第二课时利用向量求空间角和距离 【知【知识梳理】梳理】1.1.异面直异面直线所成角的求法所成角的求法设a, ,b分分别是两异面直是两异面直线l1 1, ,l2 2的方向向量的方向向量, ,则a与与b的夹角的夹角l1 1与与l2 2所成的角所成的角范围范围(0,)(0,)求法求法cos=cos= 2.2.直直线和平面所成角的求法和平面所成角的求法: :如如图所示所示, ,设直直线l的方向的方向向量向量为e, ,平面平面的法向量的法向量为n, ,直直线l与平面与平面所成的角所成的角为, ,两向量两向量e与与n的的夹角角为,则有有sinsin=|cos|=|cos|=_=_ 3.3.二面角的求法二面角的求法:a.:a.如如图,AB,CD,AB,CD是二面角是二面角-l-两个两个半平面内与棱半平面内与棱l垂直的直垂直的直线, ,则二面角的大小二面角的大小=_.=_.b.b.如如图,n1 1, ,n2 2分分别是二面角是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,的法向量的法向量, ,则二面角的大小二面角的大小满足足cos=_cos=_或或_._.coscos -cos-cos 【特【特别提醒】提醒】1.1.利用利用 可以求空可以求空间中有向中有向线段的段的长度度2.2.点面距离的求法点面距离的求法(1)(1)向量法：向量法：已知已知ABAB为平面为平面的一条斜线段，的一条斜线段，n为平面为平面的法向量，则的法向量，则B B到平面到平面的距离为的距离为 = =(2)(2)等体等体积法法: :把点到平面的距离把点到平面的距离转化化为几何体的高几何体的高, ,然然后利用等体后利用等体积法求解法求解. .【小【小题快快练】链接教材接教材练一一练1.(1.(选修修2-1P117T42-1P117T4改改编) )正三棱柱正三棱柱( (底面是正三角形的底面是正三角形的直棱柱直棱柱)ABC-A)ABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面的底面边长为2,2,侧棱棱长为2 ,2 ,则ACAC1 1与与侧面面ABBABB1 1A A1 1所成所成的角的角为. .【解析】【解析】以以C C为原点建立坐标系，得下列坐标：为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)A(2,0,0)，C C1 1(0,0,2 ).(0,0,2 ).点点C C1 1在侧面在侧面ABBABB1 1A A1 1内的射影内的射影为点为点所以所以 =(-2,0,2 ), =(-2,0,2 ),设直线设直线ACAC1 1与平面与平面ABBABB1 1A A1 1所成的角为所成的角为,则则又又 , ,所以所以= .= .答案答案: :2.(2.(选修修2-1P1092-1P109例例4 4改改编) )在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是正方形是正方形,PD,PD底面底面ABCD,PD=DC.ABCD,PD=DC.则二面角二面角C-PB-DC-PB-D的大的大小小为. .【解析】【解析】以点以点D D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系标系, ,设设PD=DC=1,PD=DC=1,则则D(0,0,0),D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).所以所以 =(0,0,1), =(0,1,-1), =(0,0,1), =(0,1,-1), =(1,1,0), =(-1,0,0), =(1,1,0), =(-1,0,0),设平面设平面PBDPBD的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),答案答案: :6060感悟考感悟考题试一一试3.(20163.(2016长春模春模拟) )如如图所示所示, ,已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1, ,E,FE,F分分别是正方形是正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1和和ADDADD1 1A A1 1的中心的中心, ,则EFEF和和CDCD所成所成的角是的角是. .【解析】【解析】以以D D为原点为原点, ,分别以射线分别以射线DA,DC,DDDA,DC,DD1 1为为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz,Dxyz,设正方体的设正方体的棱长为棱长为1,1,则则D(0,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0), 所以异面直线所以异面直线EFEF和和CDCD所成的角是所成的角是45.45.答案答案: :45454.(20164.(2016广州模广州模拟) )在在长方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=2,BC=AA,AB=2,BC=AA1 1=1,=1,则D D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1所成角的正弦所成角的正弦值为. .【解析】【解析】如图所示如图所示, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,由于由于AB=2,AB=2,BC=AABC=AA1 1=1,=1,所以所以A A1 1(1,0,1),B(1,2,0),(1,0,1),B(1,2,0),C C1 1(0,2,1),D(0,2,1),D1 1(0,0,1).(0,0,1).所以所以 设平面设平面A A1 1BCBC1 1的法向量为的法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),令令x=2,x=2,则则y=1,z=2,y=1,z=2,则则n=(2,1,2).=(2,1,2).又设又设D D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1所成的角为所成的角为,答案答案: :5.