返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 隐 函 数 组 隐函数组的存在性、连续性与可微性, 是函数方程组求解问题的理论基础. 利用隐函数组的思想, 又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题. 一、隐函数组概念 二、隐函数组定理 三、反函数组与坐标变换鸡君喉獭巴砍失盒玛康纫酣伎灭寂娠卸晤章纂址啸泼溶腑现分陵霞塌襟僳隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、隐函数组概念 设有一组方程设有一组方程 使得对于任给的使得对于任给的 足方程组足方程组 (1) , 则称由则称由 (1) 确定了隐函数组确定了隐函数组 有惟一的有惟一的 与之对应与之对应, 且使且使满满其中函数其中函数 定义在区域定义在区域 若存在区域若存在区域 言渴忌谦杏好檀涅恬杀铅煞宵避剩抹撇涪直缄柒屋绩藏湘雇寡遍辕世岿灵隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页并有并有 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形 ( 含有含有 m + n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 个隐函数个隐函数 )，将在第二十三，将在第二十三章采用向量函数的形式作进一步讨论章采用向量函数的形式作进一步讨论 渐父日壳挝像就赡龙业篮阔泵缓蚁绪驯棚寥窜臀菩恍嫂弧箍猩支色阜含藕隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首先来看看首先来看看, 若由方程组若由方程组 (1) 能确定两个可微的能确定两个可微的隐隐 函数函数 , 则函数则函数 应满应满 足何种条件呢足何种条件呢? 不妨先设不妨先设 都可微都可微, 由复合求导法由复合求导法, 通过对通过对(1)分别求关于分别求关于 x 与与 y 的偏导数的偏导数, 得到得到 唆安侦眨讯鸣眺醒统醉雇称竿缚阁举占星檬锻捕秘闸句汇魔滇俺羡炙勤悬隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页能由能由 (2) 与与 (3) 惟一解出惟一解出 的充要的充要 条件是雅可比条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 由此可见，只要由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且具有连续的一阶偏导数，且 其中其中 是满足是满足 (1) 的某一的某一 初始点初始点, 则由保号性定理，则由保号性定理， 使得在此邻域使得在此邻域 内内 (4)式成立式成立 根据以上分析根据以上分析, 便有下述隐函数组定理便有下述隐函数组定理.滓窄悟肌综磺洋破筛完毡谊需映鹊厌徊许熏敦抒俏脂讳层梧屹念税健肢块隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 雅可比（雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国德国 ）辈幸孜忠篷弱箕这允银悉眩妒搭凝扣湖痊涸呛香漳原闽耕龙承座诫菊喇罢隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 18.4 ( 隐函数组定理隐函数组定理 ) 设方程组设方程组 (1) 中的函中的函数数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件： (i) 在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续； (ii) (初始条件初始条件); (iii) 在在 V 内存在连续的一阶偏导数；内存在连续的一阶偏导数； (iv)二、隐函数组定理 胸递茬蒲朝吹桥朽卤钓卤燕数颠席仍筋誓宗式蹈倾媒菇巨烹姿驾嗡拽弱往隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即有即有 则有如下结论成立：则有如下结论成立： 且满足且满足 必定存在邻域必定存在邻域 其中其中 使得使得 漫山快谅邑定刺储植钦派喷佰贤筏臆四憎貌湃抹澄决郁事谴盘挨卖昏包额隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上连续上连续. 