第3课时 数学归纳法证明一个与正整数证明一个与正整数n有关的命题，可有关的命题，可按下列步骤进行：按下列步骤进行：(1)(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n取第一个值取第一个值n0(n0N*)时命题成立；时命题成立；(2)(归纳递推归纳递推)假设假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当nk1时命题也成时命题也成立立只要完成这两个步骤，就可以断定命只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从题对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立基础知识梳理基础知识梳理上述证明方法叫做数学归纳法用上述证明方法叫做数学归纳法用框图表示就是：框图表示就是：基础知识梳理基础知识梳理1数学归纳法适用于证明数学归纳法适用于证明_类型的命题类型的命题()A已知已知结论结论B结论结论已知已知C直接证明比较困难直接证明比较困难 D与正整数有关与正整数有关答案答案：D三基能力强化三基能力强化A1 B2C3 D0答案答案：C三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化答案答案：D三基能力强化三基能力强化答案答案：2k三基能力强化三基能力强化5记凸记凸k边形的内角和为边形的内角和为f(k)，则，则凸凸k1边形的内角和边形的内角和f(k1)f(k)_.答案答案：三基能力强化三基能力强化用数学归纳法证明恒等式的关键是用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明在证明nk1时命题成立，要从时命题成立，要从nk1时待证的目标恒等式的一端时待证的目标恒等式的一端“拼凑拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用标恒等式的另一端的变化，即用“k1”替换恒等式中的所有替换恒等式中的所有“n”课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1【思路点拨思路点拨】证明等式是数学证明等式是数学归纳法的应用之一，证明时，较为困归纳法的应用之一，证明时，较为困难的是第二步，首先要弄清等式两边难的是第二步，首先要弄清等式两边的构成规律，然后证明当的构成规律，然后证明当n1时命题时命题成立，再证如果成立，再证如果nk时命题成立，那时命题成立，那么么nk1时命题也成立时命题也成立课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练那么那么(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)课堂互动讲练课堂互动讲练当当nk1时等式成立时等式成立由由(1)(2)知，对任意知，对任意nN*等式成立等式成立课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示误区警示】当当nk1时易错时易错写成写成(k21)2(k222)(k1)(k1)2(k1)2整除问题是常见数学问题，除了在二项整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是除性问题时，关键是“凑项凑项”，采用增项、减，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法也可以说将式项、拆项和因式分解等方法也可以说将式子子“硬提公因式硬提公因式”，即将，即将nk时的项从时的项从nk1时的项中时的项中“硬提出来硬提出来”，构成，构成nk时的项，后时的项，后面的式子相对变形，使之与面的式子相对变形，使之与nk1时的项相时的项相同，从而达到利用假设的目的同，从而达到利用假设的目的课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二用数学归纳法证明整除用数学归纳法证明整除课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2已知已知f(n)(2n7)3n9(n N*)，用数学归纳法证明，用数学归纳法证明f(n)能被能被36整除整除【思路点拨思路点拨】用数学归纳法用数学归纳法能证明整除问题，在由能证明整除问题，在由k过渡到过渡到k1时常用时常用“配凑配凑”的办法，要有目的地的办法，要有目的地去去“配凑配凑”36的倍数式子和假设的倍数式子和假设nk时的式子时的式子课堂互动讲练课堂互动讲练【证明证明】(1)当当n1时，时，f(1)36，能被能被36整除整除(2)假设假设nk(kN*)时，时，f(k)能被能被36整整除，除，即即f(k)(2k7)3k9能被能被36整除；整除；当当nk1时，时，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于由于3k11是是2的倍数，故的倍数，故18(3k11)能被能被36整除，这就是说，整除，这就是说，当当nk1时，时，f(n)也能被也能被36整除整除由由(1)(2)可知对一切正整数可知对一切正整数n都都有有f(n)(2n7)3n9能被能被36整除整除课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】用数学归纳法证用数学归纳法证明整除问题的关键是明整除问题的关键是“配凑配凑”采用增采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出归纳假设和倍数式子，从而由部凑出归纳假设和倍数式子，从而由部分的整除性得出整体的整除性分的整除性得出整体的整除性课堂互动讲练课堂互动讲练在几何问题中，常有与在几何问题中，常有与n有关的有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题这些问将平面分成若干部分等问题这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是纳法证明这些问题时，关键是“找项找项”，即几何元素从，即几何元素从k个变成个变成k1个时，个时，所证的几何量将增加多少，这需所证的几何量将增加多少，这需课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题用到几何知识或借助于几何图形来分用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将析，在实在分析不出来的情况下，将nk1和和nk分别代入所证的式子，分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧法证明几何命题的一大技巧课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3用数学归纳法证明平面内用数学归纳法证明平面内有有n个圆，其中每两个圆都相交个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点则这于同一点则这n个圆将平面分个圆将平面分成成n2n2个部分个部分课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】本题中找到第本题中找到第k1个圆被原来的个圆被原来的k个圆分成了个圆分成了2k条弧，条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两块，而每一条弧把它所在部分分成了两块，此时共增加了此时共增加了2k个部分，问题就得到个部分，问题就得到了解决了解决【证明证明】(1)当当n1时，即一个圆把时，即一个圆把平面分成平面分成2个部分，个部分，f(1)2，又，又n1时，时，n2n22，所以命题成立，所以命题成立(2)假设假设nk(k1且且kN*)时，命题成时，命题成立，即立，即k个圆把平面分成个圆把平面分成f(k)k2k2个个部分部分那么当那么当nk1时，记第时，记第k1个圆为个圆为 O.