7-4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势静电场可对移动电荷静电场可对移动电荷作功作功- 静电场具有能量静电场具有能量 试探电荷试探电荷 q0在点电荷在点电荷q的电场中沿任意路径的电场中沿任意路径 从从 a 移动到移动到 b取元位移取元位移一、静电场力作功的特点一、静电场力作功的特点rr drdl 结结论论：试试探探电电荷荷在在任任何何静静电电场场中中移移动动时时，静静电电场场力力所所作作的的功功只只与与试试探探电电荷荷的的起起点点和和终终点点的的位位置有关，而与路径无关置有关，而与路径无关 。 l在点电荷系电场中在点电荷系电场中-与路径无关与路径无关l对连续分布带电体可得同样结果对连续分布带电体可得同样结果设设L为一闭合路径为一闭合路径-静电场环路定理静电场环路定理静电场是一个保守场静电场是一个保守场静电场中电荷具有电势能静电场中电荷具有电势能二二、电势能电势能l设设Wa和和Wb分别表示试探电荷分别表示试探电荷q0在在a点点和和b点系统的电势能点系统的电势能W 是是相对量相对量，要确定，要确定 q0 在某点的在某点的W 大小，大小，必先选必先选电势能零点。电势能零点。参考点参考点电势能不仅与电场有关，电势能不仅与电场有关，还和放在电场中电荷有关还和放在电场中电荷有关比值只与电场比值只与电场本身及场点位本身及场点位置有关置有关三、电势三、电势l定义：定义：l任意两点任意两点a和和b之间的电势差为之间的电势差为参考点参考点 物理意义物理意义：单位正电荷从单位正电荷从 a 点沿点沿任意路任意路径径移到参考点处时静电力所作的功移到参考点处时静电力所作的功说明：说明：（2 2）电势是相对量，电势零点的选取原则）电势是相对量，电势零点的选取原则 电荷分布为电荷分布为有限范围有限范围时，通常选时，通常选无穷无穷远处远处为为电势零点；电势零点； 电荷分布延伸至电荷分布延伸至无穷远处时无穷远处时，必须选，必须选有限范围内的某点为有限范围内的某点为电势零点。电势零点。（1 1）电势是）电势是标量标量，有正、负之分，有正、负之分（3 3）电势差是绝对的，与零点选取无关）电势差是绝对的，与零点选取无关四、电势的计算四、电势的计算(1)点电荷的电势点电荷的电势（2）点电荷系的电势）点电荷系的电势（3）连续分布电荷电场中的电势）连续分布电荷电场中的电势1.1.点电荷点电荷q电场中的电势电场中的电势取取无限远处无限远处为零电势参考点，为零电势参考点，a点电势为点电势为选择选择积分积分路径路径讨论：讨论：(a) q 为正时，各点的电势为为正时，各点的电势为正；离正；离 q 越远，电势越低；越远，电势越低；无限远处电势最低且为零无限远处电势最低且为零(b) q 为负时，各点的电势为为负时，各点的电势为负；离负；离 q 越远，电势越高；越远，电势越高；无限远处电势最高且为零无限远处电势最高且为零UrUr+2. 点电荷系点电荷系电场中的电势电场中的电势设电场由设电场由 q1,q2,qn的的点电荷系点电荷系激发激发qiq1r1ari-静电场的电势叠加原理静电场的电势叠加原理 例例8四四个个电电量量均均为为q的的点点电电荷荷，分分别别放放在在边边长长为为a的的正正方方形形的的四四个个顶顶点点上上，求求(1)正正方方形形中中心心O处处的的电电势势；(2)如如果果将将试试探探电电荷荷q0从从无无限限远远处处移移到到O点点，电电场场力力作作功多少？功多少？解：解：(1)O点到四个顶点到四个顶角的距离角的距离 根据电势叠加原理有根据电势叠加原理有(2)将将q0从无限远处移到从无限远处移到O点，电场力的点，电场力的功为功为aQ3. 连续电荷分布电场中的电势连续电荷分布电场中的电势在带电体上任取一电荷元在带电体上任取一电荷元dqdq到电场中某一点到电场中某一点a的距离为的距离为r 例例9试试计计算算半半径径为为R、均均匀匀带带电电为为q的的细细圆环轴线上任一点圆环轴线上任一点a处的电势。处的电势。