1896192019872006第第1 1章章 控制系统的控制系统的状态空间表达式状态空间表达式1本章内容本章内容状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入化输入化输入- -输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换、对角线标准型和约当标准型系统的线性变换、对角线标准型和约当标准型系统的线性变换、对角线标准型和约当标准型系统的线性变换、对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵* *离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式* *时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式2状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式系统的外部描述系统的外部描述系统输入-输出描述从系统“黑箱”的输入-输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述 系统的内部描述系统的内部描述系统的完全描述“白箱”系统，完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述 3基本概念基本概念状态变量：状态变量：足以完全完全(?)表征系统运动状态的最小个数(?)的一组变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了，这组变量称为状态变量。状态向量（矢量）：状态向量（矢量）：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态向量（简称状态）。记作：状态空间：状态空间：状态向量取值的空间，即以状态变量 x1、x2、xn为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间 4状态变量的个数与选择状态变量的个数与选择n阶微分方程描述的系统，有n个独立的状态变量。同一个系统状态变量的选择不唯一，但状态变量的个数总是相等；有的可以直接测量，有的不能直接测量，通常选择容易测量的量。例如：机械和液压系统：流量、压力、速度、加速度、位移、力及它们的导数等；电系统：电压、电流、电荷、磁通及它们的导数等如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个数5基本概念基本概念n状态方程：状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示 输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式为：标量形式，繁琐!矢量形式6假设：causal system现在的输出只取决于现在和过去的输入，而与将来的输入无关。基本概念基本概念n输出方程：输出方程：描述状态与输入一起引起输出的变化是一个代数方程称为输出方程，其一般形式为n状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程和输出方程合在一起，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 7系统的分类系统的分类线性和非线性系统线性和非线性系统(linear/nonlinear)时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统(time-invariant)连续和离散系统连续和离散系统(continuous/discrete)非随机系统和随机系统非随机系统和随机系统(stochastic system)确定性系统和不确定系统确定性系统和不确定系统(uncertain system)8线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统线性系统状态空间表达式线性系统状态空间表达式非线性系统状态空间表达式非线性系统状态空间表达式为什么是线性的?9时变系统和定常系统时变系统和定常系统时变系统状态空间表达式时变系统状态空间表达式定常系统状态空间表达式定常系统状态空间表达式显含 t, explicitly隐含 t, implicitly10连续系统和离散系统连续系统和离散系统连续系统状态空间表达式连续系统状态空间表达式离散系统状态空间表达式离散系统状态空间表达式t0, , continuous timek0,1, discrete time11建立状态方程的步骤建立状态方程的步骤 选择状态变量根据物理或其它机理、定律列写运动微分方程化为状态变量的一阶微分方程组用向量矩阵形式表示12状态空间描述举例一状态空间描述举例一例1：求图示机械系统的状态空间表达式令得动态方程组问题：到底有何区别？13状态空间表达式为思考：如何检验？14状态空间描述举例二状态空间描述举例二例2求图示RLC回路的状态空间表达式令15状态空间表达式为16BreakBreak状态空间表达的系统框图状态空间表达的系统框图(矩阵向量图矩阵向量图)状态空间表达式17状态空间表达的模拟结构图状态空间表达的模拟结构图(标量图标量图)绘制步骤：绘制步骤：绘制积分器画出加法器和比例放大器用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。例：例：设三阶系统状态空间表达式为18其模拟结构图为：思考：已经有了前述的系统框图, 为何还要这种模拟结构图(繁!)?191.从传递函数方块图出发建立状态空间表达式思路：（1）将方块图细化到显示出积分，积分之后为状态变量，积分之前为状态变量的一次微分。（2）按细化后的方块图逻辑关系，直接写出状态空间表达式。