第十二课第十二课 平面向量平面向量 学考复习学考复习 必修必修4学业水平考试复习学业水平考试复习内内 容容学学 习习 目目 标标平面向量的实际背景平面向量的实际背景及基本概念及基本概念识记平面向量的概念，识记向量相等与向量共线的含识记平面向量的概念，识记向量相等与向量共线的含义及向量的几何表示。义及向量的几何表示。 平面向量的线性运算平面向量的线性运算理解平面向量加、减法与数乘运算及其几何意义。理解平面向量加、减法与数乘运算及其几何意义。平面向量的基本定理平面向量的基本定理及坐标表示及坐标表示 理解平面向量的基本定理及其意义，识记平面向量的理解平面向量的基本定理及其意义，识记平面向量的正交分解及其坐标表示，能用坐标表示平面向量的加、正交分解及其坐标表示，能用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件。减及数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件。平面向量的数量积平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义，理解平面理解平面向量数量积的含义及其物理意义，理解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面向量数量向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面向量数量积的坐标表达式及其运算，理解运用数量积表示两个积的坐标表达式及其运算，理解运用数量积表示两个向量的模与夹角，并能判断两个平面向量的平行、垂向量的模与夹角，并能判断两个平面向量的平行、垂直关系，并关注学科内综合。直关系，并关注学科内综合。平面向量应用举例平面向量应用举例掌握平面向量知识在平面几何与物理中的简单应用，掌握平面向量知识在平面几何与物理中的简单应用，并关注学科间联系。并关注学科间联系。考 点 点 击学业水平考试复习学业水平考试复习 向量可以用向量可以用有向线段有向线段表示。向量表示。向量 的的 ，也就是向，也就是向量量 的长度（或称模），记作的长度（或称模），记作 。 从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，明确向从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，明确向量与数量的区别：量与数量的区别： 和和 是向量的两个要素，它带是向量的两个要素，它带有方向，具有几何意义，向量有方向，具有几何意义，向量不能比较大小不能比较大小。1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念大小大小方向方向大小大小要 点 扫 描 理解向量的基本概念：向量的模、零向量、单位向量、理解向量的基本概念：向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量平行向量（共线向量)、相等向量等。、相等向量等。 结合图形区分平行向量、相等向量、共线向量等概念：结合图形区分平行向量、相等向量、共线向量等概念：平行向量即共线向量，两向量共线不一定相等，而两向量相平行向量即共线向量，两向量共线不一定相等，而两向量相等则一定共线，另外，还要注意向量等则一定共线，另外，还要注意向量“共线共线”与线段与线段“共线共线”的区别：的区别：共线向量不考虑起点共线向量不考虑起点。学业水平考试复习学业水平考试复习给给出下列命出下列命题题：案 例 剖 析向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；若a=b，b=c，则a=c；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若|a|=|b|，则a=b。若a与b共线, , b与c共线, ,则a与c共线其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个B学业水平考试复习学业水平考试复习（3）实数与向量积：）实数与向量积：a表示与表示与a 的向量，且的向量，且a的方向的方向由由 决定。决定。 向量向量b与非零向量与非零向量a共线共线等价于有且仅有一个实数等价于有且仅有一个实数，使，使 。（2）相反向量的概念；向量的减法：会用）相反向量的概念；向量的减法：会用 法则作两法则作两个向量的减向量；向量的减法运算可以转化成向量的加法运算。个向量的减向量；向量的减法运算可以转化成向量的加法运算。 2平面向量的线性运算平面向量的线性运算（1）平面向量的加法：会用）平面向量的加法：会用 法法则作两个向量的和向量；则作两个向量的和向量； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的加法运算的 和和 ，并会用它们进行向量计算。，并会用它们进行向量计算。三角形法则或平行四边形三角形法则或平行四边形交换律交换律结合律结合律三角形三角形共线共线的符号的符号b = a要 点 扫 描学业水平考试复习学业水平考试复习3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理：）平面向量的基本定理： 如果如果 ， 是同一平面内的是同一平面内的 ，那么，那么对于这一平面内的任一向量对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2使使 。 a =1 +2. 两个不共线不共线向量要 点 扫 描学业水平考试复习学业水平考试复习（2）平面向量的坐标运算：）平面向量的坐标运算： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标：若若A（x1，y1），），B（x2，y2)，则，则 = - - = 。两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： 则则 ( x2， y2) (x1，y) = (x2 x1， y2 y1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：要 点 扫 描3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示C学业水平考试复习学业水平考试复习（3）向量共线的两种判定方法：）向量共线的两种判定方法： ab (设 a =（x1，y1）, b =（x2，y2), 且 )要 点 扫 描3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示学业水平考试复习学业水平考试复习4平面向量的数量积平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义：）平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量 叫a与的数量积，记作a b，即有a b = ，（，（）。）。 并规定0与任何向量的数量积为0。注意：。注意：两个向量的数量积数量积是是一个实数实数，不是向量，不是向量，符号由 的符号所决定。|a|b|coscos |a|b|cos要 点 扫 描（2）向量的数量积的几何意义：）向量的数量积的几何意义： 数量积a b等于a的长度与b在a方向上的投影 的 乘积。|b|cos学业水平考试复习学业水平考试复习3 当a与b同向时，a b = ；当a与b反向时，a b = 。 特别地特别地a a = 或或 。（3）两个向量的数量积的性质：）两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是单位向量；4 cos =5 |a b| |a|b|。1 e a = a e = ；2 ab ；|a|b|cosa b = 0|a|2|a|b| |a|b|要 点 扫 描4平面向量的数量积平面向量的数量积 学业水平考试复习学业水平考试复习5. 平面向量的应用平面向量的应用（1）能用平面向量知识处理平面几何或物理中的一些简）能用平面向量知识处理平面几何或物理中的一些简单问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。单问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。（2）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。建立数学模型解决实际问题。要 点 扫 描学业水平考试复习学业水平考试复习典 例 精 析学业水平考试复习学业水平考试复习 典 例 精 析学业水平考试复习学业水平考试复习典 例 精 析例5. 已知向量 a =3e1-2e2，b=4e1+e2，其中e1=(1,0)， e2=(0,1)，求： （1）a b， |a+b|； （2） a与b的夹角的余弦值。学业水平考试复习学业水平考试复习典 例 精 析例例4 已知已知ABC的顶点为的顶点为A（3，1），），B（x，-1），）， C（2，y），重心），重心G（ ）。求：）。求：（1）AB边上的中线的长；边上的中线的长；（2）AB边上的高的长。边上的高的长。学业水平考试复习学业水平考试复习作 业 布 置作业：高中学业水平考试系统复习作业：高中学业水平考试系统复习 P58-59