解解：(1)电势叠加方法电势叠加方法任任取取线线元元dl，所所带带电量为电量为(2)由电场强度求解由电场强度求解积分路径取轴向积分路径取轴向讨论：讨论：(1)环心处：环心处：x=0(2)xR，则则-相当于点电相当于点电荷的电势荷的电势例例半径半径R的均匀带电球面，电量为的均匀带电球面，电量为q，求空间的电势分布求空间的电势分布解：解：由高斯定理可得由高斯定理可得时：时：时：时：分段分段积分积分结论结论：均匀带电球面，球内电势等于球：均匀带电球面，球内电势等于球表面的电势，球外电势等效于将电荷集表面的电势，球外电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势中于球心的点电荷的电势场强分布曲线场强分布曲线电势分布曲线电势分布曲线ERrO8URrO8 例例11求求无无限限长长均均匀匀带带电电直直线线外外任任一一点点a处的电势。已知电荷线密度为处的电势。已知电荷线密度为 解：解：无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线的电场强度大小为的电场强度大小为在通过在通过a点并与带电直线垂点并与带电直线垂直的线上取一参考点直的线上取一参考点b取取rb=1m，则，则Ub=0讨论：讨论：(1) r 1m处，处，U0(2) r 0计算电势的两种方法：计算电势的两种方法：（2 2）迭加法）迭加法对带电体积分对带电体积分对路径积分对路径积分（1 1）定义法）定义法7-5 等势面等势面 电电场强度与电势的关系场强度与电势的关系一、等势面一、等势面- 电势相等的点所组成的面电势相等的点所组成的面虚线虚线-等势面等势面实线实线-电场线电场线正点电荷正点电荷等量异号点电荷等量异号点电荷平行板电容器平行板电容器+不规则形状带电体不规则形状带电体l等势面图示法等势面图示法: :证证： 设设q0沿等势面沿等势面a b，则：则： 等势面的特点等势面的特点: : 沿等势面移动电荷沿等势面移动电荷，abq0电场力不作功电场力不作功 电场线和等势面处处正交电场线和等势面处处正交证：证：设等势面上设等势面上P处场强为处场强为 ，, 则：则：q0沿等势面有一沿等势面有一 q0P P 电场线指向电势降低方向电场线指向电势降低方向UaUb b证：证：设有两等势面设有两等势面 Ua、 U b则：则：UaUbUc r2 r1 等势面族的疏密定量表场强大小等势面族的疏密定量表场强大小证明：证明： 设有一系列等势面族设有一系列等势面族Ua、 U b、 Uc、E1E2则近似有：则近似有：二、场强与电势的关系二、场强与电势的关系电电 场场 线线等等 势势 面面知知U分布，如何求分布，如何求E ？单位正电荷从单位正电荷从P移到移到Q时时电势的空间变化率电势的空间变化率即沿即沿 从从P到到R负号表示负号表示与与 的方向相反的方向相反定义矢量定义矢量: 电势梯度电势梯度电势的电势的最大最大空间变化率空间变化率,大小为大小为 ,其方向其方向指向电势指向电势升高升高的方向的方向,即沿着即沿着 的方向的方向.l直角坐标系中直角坐标系中结论结论:a. 静电场中各点静电场中各点E大小大小=该点该点U空间变化率的最空间变化率的最大值，大值，方向方向垂直等势面指向垂直等势面指向U降低方向降低方向 ( U梯梯度的负值度的负值)b. 在在U不变的空间，不变的空间， U = 0， E = 0 。c. U= 0处，处， E不一定不一定= 0 ； E = 0处，处， U也不一定也不一定= 0 例例应应用用电电势势梯梯度度的的概概念念，计计算算半半径径为为R、电电荷荷面面密密度度为为 的的均均匀匀带带电电圆圆盘盘轴轴线线上上任一点任一点P的电场强度的电场强度解解：取取半半径径为为r宽宽为为dr的圆环的圆环由电势叠加原理有由电势叠加原理有由对称性，电场强度方向沿轴线由对称性，电场强度方向沿轴线静静电电场场电电场场强强度度电电势势叠加法叠加法高斯定理高斯定理电势梯度电势梯度叠加法叠加法电场强度的线积分电场强度的线积分