例、求图示系统的状态空间表达式。20状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立( ( ( (一一一一) ) ) )646423821状态空间描述由此进一步得到矩阵向量形式的状态空间表达式:222. 从系统的物理原理出发(直接)建立状态空间表达式例 系统如图所示选择状态变量：x1=iL,x2=uc接下一页 23整理得：接下一页 24状态方程为：输出方程为：接下一页 25写成矩阵形式：答26例 系统如图图示由弹簧、质量体、阻尼器组成的机械动力学系统的物理模型。试建立以外力u（t）为系统输入、质量体位移y（t）为输出的状态空间模型。见下二页 27解：设在外力u(t)作用于小车前，小车已处于平衡态。这里仅考虑外力加入后对小车运动的影响。系统的受力情况如下图所示。由牛顿第二定律有：接下一页 28选择状态变量：对机械动力学系统，常常将位移、速度等选作状态变量。对本例，有状态变量代入，得：输出方程： 即得如下矩阵形式的状态空间模型：答29BreakBreak状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立( ( ( (二二二二) ) ) ) 化输入化输入化输入化输入- - - -输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式由输入-输出微分方程确定状态空间描述的问题称为实现问题。实现问题。设单输入-输出线性定常连续时间系统微分方程描述为它的传递函数为 为了得到微分方程式或传递函数式所示系统的状态空间描述，首先选择适当的状态变量，以保证得到前面描述形式的状态方程 30implementation/realization传递函数没有零点（输入信号不包涵导数时）(1)选择 为状态变量，即(2)要将高阶微分方程化为一组一阶微分方程1 1 1 1、传递函数中没有零点时的实现、传递函数中没有零点时的实现、传递函数中没有零点时的实现、传递函数中没有零点时的实现31(3)化为向量形式状态方程为:输出方程为:32 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型解 本例中因此，可得状态空间模型如下a2=6 a1=11 a0=6 b0=2接下一页 33其系统结构图如下所示思考：“1”和“2”能否互换位置？答34问题：那个“6”是 a0 ?2 2 2 2、传递函数有零点时的实现、传递函数有零点时的实现、传递函数有零点时的实现、传递函数有零点时的实现特点：各系数 需要通过“追赶法”计算得到。过程：要通过函数框图的等效便换函数框图的等效便换（详见教材p27-30页，过程略为复杂，请自学，下次讨论）。(1.33)规范型实现规范型实现35注意：图中系数下标顺序与本教材不同!输入无无导数输入有有导数36教材(p25)系数下标：逆序逆序MCE5，Ogata，p29系数下标：顺序顺序propermn和m=n意味什么？注意：系数下标顺序与本教材不同!37其中 i 满足方程传递函数有零点时的状态实现注意：系数下标顺序与本教材不同!natural & nice !38MCE5，Ogata，p29 ：其中 i 满足方程传递函数有零点时的状态实现刘豹教材：(1.33)(1.34)39 例1-7 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型求实现见下二页 40 例1-7 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型解：按MCE5编号,各系数待定系数i满足a1=28，a2=196，a3=740；b0=b1=0，b2=360，b3=440求实现接下一页 41状态实现答423 3 3 3、化为能控规范型、化为能控规范型、化为能控规范型、化为能控规范型(Controllability Canonical Form)(Controllability Canonical Form)当m=n时(bn0)当mn时(bn=0)，状态空间表达式的状态方程不变，而输出方程为 思考：mn和m=n意味什么？43(1.28)教材第3章中称为能控标准 I 型 * * * *4 4 4 4、化为能观规范型、化为能观规范型、化为能观规范型、化为能观规范型(Observability Canonical Form)(Observability Canonical Form)不区分m=n与mn的情形，因为mn都适用。44 * ：教材这里没有，但以后会有，故先提一下。思考：以上两种实现的模拟结构图分别是怎样的？教材第3章中称为能观标准 II 型 能控规范型：MCE,Ogata有关章节注意：系数下标顺序与本教材不同!45思考：如何检验？能观规范型：MCE,Ogata(A.9.2)注意：系数下标顺序与本教材不同!46BreakBreak思考：如何检验？状态方程的对角线和约旦标准型状态方程的对角线和约旦标准型(状态向量的线性变换状态向量的线性变换)对于给定的线性定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，即系统可以有多种结构形式。其实质是矢量的线性变换。设给定系统为 47系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性存在任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量作线性变换，设变换关系为 得到新的状态空间表达式48例 下列系统作线性变换：给定变换：见下一页 49解：状态空间表达式变为：答50系统特征值的不变性及系统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量1.系统特征值系统特征值设给定系统的状态方程为系统的特征值定义为如下特征方程 的根。2.