(20165.(2016邵阳模邵阳模拟) )过正方形正方形ABCDABCD的的顶点点A A作作线段段PAPA平面平面ABCD,ABCD,若若AB=PA,AB=PA,则平面平面ABPABP与平面与平面CDPCDP所成的二面所成的二面角角为. .【解析】【解析】如图所示如图所示, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,设设AB=PA=1,AB=PA=1,知知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),由题意由题意,AD,AD平面平面ABP,ABP,设设E E为为PDPD的中点的中点, ,连接连接AE,AE,则则AEPD,AEPD,又因为又因为CDCD平面平面PAD,PAD,所以所以AECD,AECD,又又PDCD=D,PDCD=D,所以所以AEAE平面平面CDP.CDP.所以所以 =(0,1,0), = =(0,1,0), =（0 0， ，）分别是平面，）分别是平面ABP,ABP,平面平面CDPCDP的法向量的法向量, ,且且=45,=45,所以平面所以平面ABPABP与平面与平面CDPCDP所成的二面角为所成的二面角为45.45.答案答案: :4545考向一考向一向量法求异面直向量法求异面直线所成的角所成的角【典例【典例1 1】(1)(1)如如图所示所示, ,在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面是底面是边长为2 2的菱形的菱形,DAB=60,DAB=60,对角角线ACAC与与BDBD交于点交于点O,POO,PO平面平面ABCD,PBABCD,PB与平面与平面ABCDABCD所成的角所成的角为60,E60,E是是PBPB的中点的中点, ,则异面直异面直线DEDE与与PAPA所成角的余弦所成角的余弦值是是( () )A.0A.0 B. C. B. C. D.D.(2)(2016(2)(2016银川模川模拟) )在三棱在三棱锥S-ABCS-ABC中中, ,SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC= ,SB= .SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC= ,SB= .求求证:SCBC.:SCBC.求求SCSC与与ABAB所成角的余弦所成角的余弦值. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)以以O O为坐标原点为坐标原点, ,射线射线OB,OC,OPOB,OC,OP分别为分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴的正半轴建立空间直角坐标系轴的正半轴建立空间直角坐标系, ,表示出空表示出空间中各个点的坐标间中各个点的坐标, ,进而给出相关向量的坐标进而给出相关向量的坐标, ,然后利然后利用向量夹角余弦值求解用向量夹角余弦值求解. .(2)(2)方法一方法一: :建系建系, ,写出有关点写出有关点B,C,SB,C,S的坐标的坐标. .要证要证SCBC,SCBC,只要证只要证 =0 =0即可即可. .要求异面直线要求异面直线SCSC与与ABAB所成的角的余弦值所成的角的余弦值, ,只要求只要求 与与 所成角的余弦值即可所成角的余弦值即可. .方法二方法二: :综合法证明综合法证明,要证要证SCBC,SCBC,先证先证BCBC平面平面SACSAC即可即可;要求要求SCSC与与ABAB所成角的余弦值所成角的余弦值, ,通过平移找到通过平移找到SCSC与与ABAB所成的角所成的角, ,解三角形即可解三角形即可. .【规范解答】范解答】(1)(1)选B.B.以以O O为坐坐标原点原点, ,射射线OB,OC,OPOB,OC,OP分分别为x x轴,y,y轴,z,z轴的正半的正半轴建立空建立空间直角坐直角坐标系系. .在在RtAOBRtAOB中中OA= ,OA= ,于是于是, ,点点A,B,D,PA,B,D,P的坐的坐标分分别是是A(0,- ,0),B(1,0,0),A(0,- ,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0, ),D(-1,0,0),P(0,0, ),(2)(2)方法一方法一: :如图如图, ,取取A A为原点为原点,AC,AS,AC,AS分别为分别为y y轴轴,z,z轴建立轴建立空间直角坐标系空间直角坐标系, ,因为因为 =0, =0,所以所以SCBC.SCBC.设设SCSC与与ABAB所成的角为所成的角为,则则 =4,| | |=4 , =4,| | |=4 ,所以所以cos= ,cos= ,即为所求即为所求. .方法二方法二:因为因为SASA平面平面ABC,BCABC,BC 平面平面ABC,ABC,所以所以SABC,SABC,又又ACBC,SAAC=A,ACBC,SAAC=A,所以所以BCBC平面平面SAC,SAC,所以所以SCBC.SCBC.如图如图, ,过点过点C C作作CDAB,CDAB,过点过点A A作作ADBCADBC交交CDCD于点于点D,D,连接连接SD,SC,SD,SC,则则SCDSCD为异面直线为异面直线SCSC与与ABAB所成的角所成的角. .所以在所以在SDCSDC中中, ,由余弦定理得由余弦定理得cosSCD= ,cosSCD= ,即为所求即为所求. . 【规律方法】律方法】向量法求异面直向量法求异面直线所成角的思路及关注所成角的思路及关注点点(1)(1)思路思路:选好基底或建立空好基底或建立空间直角坐直角坐标系系;求出两求出两直直线的方向向量的方向向量v1 1, ,v2 2;代入公式代入公式|cos|cos|= |= 求解求解. .(2)(2)关注点关注点: :当异面直当异面直线的方向向量的的方向向量的夹角角为锐角或直角或直角角时, ,就是就是该异面直异面直线的的夹角角; ;当异面直当异面直线的方向向量的方向向量的的夹角角为钝角角时, ,其其补角才是异面直角才是异面直线的的夹角角. .【变式式训练】将正方形将正方形ABCDABCD沿沿对角角线ACAC折起折起, ,当以当以A,B,C,DA,B,C,D四点四点为顶点的三棱点的三棱锥体体积最大最大时, ,异面直异面直线ADAD与与BCBC所成的角所成的角为( () )【解析】【解析】选选C.C.