8.28.2不等式选讲不等式选讲2命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四绝对值不等式的解法【思考】如何解绝对值不等式?例1(2017全国,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.3命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四4命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思绝对值不等式的求解方法(1)|ax+b|c,|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc,|ax+b|cax+bc或ax+b-c,然后根据a,b的取值求解即可.(2)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想;通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.5命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集.6命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四7命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四绝对值不等式的参数范围问题【思考】解决绝对值不等式的参数范围问题的常用方法有哪些?例2已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x 时,f(x)g(x),求a的取值范围.8命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解：(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)5的解集为x|x2或x5,得ax4或ax5的解集为x|x2或x0,证明:3a3+2b33a2b+2ab2;(2)证明:a6+8b6+ 2a2b2c2;(3)若a,b,c为正实数,证明:a2+4b2+9c22ab+3ac+6bc.16命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四17命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四不等式的综合应用【思考】用什么定理或公式解决多变量代数式的最值问题?例4已知a,b为正实数.18命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,运用基本不等式时应注意其条件(一正、二定、三相等).19命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4(2017全国,理23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.20命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解: (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当xB,先假设AB,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,可以考虑用反证法;(5)放缩法,要证明不等式A0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)38,因此a+b2.24规律总结拓展演练2.已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|,当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解：(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x= 时等号成立,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(分类讨论)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).25规律总结拓展演练3.若实数a,b满足ab0,且a2b=4,a+bm恒成立.(1)求m的最大值;(2)若2|x-1|+|x|a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.当且仅当a=2,b=1时,a+b取得最小值3,m的最大值为3.(2)要使2|x-1|+|x|a+b对任意的a,b恒成立,则2|x-1|+|x|3.用零点区分法求得实数x的取值范围是26