由题意，由题意， O与其他与其他k个圆相交于个圆相交于2k个点，个点，这这2k个点把个点把 O分成分成2k条弧，而每条弧把原条弧，而每条弧把原区域分成区域分成2部分，因此这个平面被圆分成的部分，因此这个平面被圆分成的部分就增加了部分就增加了2k个，即：个，即：课堂互动讲练课堂互动讲练f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，也即也即nk1时命题成立时命题成立由由(1)(2)可知，对任意可知，对任意nN*命题均命题均成立成立【思维总结思维总结】用数学归纳法证明用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，由与正整数有关的几何问题，由k过渡到过渡到k1时常利用几何图形来分析前后的变时常利用几何图形来分析前后的变化情况，并用严谨的文字给予说明化情况，并用严谨的文字给予说明课堂互动讲练课堂互动讲练用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与n有关的不等有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对二类形式，往往要先对n取前几个值的取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个再猜出从某个n值开始都成立的结论，值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练即即nk1时，命题成立时，命题成立由由(1)(2)可知，命题对所有可知，命题对所有nN*都成立都成立【思维总结思维总结】本题主要考查数本题主要考查数列的递推关系；通项公式及前列的递推关系；通项公式及前n项和公项和公式，数学归纳法、不等式证明等基础式，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力能力课堂互动讲练课堂互动讲练“归纳归纳猜想猜想证明证明”的模式，的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式归纳、猜想出公式课堂互动讲练课堂互动讲练考点五考点五归纳、猜想、证明归纳、猜想、证明课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例5 5课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，且方程，且方程x2anxan0有有一个根是一个根是Sn1，n1,2,3，(1)求求a1，a2；(2)求求an的通项公的通项公式式解解：(1)当当n1时，时，x2a1xa10有一根为有一根为S11a11，于是，于是(a11)2a1(a11)a10，课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由题设由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0.当当n2时，时，anSnSn1，代入上式得代入上式得Sn1Sn2Sn10(*)课堂互动讲练课堂互动讲练下面用数学归纳法证明这个结论下面用数学归纳法证明这个结论n1时已知结论成立时已知结论成立假设当假设当nk(kN*，k1)时结论时结论成立，成立，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1数学归纳法数学归纳法数学归纳法是用来证明与正整数数学归纳法是用来证明与正整数n有有关的数学命题的一种常用方法，应用时应关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：注意以下三点：(1)验证是基础验证是基础数学归纳法的原理表明：第一步是要数学归纳法的原理表明：第一步是要找一个数找一个数n0，这个，这个n0就是要证明的命题对就是要证明的命题对应的最小自然数，这个自然数并不一定都应的最小自然数，这个自然数并不一定都是是“1”，因此，因此“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”是正是正确运用数学归纳法时首先要注意的问题确运用数学归纳法时首先要注意的问题规律方法总结规律方法总结(2)递推是关键递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所数学归纳法的实质在于递推，所以从以从“k”到到“k1”的过程，必须把归的过程，必须把归纳假设纳假设“nk”作为条件来推出作为条件来推出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次归纳假设用上一次或几次(3)寻找递推关系寻找递推关系在第一步验证时，不妨多计算在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的现递推关系是有帮助的规律方法总结规律方法总结探求数列通项公式要善于观察探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察式子的变化规律，观察n处在哪个位处在哪个位置置在写在写f(k1)时，一定要把包含时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是的式子写出来，尤其是f(k)中的最中的最后一项除此之外，多了哪些项，少后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚了哪些项都要分析清楚规律方法总结规律方法总结2.“归纳归纳猜想猜想证明证明”这类这类问题的证法问题的证法先归纳推理先归纳推理(依据特殊情形依据特殊情形)猜想猜想出一般结论，再用数学归纳法证明猜出一般结论，再用数学归纳法证明猜想结论的正确性一般地，数学研究想结论的正确性一般地，数学研究与发现往往包括两个要素与发现往往包括两个要素发现结发现结论与证明结论论与证明结论(两者通常交织在一起两者通常交织在一起)，发现结论往往通过合情推理，结论，发现结论往往通过合情推理，结论的正确性需要通过逻辑证明来确认的正确性需要通过逻辑证明来确认规律方法总结规律方法总结