不妨以不妨以ABCABC为底面为底面, ,则由题意当以则由题意当以A,B,C,DA,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大为顶点的三棱锥体积最大, ,即点即点D D到底面到底面ABCABC的距离最大时的距离最大时, ,平面平面ADCADC平面平面ABC,ABC,取取ACAC的中点的中点O,O,连接连接BO,DO,BO,DO,则易知则易知DO,BO,CODO,BO,CO两两互相垂直两两互相垂直, ,所以分别以所以分别以 所在直线为所在直线为z,x,yz,x,y轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系, ,令令BO=DO=CO=1,BO=DO=CO=1,则有则有O(0,0,0),A(0,O(0,0,0),A(0,- -1,0),D(0,0,1),1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0), =(0,1,1), =(-1,1,0),B(1,0,0),C(0,1,0), =(0,1,1), =(-1,1,0),所以所以cos= = = ,cos= = = ,所以异面直所以异面直线线ADAD与与BCBC所成的角为所成的角为 . . 【加固【加固训练】1.1.如如图, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分分别是棱是棱CD,CCCD,CC1 1的中点的中点, ,则异面直异面直线A A1 1M M与与DNDN所成的角的大小是所成的角的大小是. .【解析】【解析】以以D D为原点为原点,DA,DC,DD,DA,DC,DD1 1所在直线为坐标轴建立所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系空间直角坐标系, ,设设AB=1,AB=1,则则D(0,0,0),D(0,0,0),答案答案: :9090 2.(20162.(2016成都模成都模拟) )如如图1,1,四棱四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PD,PD底面底面ABCD,ABCDABCD,ABCD是直角梯形是直角梯形,M,M为侧棱棱PDPD上一点上一点. .该四棱四棱锥的的俯俯视图和和侧视图如如图2 2所示所示. . (1)(1)证明明:BC:BC平面平面PBD.PBD.(2)(2)证明明:AM:AM平面平面PBC.PBC.(3)(3)线段段CDCD上是否存在点上是否存在点N,N,使使AMAM与与BNBN所成角的余弦所成角的余弦值为 ? ?若存在若存在, ,找到所有符合要求的点找到所有符合要求的点N,N,并求并求CNCN的的长; ;若不存在若不存在, ,说明理由明理由. . 【解析】【解析】(1)(1)由俯视图可得由俯视图可得,BD,BD2 2+BC+BC2 2=CD=CD2 2, ,所以所以BCBD.BCBD.又因为又因为PDPD平面平面ABCD,ABCD,所以所以BCPD.BCPD.因为因为BDPD=D,BDPD=D,所以所以BCBC平面平面PBD.PBD. (2)(2)取取PCPC上一点上一点Q,Q,使使PQPC=14,PQPC=14,连接连接MQ,BQ.MQ,BQ.由侧视图知由侧视图知PMPD=14,PMPD=14,所以所以MQCD,MQ= CD.MQCD,MQ= CD.在在BCDBCD中中, ,易得易得CDB=60,CDB=60,所以所以ADB=30.ADB=30.又又BD=2,BD=2,所以所以AB=1,AD= .AB=1,AD= .又因为又因为ABCD,AB= CD,ABCD,AB= CD,所以所以ABMQ,AB=MQ,ABMQ,AB=MQ,所以四边形所以四边形ABQMABQM为平行四边形为平行四边形, ,所以所以AMBQ.AMBQ.因为因为AMAM 平面平面PBC,BQPBC,BQ 平面平面PBC,PBC,所以直线所以直线AMAM平面平面PBC.PBC.(3)(3)线段线段CDCD上存在点上存在点N N，使，使AMAM与与BNBN所成角的余弦值所成角的余弦值为为 理由如下：理由如下：因为因为PDPD平面平面ABCDABCD，DADCDADC，以，以 所在直线所在直线为为x,y,zx,y,z轴轴. .建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系DxyzDxyz所以所以D(0,0,0),A( ,0,0),B( ,1,0),C(0,4,0),D(0,0,0),A( ,0,0),B( ,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3)M(0,0,3)设设N(0,t,0)N(0,t,0)，其中，其中0t4.0t4.所以所以要使要使AMAM与与BNBN所成角的余弦值为所成角的余弦值为则有则有所以所以解得解得t=0t=0或或2 2，均适合，均适合0t40t4故点故点N N位于位于D D点处，此时点处，此时CN=4CN=4；或点；或点N N位于位于CDCD中点处，中点处，此时此时CN=2CN=2，有，有AMAM与与BNBN所成角的余弦值为所成角的余弦值为考向二考向二向量法求直向量法求直线与平面所成的角与平面所成的角【典例【典例2 2】(2015(2015全国卷全国卷)如如图, ,长方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=16,BC=10,AA,AB=16,BC=10,AA1 1=8,=8,点点E,FE,F分分别在在A A1 1B B1 1,D,D1 1C C1 1上上,A,A1 1E=DE=D1 1F=4,F=4,过点点E,FE,F的的平面平面与此与此长方体的面相交方体的面相交, ,交交线围成一个正方形成一个正方形. .(1)(1)在在图中画出中画出这个正方形个正方形( (不必不必说出画法和理由出画法和理由).).(2)(2)求直求直线AFAF与平面与平面所成角的正弦所成角的正弦值. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)连接连接EF,EF,利用线面平行的性质和正方利用线面平行的性质和正方形的特点画出正方形形的特点画出正方形. .