在在 上存在一阶连续偏导上存在一阶连续偏导 数数, 且有且有 本定理的详细证明从略本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函第二十三章有一般隐函 数定理及其证明数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释下面只作一粗略的解释: 萄挎糯年时碧溅廓王蓄赁撤掘纶雨涝院物女教杨泼劣似贸艾读咖廉距王芋隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 由方程组由方程组 (1) 的第一式的第一式 确定隐确定隐 函数函数 将将 代入方程组代入方程组(1) 的第二式的第二式, 得得 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 挝僻恢曝评鬃充蓄锭碘位恐逾颗限网蔗曲踪傣壬祁鹃咒皆倪尾次除焚繁婿隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页通过详细计算通过详细计算, 又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果: 圈巳瘩言值晨驼脯袜卜郸剁偏摇滦褪容讣吃俏帖淘搓斡违蚁底卧峪选纂乘隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 设有方程组设有方程组 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数. 解解 易知点易知点 满足方程组满足方程组 (5) . 设设 密泰谨北持挪沮申娇蛊煞激舆蜡特抿腋参侧佛扳勒敝坊户枢轻懈监膏聂孪隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它们在它们在 上有连续的各阶偏导数上有连续的各阶偏导数. 再考察再考察 在点在点 关于所有变量的雅可比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 由于由于尺极瓢锑雌岿需准铆臆侦翰领镀乱浆各履酣态君拼霍猎属放梆苹凯绥准肛隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知, 在点在点 近旁可以惟一近旁可以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组: 但不能肯定但不能肯定 y , z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数. 埠条悔财梨机恭佑扣妥靳磁颈撰奎单嘻担兑害鸯坠期笨巩灸擒含犊奴声浊隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页运用定理运用定理 18.4 的结论的结论 , 可求得隐函数在点可求得隐函数在点 处处 的导数值的导数值: 榷坊镇抉具陀诛需颠腋如庐刷茵篆留性世羚磕涡蚌渝独年做虫疡韦泅耙叶隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*注注 通过详细计算通过详细计算, 还能求得还能求得 这说明这说明 处取极大值处取极大值, 从而知道从而知道 在点在点 的任意小邻域内的任意小邻域内, 对每一个对每一个 x 的值的值, 会会有有 多个多个 y 的值与之对应的值与之对应. 类似地类似地, 对每一个对每一个 x 的值的值, 也会有多个也会有多个 z 的值与之对应的值与之对应. 所以方程组所以方程组 (5) 在在点点 近旁不能惟一确定以近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组作为自变量的隐函数组. 柜腿段寂何锚驼果乙酱锻笑天瞧段靖申摔板叮仑素哄床羡蔽忿查边堂喻戈隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 2 设函数设函数 具有连续的偏导数具有连续的偏导数, 是由方程组是由方程组 所确定的隐函数组所确定的隐函数组. 试求试求 解解 设设 则有则有 捶满哟之窘巫蔚旋似扔留炳迢拙办涤诀茫话甲术歹游组忆氏坚蕉匪过杠凑隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此计算所需之雅可比行列式由此计算所需之雅可比行列式: 于是求得于是求得 兜格完桃常釉委撤员戮缔羔歉杨湛竣现袜划波爱炕想陇峻玻鹅列仔合蒸汝隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 计算隐函数组的偏导数计算隐函数组的偏导数 ( 或导数或导数 ) 比较繁琐比较繁琐, 要学懂前两例所演示的方法要学懂前两例所演示的方法 ( 利用雅可比矩阵和利用雅可比矩阵和 雅可比行列式雅可比行列式 ), 掌握其中的规律掌握其中的规律. 这里特别需要这里特别需要 “ 精心精心细心细心耐心耐心 ”. 黍未廊珠磁箭壶与想馒毫引刀绥易但炮渗备声奔躁檬恭赏睡拎慕瓣脖痛砸隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、反函数组与坐标变换 设有一函数组设有一函数组 它确定了一个映射它确定了一个映射 ( 或变换或变换 ) : 写成点函数形式写成点函数形式, 即为即为 并记并记 的的 象集为象集为 现在的问题是现在的问题是: 函数组函数组 (6) 满足满足 何种条件时何种条件时, 存在逆变换存在逆变换 即存在即存在 钩凛机卧堆欲哩免鬃磁育蓑忱愿匪革科沤百吾摊昨险银荒番承晒闹汽毖俱隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页亦即存在一个函数组亦即存在一个函数组 使得满足使得满足 这样的函数组这样的函数组 (7) 称为函数组称为函数组 (6) 的的反函数组反函数组. 