特征值的不变性特征值的不变性同一系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。3.系统的不变量系统的不变量由于特征值全由特征多项式的系数唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么特征多项式的系数为系统的不变量。51特征矢量特征矢量如果对一个非零向量 成立 称非零向量为矩阵A的属于特征值 的特征向量。特征向量不是唯一的。当n个特征值 为两两相异时，任取的n个特征向量 必是线性无关的。 52对角线规范型对角线规范型 对系统，如其n个特征值 为两两相异，利用它们的特征向量组成变换矩阵 ，那么系统的状态方程在变换 下，必可化为如下的对角线规范型： 其中，为什么？见下一页 53证明：证毕54例：试将下列普通状态空间模型变换为对角规范形见下三页 55解：先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为求特征值所对应的特征向量：由前述的方法可求特征值1、2和3 所对应的特征向量： 取：接下一页 56同理可得：取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1 ，即有接下一页 57计算各矩阵系统在新的状态变量下的状态空间表达式为：答58几点讨论几点讨论1. 在对角线规范形下，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为n个独立的状态变量方程。 2.如果系统矩阵A具有标准形式 且其特征值为两两相异，则此时化状态方程为对角线标准形的变换阵是一个范德蒙德（Vandermonde）矩阵 如有重根、共轭复根时,详见P4059BreakBreak约旦规范型约旦规范型 如果系统的特征值为非互异的，则其状态方程不能转化为对角线规范形，但可以构造特定的变换矩阵使之化为准对角线规范型，即约旦(Jordan)规范型。 设系统的特征值有q个1的重根，其余（n-q）个根为两两相异，则变换矩阵的计算公式如下 广义特征向量广义特征向量其中， 是对应于（n-q）个相异特征值的特征向量，对应于q个1的重根的特征向量 的求取根据下式计算60约旦规范型约旦规范型( (续续续续) )其中，为什么？见下一页 61证明：证毕62系统的并联型实现系统的并联型实现1、具有互异根的情况或632、具有重根的情况64例: 将下述传递函数变换为状态空间模型见下二页 65解：由系统特征方程可求得系统极点为于是：其中：接下一页 66故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出。可得如下状态空间模型：将此结果与前面能控标准型的例题结果相比较也说明：对于同一个系统，若采用不同的建立状态空间模型的方法，将得到不同的状态方程，即状态空间模型不具有唯一性。答67由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵对应于系统 的传递函数矩阵为 同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。68例：求如下系统的传递函数见下一页 69解：先计算逆矩阵(sI-A)-1所以：答思考：其他方法？思考：其他方法？70G(s)的实用计算关系式的实用计算关系式给定状态空间描述的系数矩阵A，B，C，D，求出 和则相应的传递函数矩阵可按下式定出： 71线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 n系统状态空间描述在坐标变换下的特性系统状态空间描述在坐标变换下的特性 n如果两个状态空间描述之间存在非奇异线性变换关系，则称它们是代数等价的，即它们具有相同的一些代数特性。n同一系统采用不同的状态变量组所导出的不同状态空间描述之间，必然是代数等价的。 n对于线性定常系统的情况，可以做到使两个代数等价的状态空间描述化为相同的对角线规范形或约当规范形。 n系统在坐标变换下的不变量和不变属性反映了系统固有的特性。例如，特征值在坐标变换下保持不变，反映了系统的稳定性这一固有特性。 n系统传递函数矩阵在坐标变换下的特性系统传递函数矩阵在坐标变换下的特性 n线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。 72其他表示其他表示*子系统串并联子系统串并联(见见见见p46-47p46-47，请自学，请自学，请自学，请自学)73*离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式设系统差分方程为相应的脉冲传递函数为则离散系统状态空间表达式为74*时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式线性时变系统的状态空间表达式为*非线性系统的平衡点、小偏差线性化非线性系统的平衡点、小偏差线性化75BreakBreak习题：习题：1.1-1. 建议：用 Maple 编程验证2.1-4. 设 ai 的输入来自 xi，( i = 1, 2, 3, 4 )3.1-5.(2) 要求：分别计算标准型、能控标准型4.1-7. 5.1-9.(2)6.试验一 要求：在完成上述课后习题基础上进行本试验请用正规练习本，不要用易散的纸请用正规练习本，不要用易散的纸 ! !767778方块图等效变换法则的备忘方块图等效变换法则的备忘手势顺流手势向中心分合，次序相邻同交换79 因为是线性系统，信号因为是线性系统，信号du/dt经过经过x3积分一次后应复原，得到与积分一次后应复原，得到与u(t)成成比例的分量，因此，这一路信号可由一个直通环节替换！比例的分量，因此，这一路信号可由一个直通环节替换！接下一页 80接下一页 81接下一页 82接下一页 83接下一页 84思考：信号思考：信号d2u/dt2经过经过2次积分后应复原，最后结果得到什么次积分后应复原，最后结果得到什么?