(2)(2)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,利用平面的法向量和向量的利用平面的法向量和向量的夹角求解夹角求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)交线围成的正方形交线围成的正方形EHGFEHGF如图如图: :(2)(2)作作EMAB,EMAB,垂足为垂足为M,M,则则AM=AAM=A1 1E=4,EM=AAE=4,EM=AA1 1=8.=8.因为四边形因为四边形EHGFEHGF为正方形为正方形, ,所以所以EH=EF=BC=10.EH=EF=BC=10.于是于是 =6, =6,所以所以AH=10.AH=10.以以D D为坐标原点为坐标原点, , 的方向为的方向为x x轴的正方向轴的正方向, ,建立如图建立如图所示的空间直角坐标系所示的空间直角坐标系Dxyz,Dxyz,则则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8), =(10,0,0), =(0,-6,8). =(10,0,0), =(0,-6,8).设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面EHGFEHGF的法向量的法向量, ,则则所以可取所以可取n=(0,4,3),=(0,4,3),又又 =(-10,4,8), =(-10,4,8),所以所以AFAF与平面与平面EHGFEHGF所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为 . .【易【易错警示】警示】解答本解答本题有两点容易出有两点容易出错: :(1)(1)把把线段段AHAH的的长度求度求错, ,导致后面运算致后面运算结果不正确果不正确. .(2)(2)将直将直线的方向向量与平面的法向量的的方向向量与平面的法向量的夹角角误认为直直线与平面所成的角与平面所成的角. . 【规律方法】律方法】向量法求向量法求线面角的两大途径面角的两大途径(1)(1)分分别求出斜求出斜线和它所在平面内的射影直和它所在平面内的射影直线的方向向的方向向量量, ,转化化为求两个方向向量的求两个方向向量的夹角角( (或其或其补角角).).(2)(2)通通过平面的法向量来求平面的法向量来求, ,即求出斜即求出斜线的方向向量与的方向向量与平面的法向量所平面的法向量所夹的的锐角角, ,取其余角就是斜取其余角就是斜线和平面所和平面所成的角成的角. .【变式式训练】(2014(2014陕西高考西高考) )四面体四面体ABCDABCD及其三及其三视图如如图所示所示, ,过棱棱ABAB的中点的中点E E作平行于作平行于AD,BCAD,BC的平面分的平面分别交四面体的棱交四面体的棱BD,DC,CABD,DC,CA于点于点F,G,H.F,G,H.(1)(1)证明明: :四四边形形EFGHEFGH是矩形是矩形. .(2)(2)求直求直线ABAB与平面与平面EFGHEFGH夹角角的正弦的正弦值. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为BCBC平面平面EFGH,EFGH,平面平面EFGHEFGH平面平面BDC=FG,BDC=FG,平面平面EFGHEFGH平面平面ABC=EH,ABC=EH,所以所以BCFG,BCEH,BCFG,BCEH,所以所以FGEH.FGEH.同理同理EFAD,HGAD,EFAD,HGAD,所以所以EFHG,EFHG,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .又由三视图可知又由三视图可知ADAD平面平面BDC,BDC,所以所以ADBC,ADBC,所以所以EFFG,EFFG,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是矩形是矩形. .(2)(2)如图如图, ,以以D D为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系, ,则则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,0,1). =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,0,1).设平面设平面EFGHEFGH的法向量的法向量n=(x,y,z),=(x,y,z),因为因为EFAD,FGBC,EFAD,FGBC,所以所以n =0 =0，n =0. =0.【加固【加固训练】1.1.如如图, ,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,CA=CB,AB=AA,CA=CB,AB=AA1 1, ,BAABAA1 1=60.=60.(1)(1)证明明ABAABA1 1C.C.(2)(2)若平面若平面ABCABC平面平面AAAA1 1B B1 1B,AB=CB,B,AB=CB,求直求直线A A1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成角的正弦所成角的正弦值. .【解析】【解析】(1)(1)取取ABAB的中点的中点O,O,连接连接OC,OAOC,OA1 1,A,A1 1B.B.因为因为CA=CB,CA=CB,所以所以OCAB.OCAB.由于由于AB=AAAB=AA1 1,BAA,BAA1 1=60,=60,故故AAAA1 1B B为等边三角形为等边三角形, ,所以所以OAOA1 1AB.AB.因为因为OCOAOCOA1 1=O,=O,所以所以ABAB平面平面OAOA1 1C.C.又又A A1 1C C 平面平面OAOA1 1C,C,故故ABAABA1 1C.C.(2)(2)由由(1)(1)知知, OCAB,OA, OCAB,OA1 1AB,AB,又平面又平面ABCABC平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,交线为交线为AB,AB,所以所以OCOC平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,故故OA,OAOA,OA1 1,OC,OC两两相互垂直两两相互垂直. .