第 1 页，共 8 页2023-2024 学年吉林省吉林八校高一下学期学年吉林省吉林八校高一下学期 7 月期末考试数学试题月期末考试数学试题一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足=12，则=()A.2+B.2+C.2D.22.已知某校有3000名男学生，2400名女学生，为了了解该校学生的体重情况，按男女分层抽样的方法随机抽取180名学生进行调查，则被抽取到的女学生人数是()A.60B.80C.100D.1203.已知向量=(2,+1),=(1,3)，且/，则=()A.5B.5C.7D.74.在正方体1111中，分别是棱，11的中点，则异面直线与1所成角的余弦值是()A.33B.63C.36D.665.已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是()A.若 ，则/B.若/，/，则/C.若/，则 D.若 ，/，则 6.在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西15的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距20 2千米的处，小船乙沿北偏西60的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是()A.5 2千米/时B.5 3千米/时C.10千米/时D.20千米/时7.在边长为2的正 中，=,(0,1),=,(0,1)，点在线段上，=0,/，则|+|2的最小值为()A.1516B.1916C.2516D.55168.某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则|=()A.10B.5 3C.5 2D.5二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数=1+,为的共轭复数，若0=，下列结论正确的是()第 2 页，共 8 页A.0在复平面内对应的点位于轴上B.0的实部为0C.0的虚部为1D.|0|=110.已知,构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()A.+2，+2，B.+2，C.，+，D.+，+，+11.如图，点在正方体1111的面对角线1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是()A.三棱锥1的体积不变B.1/平面1C.1D.平面1 平面1三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知直线的方向向是为=(2,1,1)，平面的一个法向量为=(1,2,1)，则直线与平面所成的角是 13.在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器已知该园台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米14.在中，角，的对边分别是，=4，4sin=3cos，是内角的角平分线，和的面积分别是1，2，且1=32，则1=四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量(单位：)进行统计，所得数据都在1,4内，按1,1.5),1.5,2)，2,2.5),2.5,3)，3,3.5),3.5,4分成六组，得到如图所示的频率分布直方图第 3 页，共 8 页(1)求图中的值；(2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；(3)若这批鱼有1000条，估计这批鱼中重量在1.5,2.5)内数量16.(本小题15分)如图，在四棱锥中，=，四边形是正方形，是的中点(1)证明：/平面(2)证明：平面 平面17.(本小题15分)记的内角,的对边分别为,，已知=2,=43(1)求cos；(2)若=3，求的周长18.(本小题17分)如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，=2=2=4,/，,分别是棱,的中点，=2 2，平面 平面(1)证明：平面第 4 页，共 8 页(2)求二面角的正弦值19.(本小题17分)在复数域中，对于正整数满足=1的所有复数=cos2+sin2()称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有 1，则称这种复数为次的本原单位根，例如当=4时，存在四个4次单位根 1,，因为11=1,(1)2=1，因此只有两个4次本原单位根 (1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根(无需证明)(2)若是复数的8次本原单位根，证明：1+2+7=0若是复数的次本原单位根，证明：1+2+3+1=0第 5 页，共 8 页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.6 13.0.672 14.8 33 或83 3 15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.1+2+0.6+0.5+0.4)0.5=1，解得=0.2；(2)设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为，因为(0.1+0.2+0.6)0.5=0.45 0.5，所以 2.5,3),则0.45+(2.5)0.5=0.5，解得=2.6，即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为2.6；(3)由频率分布直方图可知这批鱼中重量在1.5,2.5)内的频率是(0.2+0.6)0.5=0.4，则这批鱼中重量在1.5,2.5)内的数量是1000 0.4=400条.16.解：(1)记 =，连接因为四边形是正方形，所以是的中点因为是的中点，所以/因为 平面，平面，所以/平面第 6 页，共 8 页(2)连接因为四边形是正方形，所以是的中点因为=，所以 因为四边形是正方形，所以 因为,平面，且 =，所以 平面因为 平面，所以平面 平面 17.解：(1)因为=2，所以sin=2sincos又=43，所以sin=43sin，则2sincos=43sin，因为sin 0，所以cos=23(2)因为=3，所以=43=4由余弦定理2=2+22cos，得9=2+168 23整理得3216+21=0，解得=73或=3因cos=2312,22，则 4,3=2 2,23cos 0，不合题意排除；当=73时，cos=32+7322422 3 3 0，满足题意则=73，的周长为73+3+4=283 18.解：(1)连接因为是的中点，所以=2因为=2=2=4,/，所以四边形是菱形，则 第 7 页，共 8 页因为=,是的中点，所以 因为平面 平面，且平面 平面=,平面，所以 平面因为 平面，所以 因为,平面，且 =，所以 平面(2)取的中点，连接，易证,两两垂直，故以为原点，以,，的方向分别为,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由题中数据可得(3,1,0),(0,0,0),(0,1,1),(0,0,2)，则=(3,0,1),=(3,1,0),=(0,1,1)设平面的法向量为=(1,1,1)，则 =31+1=0,=11=0,令1=1，得=(1,3,3)设平面的法向量为=(2,2,2)，则 =32+2=0,=32+2=0,令2=1，得=(1,3,3)设二面角为，则|cos|=|cos,|=|=17，故sin=12=4 37，即二面角的正弦值为4 37 19.解：(1)由题意可得=1的解为=cos23+sin23(=0,1,2)，则复数的3次单位根为1,12+32,12 32，由于因为11=1，12+32,12 32的一次方以及2次方均不等于1，故复数的3次本原单位根为12+32,12 32(2)证明：因为是复数的8次本原单位根，所以 1(8),8=1因为8=42=1，所以4=1，第 8 页，共 8 页所以+5=1+4=0,2+6=21+4=0,3+7=31+4=0，则1+2+7=0因为是复数的次本原单位根，所以 1(),=1，设=1+2+3+1，则=+2+3+1+因为=1，所以=+2+3+1，所以=，所以(1)=0因为 1()，所以 1，即1 0，则=0，即1+2+3+1=0