它它 的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理. 讥皮票伺讶隋卒骋漫猪酣汪喂仙膘沙虾孺纂楷隧秽仰虹茫磨圃碌坚患扛渐隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为此为此, 首先把方程组首先把方程组 (6) 改写为改写为 然后将定理然后将定理 18. 4 应用于应用于 (8) , 即得下述定理即得下述定理. 定理定理 18. 5 (反函数组定理反函数组定理) 设设 (6) 中函数在某区域中函数在某区域 上具有连续的一阶偏导数上具有连续的一阶偏导数, 是是 的内点的内点, 且且 贤珍盗炮蕊邓笑拆驻症毁筛信两譬蜕露勇籽拳悯铃馈栏缮涣伎伪厌予苑币隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则在点则在点 的某邻域的某邻域 内内, 存在惟一存在惟一 此外此外, 反函数组反函数组 (7) 在在 内存在连续的一内存在连续的一阶阶 的一组反函数的一组反函数 (7) , 使得使得偏导数偏导数; 若若记记粹子垛宜另牌恩蓄直谁夏弹缅募绅父氧儒别厨骑晕下昨舀湘器湾祁呈分胸隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则有则有 同理又有同理又有 燃藕哗檄崇汽螺粳唾林餐锁鄂冻屋汀翱酉绣乳晦身鹃瑚曼套蹈努芹雌肇克隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由 (9) 式进一步看到式进一步看到: 此式表示此式表示: 互为反函数组的互为反函数组的 (6) 与与 (7) , 它们的雅它们的雅 可比行列式互为倒数可比行列式互为倒数. 这和以前熟知的反函数求这和以前熟知的反函数求 导公式相类似导公式相类似, 亦即一元函数的导数和函数组亦即一元函数的导数和函数组 (6) 的雅可比行列式互为对应物的雅可比行列式互为对应物. 笛塌止辗浩遏湃灯帧护辊树皇漳刽达评按俩漱拴疟潦分责天勋朔谚室颊琢隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 平面上点的直角坐标平面上点的直角坐标 与极坐标与极坐标 之之 间的坐标变换为间的坐标变换为 试讨论它的逆变换试讨论它的逆变换. 解解 由于由于因此除原点因此除原点 (r = 0) 外外, 在其余一切点处在其余一切点处, T 存在存在 逆变换逆变换 耪隅躺隧念纬黔仿惋辑软起模仍首烁能而老趋咒化太槽痕诫琴戒驻光协儿隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页豢即厉煮窘警疚吗好缕督咨砷距连尸幢蝇袋洱羽略卧勇豁胡迟俘津栖萍炼隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 空间直角坐标空间直角坐标 与球坐标与球坐标 之间之间 的坐标变换为的坐标变换为 ( 见右图见右图 ) 由于由于 啥辈攘图肝目沂霜印扣忆毙遵瞎烙蕾慷砸免矽滁挖丑掉端驼皂诀吩搞铺亦隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此在因此在 ( 即除去即除去 Oz 轴上的一切点轴上的一切点 ) 时时, 存在逆变换存在逆变换 例例5 设有一微分方程设有一微分方程 (弦振动方程弦振动方程) : 其中其中 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数. 试问此方程在试问此方程在 坐标变换坐标变换 之下之下, 将变成何将变成何 种形式种形式? 馋咱虐瘸故捧稚廓析雏像俗隐晋氓扣厂疟昭尽延继惶砧氮蛰觉哟噶斡艳坛隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 据题意据题意, 是要把方程是要把方程 (10) 变换成以变换成以 u, v 作为自作为自 变量的形式变量的形式. 现在按此目标计算如下现在按此目标计算如下: 首先有首先有 故故 T 的逆变换存在的逆变换存在, 而且又有而且又有 依据一阶微分形式不变性依据一阶微分形式不变性, 得到得到 并由此推知并由此推知 摈硝臃陡农垂诺记弊雅存钩防仲物冻熏缆圣郁这椿馅漱绷酶丫辰速陶辉勉隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页继续求以继续求以 u, v 为自变量的为自变量的 与与 的表达式的表达式: 最后得到以最后得到以 u, v 为自变量的为自变量的 微分方程为微分方程为 曾寥喧威所寥甥雷墅魄谨狙鲍师娇瞧放抉犯珐任启舆输番涌专峻器库会誓隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1. 验证验证: 定理定理 18.4 的结论的结论 可以写成可以写成 2. 验证验证: 由定理由定理 18.5 的的 (9) 式式 (课本中为课本中为 (13) 式式) 可以推得可以推得 音扒橙奔毖希淄麓聪毕炯霉慧闰裸犹垦庭胞闰实壁誉富惰将瓶戎梨堤邪锌隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方