以以O O为坐标原点为坐标原点, , 的方向为的方向为x x轴的正方向轴的正方向, ,| |为单位为单位长度长度, ,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,Oxyz, 由题设知由题设知A(1,0,0),AA(1,0,0),A1 1(0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0).(0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0). 所以直线所以直线A A1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . . 2.2.如如图, ,在直棱柱在直棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,ADBC,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AABAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1 1=3.=3.(1)(1)证明明:ACB:ACB1 1D.D.(2)(2)求直求直线B B1 1C C1 1与平面与平面ACDACD1 1所所成角的正弦成角的正弦值. .【解【解析】析】(1)(1)易知易知,AB,AD,AA,AB,AD,AA1 1两两垂直两两垂直, ,如图如图, ,以以A A为坐标原点为坐标原点, ,AB,AD,AAAB,AD,AA1 1所在直线分所在直线分别为别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建立空轴建立空间直角坐标系间直角坐标系, ,设设AB=t,AB=t,则相关各点的坐则相关各点的坐标为标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B:A(0,0,0),B(t,0,0),B1 1(t,0,3),C(t,1,0),(t,0,3),C(t,1,0),C C1 1(t,1,3),D(0,3,0),D(t,1,3),D(0,3,0),D1 1(0,3,3).(0,3,3).(2)(2)由由(1)(1)知知, =(0,3,3), =( ,1,0), =(0,1,0)., =(0,3,3), =( ,1,0), =(0,1,0).设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面ACDACD1 1的一个法向量的一个法向量, , 考向三考向三二面角二面角【考情快【考情快递】 命题方向命题方向命题视角命题视角计算二面角的大小计算二面角的大小重点考查向量法求二面角大重点考查向量法求二面角大小的方法小的方法已知二面角已知二面角的大小求值的大小求值考查二面角大小的计算方法考查二面角大小的计算方法及方程思想的应用及方程思想的应用【考【考题例析】例析】命命题方向方向1:1:计算二面角的大小算二面角的大小【典例【典例3 3】(2014(2014湖南高考湖南高考) )如如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的所有棱的所有棱长都相等都相等, ,ACBD=O,AACBD=O,A1 1C C1 1BB1 1D D1 1=O=O1 1, ,四四边形形ACCACC1 1A A1 1和四和四边形形BDDBDD1 1B B1 1均均为矩形矩形. .(1)(1)证明明:O:O1 1OO底面底面ABCD.ABCD.(2)(2)若若CBA=60,CBA=60,求二面角求二面角C C1 1-OB-OB1 1-D-D的余弦的余弦值. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)要证明线面垂直可转化为证明直线与平面内的两条要证明线面垂直可转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直相交直线垂直. .(2)(2)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,求出相关坐标及二面角的两求出相关坐标及二面角的两个平面的法向量个平面的法向量, ,结合向量夹角公式求解结合向量夹角公式求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为四边形因为四边形ACCACC1 1A A1 1和四边形和四边形BDDBDD1 1B B1 1均均为矩形为矩形, ,所以所以CCCC1 1AC,DDAC,DD1 1BD,BD,又又CCCC1 1DDDD1 1OOOO1 1, ,所以所以OOOO1 1AC,OOAC,OO1 1BD,BD,因为因为ACBD=O,ACBD=O,所以所以O O1 1OO底面底面ABCD.ABCD.(2)(2)因为四棱柱的所有棱长都相等因为四棱柱的所有棱长都相等, ,所以四边形所以四边形ABCDABCD为为菱形菱形,ACBD,ACBD,又又O O1 1OO底面底面ABCD;ABCD;所以所以OB,OC,OOOB,OC,OO1 1两两垂两两垂直直. .如图如图, ,以以O O为原点为原点,OB,OC,OO,OB,OC,OO1 1所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴轴, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系. .设棱长为设棱长为2,2,因为因为CBA=60,CBA=60,所以所以OB= ,OC=1,OB= ,OC=1,所以所以O(0,0,0),BO(0,0,0),B1 1( ,0,2) C( ,0,2) C1 1(0,1,2),(0,1,2),平面平面BDDBDD1 1B B1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(0,1,0),=(0,1,0),设平面设平面OCOC1 1B B1 1的法向量为的法向量为m=(x,y,z),=(x,y,z),则由则由m , ,m , ,所以所以 x+2z=0,y+2z=0, x+2z=0,y+2z=0,由图形可知二面角由图形可知二面角C C1 1-OB-OB1 1-D-D的大小为锐角的大小为锐角, ,所以二面角所以二面角C C1 1-OB-OB1 1-D-D的余弦值为的余弦值为 . .