除法，我们得到下面常用的定理：定理定理7 7（余数定理余数定理） 用一个多项式用一个多项式x- -a去除多项去除多项式式f(x)所得的所得的余式是一个常数余式是一个常数，这个常数等于函数，这个常数等于函数值值f(a) .证明证明 用用x- -a去除去除f(x)，设商为，设商为q(x)，余式为一常数，余式为一常数c，于是，于是上页上页下页下页返回返回以以a代代x得得 f(a)=c . . 证毕证毕. . 如果如果f(x)在在x= =a时函数值时函数值f(a)=0 ，那么，那么a就称为就称为f(x)的一个的一个根根或或零点零点. . 由余数定理我们得到由余数定理我们得到根与一次因式的关系根与一次因式的关系：推论推论 a是是f(x)的的根根的的充分必要条件充分必要条件是是 (x- -a)|f(x) . 由这个关系，我们可以定义重根的概念由这个关系，我们可以定义重根的概念. . a称称为为f(x)的的k重根重根，如果，如果x- -a是是f(x)的的k重因式重因式. .当当k=1时，时，a称为称为单根单根，当，当k1时，时，a称为称为重根重根. .上页上页下页下页返回返回例例 问问k取何值时，取何值时，多项式多项式上页上页下页下页返回返回有重根？有重根？解解 f(x)有重根的有重根的充分必要条件是充分必要条件是f(x)与与 不互素不互素. . 由于由于 ，故用，故用 除除f(x) ，可得，可得余式为余式为再用再用r1(x)去除去除 ，得余式为，得余式为上页上页下页下页返回返回f(x)与与 不互素不互素的的充分必要条件是充分必要条件是 r1(x)=0 或或r2(x)=0，亦即，亦即k=3或或 . .即即 k=3或或 时，时，多项式多项式f(x)有重根有重根. 设设f(x)是一个次数是一个次数0 0的多项式的多项式. . 把把f(x)分解成不分解成不可约多项式的乘积可约多项式的乘积. . 由上面的推论与根的重数的定由上面的推论与根的重数的定义，显然义，显然 f(x)在数域在数域P 中中根的个数根的个数等于分解式中一等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过次因式的个数，这个数目当然不超过n . . 上页上页下页下页返回返回定理定理8 8 Px中中n次多项式次多项式( (n0) )在数域在数域P中的根不中的根不可能多于可能多于n个，重根按重数计算个，重根按重数计算 . .证明证明 对零次多项式定理显然成立对零次多项式定理显然成立. .上页上页下页下页返回返回 在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义个多项式来定义. . 不同的多项式会不会定义出不同不同的多项式会不会定义出不同的函数呢？的函数呢？这就是问，是否可能有这就是问，是否可能有而对于而对于P中中所有的数所有的数 a 都有都有 f(x)g(x)由定理由定理8 不难对这个问题不难对这个问题给出给出一个一个否定的回答否定的回答. . f(a)=g(a) ？定理定理9 9 如果多项式如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过的次数都不超过n，而，而它们对它们对n+1个不同的数个不同的数 a1,a2, , an+1 有相同的有相同的值，即值，即 f(ai)=g(ai) i= 1,2, ,n+1 那么那么 f(x)=g(x) .上页上页下页下页返回返回证明证明 由定理的条件由定理的条件, ,有有这就是说多项式这就是说多项式f(x)- -g(x)有有n+1个不同的根个不同的根. . 如果如果f(x)- -g(x) 0，那么它就是一个次数不超过那么它就是一个次数不超过 n 的多项的多项式，但由定理式，但由定理8，它不可能有，它不可能有n+1个根个根. .因此只能因此只能 f(ai)- -g(ai)=0 i= 1,2, ,n+1 f(x)= =g(x) . 证毕证毕. . 因为数域因为数域P中有无穷多个数，所以定理中有无穷多个数，所以定理 9 说说明了，明了，不同的多项式定义的函数也不相同不同的多项式定义的函数也不相同. 如果如果两个多项式定义相同的函数，就把这两个多项式定义相同的函数，就把这两个多项式两个多项式称为称为恒等恒等，上面的结论表明，上面的结论表明，多项式的恒等与多多项式的恒等与多项式的相等实际上是一致的项式的相等实际上是一致的. 换句话说，换句话说，数域上数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理作为函数来处理 . 但是应该指出，考虑到今后的但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些多项式看成形式表达式要方便些.上页上页下页下页返回返回