2023-2024学年度高二下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试数学试卷试卷满分：150分注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求两个集合，再求并集.【详解】，即，所以，即，所以.故选：C2. 设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（ ）A 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件得到，再利用导数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为，所以，由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，故选：B.3. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ）1234510111315A. 11B. 12C. 12.5D. 13【答案】A【解析】【分析】利用样本中心点求解即可.【详解】，因为经验回归方程经过样本中心，所以，解得.故选：A.4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ）A. 24B. 36C. 54D. 60【答案】C【解析】【分析】首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解.【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法，所以5人的名次排列有种方法.故选：C5. 的展开式中的系数是（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式确定r的值即可求出系数.【详解】因为的展开式中，通项公式 ,令，得，则，又,所以的系数为.故选：A.6. 柯西分布（Cauchy distribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据概率密度函数的对称性，结合条件，即可求解.【详解】函数关于轴对称，由可知，且，则，所以.故选：D7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可.【详解】的定义域为，则，因为有两个极值，所以有两个不等的实数解，由，得，令，则，当时，当时，所以在上递增，在上递减，因为，所以当时，当时，所以的图象如图所示， 由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值，因为是的真子集，所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题.8. 已知,若,则的最小值等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先变形为，证明，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值.【详解】由题设，设,则，当单调递减，当单调递增，所以，即，综上，即，所以，设是直线上的点，是圆上的点，而目标式为，由，故.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 下列命题正确的是（ ）A. 命题“对任意，”的否定是“存在，使得”B. “”的充分不必要条件是“”C. 设，则“且”是“”的充分不必要条件D. 设，则“”是“”的充分不必要条件【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，用量词命题的否定可得解；对于B选项，用集合法可以判断；对于C选项，用充分条件和必要条件的定义可以判断，对于D选项，用等价法可以判断.【详解】对于A选项，命题“对任意，”的否定是“存在，使得”，故A错误；对于B选项，或，因为或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，充分性：当且时，则，所以具有充分性，必要性：令,，但“且”不成立，所以不具有必要性，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D选项，因为“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.故选：BC10. 将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（ ）A. 共有256种放法B. 恰有一个盒子不放球，共有72种放法C. 恰有两个盒子不放球，共有84种放法D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种【答案】ACD【解析】【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为的球的放法，再确定与号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D.【详解】若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A正确；恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则种放法，故B错误；恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为，或，两种情况，故共种放法，故C正确；编号为的球有种放法，编号为的球所放盒子的编号相同的球放入号或其他两个盒子，共有，即种放法，故D正确故选：ACD11. 下列选项中正确的是（ ）A. 已知随机变量服从二项分布，则B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次D. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，则【答案】ABD【解析】【分析】根据二项分布方差公式，以及方差的性质，即可判断A；代入超几何分布的期望公式，即可判断B；根据二项分布的概率，结合不等式，即可求解，判断C；根据和事件概率公式，以及条件概率公式，即可判断D.【详解】A.，故A正确；B.为超几何分布，所以，故B正确；C.设最有可能击中次，则，则，得，即或，故C错误；D.，则，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 某市的5个区县，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有_种【答案】96【解析】【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论.【详解】第一步：从4种颜色中选3种颜色对三个区域着色有种方法，第二步：对着色分两类，当与同色有1种方法，对着色有2种方法，当与不同色时有1种方法，对着色有2种方法，故不同的染色方案共有种故答案为：种.13. 某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道类试题，6道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，学生甲答对试题的概率为_【答案】#【解析】【分析】利用全概率公式进行求解.【详解】学生甲答对试题的概率为.故答案为：14. 若对任意的，且，则的最大值是_【答案】#【解析】【分析】由题意可得，令，则，则可得在上递增，然后利用导数求出的递增区间，从而可求出的最大值.【详解】因为，所以，所以由，得，所以，所以，令，则，因为对任意的，且，所以在上递增，由，得，由，得，得，解得，所以的递增区间为，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将原不等式变形，然后构造函数，利用导数求函数的单调区间，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，则转化对于，即可.（2）若为真命题，即，不等式成立，则转化为对于，即可.【小问1详解】若为真命题，即，使得不等式成立，则对于，即可.由于,，则【小问2详解】若为真命题，即，不等式成立，则对于，即可.由于，解得p、q有且只有一个是真命题，则或，解得.16. ，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的天文学基础一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：合格不合格合计高三年级的学生54高一年级的学生16合计100（1）请完成22列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望.附：，0.1000.0500.0100.001270638416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据卡方的计算与临界值比较即可求解，（2）利用二项分布的概率公式即可求解概率以及期望公式求解.【小问1详解】由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人.补充完整的列联表，如下：合格不合格合计高三年级的学生54660高一年级的学生241640合计7822100提出零假设：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关.根据列联表中数据，得.根据小概率值的独立性检验，我们推断H不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.【小问2详解】