【母【母题变式】式】1.1.将本例第将本例第(2)(2)问中条件中条件“CBA=60”“CBA=60”改改为“CBA=90”,“CBA=90”,其他条件不其他条件不变, ,求二面角求二面角C C1 1-OB-OB1 1-D-D的余弦的余弦值. .【解析】【解析】由本例由本例(2)(2)建系条件知当建系条件知当CBA=90CBA=90时时, ,四边四边形形ABCDABCD为正方形为正方形, ,不妨设不妨设AB=2,AB=2,则则OB= ,OC= ,OB= ,OC= ,所以所以O(0,0,0),BO(0,0,0),B1 1( ,0,2),C( ,0,2),C1 1(0, ,2).(0, ,2).易知易知n1 1=(0,1,0)=(0,1,0)是平面是平面OBOB1 1D D的一个法向量的一个法向量, ,设设n2 2=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面OBOB1 1C C1 1的一个法向量的一个法向量, ,2.2.在本例条件下在本例条件下试在在线段段C C1 1C C上求一点上求一点M,M,使二面角使二面角M-OBM-OB1 1-D-D的大小的大小为60.60.【解析】【解析】在本例在本例(2)(2)建系条件下建系条件下,O(0,0,0),B,O(0,0,0),B1 1( ( ,0,2),C,0,2),C1 1(0,1,2).(0,1,2).易知易知n1 1=(0,1,0)=(0,1,0)是平面是平面OBOB1 1D D的一个法向量的一个法向量, ,设设M(0,1,m)M(0,1,m)且且n2 2=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面OBOB1 1M M的一个法向量的一个法向量, ,即在线段即在线段CCCC1 1上存在一点上存在一点M M且且CM= ,CM= ,使二面角使二面角M-OBM-OB1 1-D-D的大小为的大小为60.60.命命题方向方向2:2:已知二面角的大小求已知二面角的大小求值【典例【典例4 4】(2014(2014全国卷全国卷)如如图, ,四棱四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底底面面ABCDABCD为矩形矩形,PA,PA平面平面ABCD,EABCD,E为PDPD的中点的中点. .(1)(1)证明明:PB:PB平面平面AEC.AEC.(2)(2)设二面角二面角D-AE-CD-AE-C为60,AP=1,AD= ,60,AP=1,AD= ,求三棱求三棱锥E-E-ACDACD的体的体积 【解题导引】【解题导引】(1)(1)连接底面的对角线连接底面的对角线, ,利用三角形的中利用三角形的中位线找到线线平行位线找到线线平行, ,从而证得线面平行从而证得线面平行. .(2)(2)以以A A为坐标原点为坐标原点, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,分别找到二分别找到二面角面角D-AE-CD-AE-C的两个半平面的法向量的两个半平面的法向量, ,利用两向量的夹利用两向量的夹角公式角公式, ,求得底面矩形的另一条边长求得底面矩形的另一条边长, ,进而求得三棱锥进而求得三棱锥的体积的体积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)连接连接BD,BD,设设ACAC与与BDBD的交点为的交点为G,G,则则G G为为AC,BDAC,BD的中点的中点, ,连接连接EG.EG.在三角形在三角形PBDPBD中中, ,中位线中位线EGPB,EGPB,且且EGEG在平面在平面AECAEC内内,PB,PB 平面平面AEC,AEC,所以所以PBPB平面平面AEC.AEC.(2)(2)设设CD=m,CD=m,分别以分别以AB,AD,APAB,AD,AP所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴建立空轴建立空间直角坐标系间直角坐标系, ,则则A(0,0,0),D(0, ,0),A(0,0,0),D(0, ,0),C(m, ,0).C(m, ,0).设平面设平面ADEADE的法向量为的法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),则则n1 1 =0, =0,n1 1 =0, =0,解得一个解得一个n1 1=(1,0,0).=(1,0,0).同理设平面同理设平面ACEACE的法向量为的法向量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),设设F F为为ADAD的中点的中点, ,连接连接EF,EF,则则PAEF,PAEF,且且EF= = ,EF= = ,EFEF平面平面ACD,ACD,所以所以EFEF为三棱锥为三棱锥E-ACDE-ACD的高的高. . 【技法感悟】【技法感悟】1.1.利用向量法利用向量法计算二面角大小的常用方法算二面角大小的常用方法(1)(1)找法向量法找法向量法: :分分别求出二面角的两个半平面所在平求出二面角的两个半平面所在平面的法向量面的法向量, ,然后通然后通过两个平面的法向量的两个平面的法向量的夹角得到二角得到二面角的大小面角的大小, ,但要注意但要注意结合合实际图形判断所求角的大小形判断所求角的大小. .(2)(2)找与棱垂直的方向向量法找与棱垂直的方向向量法: :分分别在二面角的两个半在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量起点的两个向量, ,则这两个向量的两个向量的夹角的大小就是二面角的大小角的大小就是二面角的大小. .2.2.已知二面角大小求已知二面角大小求值的技巧的技巧建立恰当的空建立恰当的空间直角坐直角坐标系系, ,将两平面的法向量用与待将两平面的法向量用与待求相关的参数求相关的参数( (字母字母) )表示表示, ,利用两向量的利用两向量的夹角公式构建角公式构建方程或不等式或函数方程或不等式或函数, ,进而求解而求解. .【题组通关】通关】1.(20151.(2015四川高考四川高考) )一个正方体的平面展开一个正方体的平面展开图及及该正正方体的直方体的直观图的示意的示意图如如图所示所示. .在正方体中在正方体中, ,设BCBC的的中点中点为M,GHM,GH的中点的中点为N.N.(1)(1)请将字母将字母F,G,HF,G,H标记在正方体相在正方体相应的的顶点点处( (不需不需说明理由明理由).).(2)(2)证明明: :直直线MNMN平面平面BDH.BDH.(3)(3)求二面角求二面角A-EG-MA-EG-M的余弦的余弦值. .【解析】【解析】(1)(1)由展开图可知由展开图可知,F,F在在B B的上方的上方,G,G在在C C的上方的上方,H,H在在D D的上方的上方, ,如图如图(2)(2)取取BDBD中点中点O,O,连接连接MO,HO,MO,HO,则则MOCD,MOCD,且且MO= CD,MO= CD,所以所以MOHN,MOHN,且且MO=HN,MO=HN,所以四边形所以四边形MNHOMNHO为平行四边形为平行四边形, ,所以所以MNHO,MNHO,因为因为HOHO 平面平面BHD,MNBHD,MN 平面平面BHD,BHD,所以所以MNMN平面平面BHD.BHD.(3)(3)如图如图, ,以以D D为坐标原点为坐标原点, ,分别以分别以 的方向为的方向为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴的正方向轴的正方向, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Dxyz.Dxyz.设设AD=2,AD=2,则则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所所以以 =(2,-2,0), =(-1,0,2). =(2,-2,0), =(-1,0,2).设平面设平面EGMEGM的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x,y,z),=(x,y,z),取取x=2,x=2,得得n1 1=(2,2,1).=(2,2,1).在正方体在正方体ABCD-EFGHABCD-EFGH中中,DO,DO平面平面AEGC,AEGC,则可取平面则可取平面AEGAEG的一个法向量为的一个法向量为n2 2= =(1,1,0),= =(1,1,0),2.(20152.(2015湖南高考湖南高考) )如如图, ,已知四棱台已知四棱台ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的上、下底面分上、下底面分别是是边长为3 3和和6 6的正方形的正方形.A.A1 1A=6,A=6,且且A A1 1AA底面底面ABCD,ABCD,点点P,QP,Q分分别在棱在棱DDDD1 1,BC,BC上上. .(1)(1)若若P P是是DDDD1 1的中点的中点, ,证明明:AB:AB1 1PQ.PQ.(2)(2)若若PQPQ平面平面ABBABB1 1A A1 1, ,二面角二面角P-QD-AP-QD-A的余弦的余弦值为 , ,求求四面体四面体ADPQADPQ的体的体积. .【解析】【解析】由题设知由题设知,AA,AA1 1,AB,AD,AB,AD两两垂直两两垂直, ,以以A A为坐标原为坐标原点点,AB,AD,AA,AB,AD,AA1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴, ,建立如图建立如图所示的空间直角坐标系所示的空间直角坐标系, ,则相关各点的坐标为则相关各点的坐标为A(0,0,0),A(0,0,0),B B1 1(3,0,6),D(0,6,0),(3,0,6),D(0,6,0),D D1 1(0,3,6),Q(6,m,0),(0,3,6),Q(6,m,0),其中其中m=BQ,0m6.m=BQ,0m6.(2)(2)由题设知由题设知, =(6,m-6,0), =(0,-3,6), =(6,m-6,0), =(0,-3,6)是平面是平面PQDPQD内的两个不共线向量内的两个不共线向量. .设设n1 1=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面PQDPQD的一个法向量的一个法向量, , 取取y=6,y=6,得得n1=(6-m,6,3).=(6-m,6,3).又平面又平面AQDAQD的一个法向量是的一个法向量是n2=(0,0,1),=(0,0,1),所以所以此时此时Q(6,4,0).Q(6,4,0).设设 = (01), = (01),而而 =(0,-3,6), =(0,-3,6),由此得点由此得点P(0,6-3,6),P(0,6-3,6),所以所以 =(6,3-2,-6). =(6,3-2,-6).因为因为PQPQ平面平面ABBABB1 1A A1 1, , 且平面且平面ABBABB1 1A A1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(0,1,0),=(0,1,0),所以所以n =0, =0,即即3-2=0,3-2=0,亦即亦即= ,= ,从而从而P(0,4,4).P(0,4,4).于是于是, ,将四面体将四面体ADPQADPQ视为以视为以ADQADQ为底面的三棱锥为底面的三棱锥P-ADQ,P-ADQ,则其高则其高h=4,h=4,故四面体故四面体ADPQADPQ的体积的体积 考向四考向四向量法向量法计算空算空间距离距离【典例【典例5 5】(1)(1)如如图, ,在棱在棱长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E为BCBC的中点的中点, ,点点P P在在线段段D D1 1E E上上, ,点点P P到直到直线CCCC1 1的距离的距离的最小的最小值为. .(2)(2)已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是底面是底面边长为1 1的正四棱柱的正四棱柱,O,O1 1是是A A1 1C C1 1和和B B1 1D D1 1的交点的交点. .若点若点C C到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离的距离为 , ,求正求正四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的高的高. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)可以选择两种途径可以选择两种途径: :一是建立空间直角一是建立空间直角坐标系坐标系, ,利用向量法确定点利用向量法确定点P P到直线到直线CCCC1 1的距离的最小值的距离的最小值; ;二二是将点到直线的距离转化为线面之间的距离求解是将点到直线的距离转化为线面之间的距离求解. .(2)(2)以以A A1 1为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系, ,设设AAAA1 1=h,=h,求出相求出相关点关点, ,相关向量的坐标相关向量的坐标, ,代入点到平面的距离公式构建代入点到平面的距离公式构建关于关于h h的方程求解的方程求解. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)方法一方法一: :如图如图, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Dxyz,Dxyz,则则D D1 1(0,0,2),E(1,2,0),(0,0,2),E(1,2,0), =(-1,-2,2). =(-1,-2,2).设设P(x,y,z), = ,P(x,y,z), = ,0,1,0,1,则则 =(x-1,y-2,z). =(x-1,y-2,z).所以所以(x-1,y-2,z)=(-1,-2,2).(x-1,y-2,z)=(-1,-2,2).解得解得x=1-,y=2-2,z=2x=1-,y=2-2,z=2 P(1-,2-2,2).P(1-,2-2,2).设点设点P P在直线在直线CCCC1 1上的垂足为上的垂足为Q,Q,得得Q(0,2,2),Q(0,2,2),答案答案: : 方法二方法二: :取取B B1 1C C1 1的中点的中点E E1 1, ,连接连接D D1 1E E1 1,E,E1 1E,E,则则CCCC1 1平面平面D D1 1EEEE1 1. .所以点所以点P P到直线到直线CCCC1 1的距离的最小值的距离的最小值即为即为CCCC1 1与平面与平面D D1 1EEEE1 1的距离的距离. .过点过点C C1 1作作C C1 1FDFD1 1E E1 1于于F,F,线段线段C C1 1F F的长即为所求的长即为所求. .在直角在直角CC1 1D D1 1E E1 1中中,C,C1 1F=F=答案答案: : (2)(2)建立如图空间直角坐标系建立如图空间直角坐标系, ,设设AAAA1 1=h,=h,有有A(0,0,h),BA(0,0,h),B1 1(1,0,0),D(1,0,0),D1 1(0,1,0),C(1,1,h). (0,1,0),C(1,1,h). =(1,0,-h), =(1,0,-h), =(0,1,-h), =(1,1,0). =(0,1,-h), =(1,1,0).设平面设平面ABAB1 1D D1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),【规律方法】律方法】1.1.空空间中两点中两点间的距离的求法的距离的求法两点两点间的距离就是以的距离就是以这两点两点为端点的向量的模端点的向量的模. .因此因此, ,要求两点要求两点间的距离除了使用距离公式外的距离除了使用距离公式外, ,还可可转化化为求求向量的模向量的模. .2.2.求点求点P P到平面到平面的距离的三个步的距离的三个步骤(1)(1)在平面在平面内取一点内取一点A,A,确定向量的坐确定向量的坐标. .(2)(2)确定平面确定平面的法向量的法向量n. .(3)(3)代入公式代入公式d= d= 求解求解. .【变式式训练】如如图所示所示, ,在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, , BAC=90,AB=AC=AABAC=90,AB=AC=AA1 1=1,D=1,D是棱是棱CCCC1 1上的一点上的一点,P,P是是ADAD的的延延长线与与A A1 1C C1 1的延的延长线的交点的交点, ,且且PBPB1 1平面平面BDABDA1 1. .(1)(1)求求证:CD=C:CD=C1 1D.D.(2)(2)求点求点C C到平面到平面B B1 1DPDP的距离的距离. .【解析】【解析】(1)(1)连接连接ABAB1 1交交BABA1 1于点于点O,O,连接连接OD,OD,因为因为B B1 1PP平面平面BDABDA1 1,B,B1 1P P 平面平面ABAB1 1P,P,平面平面ABAB1 1PP平面平面BABA1 1D=OD,D=OD,所以所以B B1 1POD.POD.又因为又因为O O为为B B1 1A A的中点的中点, ,所以所以D D为为APAP的中点的中点. .因为因为C C1 1DAADAA1 1, ,所以所以C C1 1为为A A1 1P P的中点的中点. .所以所以DCDC1 1= AA= AA1 1= CC= CC1 1, ,所以所以C C1 1D=CD.D=CD.(2)(2)建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系A A1 1xyz,xyz,则则C(0,1,1),D(0,1, ),BC(0,1,1),D(0,1, ),B1 1(1,0,0),P(0,2,0),(1,0,0),P(0,2,0),【加固加固训练】在棱在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E,FE,F分分别为棱棱AAAA1 1,BB,BB1 1的中点的中点,G,G为棱棱A A1 1B B1 1上的一点上的一点, ,且且A A1 1G=(01),G=(01),则点点G G到平面到平面D D1 1EFEF的距离的距离为( () )【解析】【解析】选选D.D.如图所示，以射线如图所示，以射线DADA，DCDC，DDDD1 1分别为分别为x x，y y，z z轴的正方向建立空间直角坐标系，轴的正方向建立空间直角坐标系，则则G(1G(1，1)1)，过点过点G G向平面向平面D D1 1EFEF作垂线，垂足为作垂线，垂足为H H，由于点，由于点H H在平面在平面D D1 1EFEF内，故存在实数内，故存在实数x x，y y，使，使由于由于GHEFGHEF，GHEDGHED1 1，所以所以解得解得所以所以即点即点G G到平面到平面D D1 1EFEF的距离是的距离是 . .