边缘分布边缘分布 marginal distribution 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。 问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ， 依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率 7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列的联合分布列 二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 n关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设（设（X, Y）的联合密度为的联合密度为求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数解解由由 得得 当当 时时 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 时时 当当 时时 当当 时时 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设（设（X, Y) 的联合分布密度为的联合分布密度为 （1）求）求k值值(2) 求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)(2)均匀分布均匀分布解解 (1)由由 得得 当当 时时-11当当 时时 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 . -11解解 当当 时时当当 时时 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 解解 （3） 见课本见课本P59P59例例3 3 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布服从正态分布 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 所以，所以， 同理可得同理可得 不同的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 n n定义定义定义定义 设（设（设（设（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y)，两个，两个，两个，两个边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y)(y)(y)(y)，如果对于，如果对于，如果对于，如果对于任意的任意的任意的任意的x,yx,yx,yx,y都有都有都有都有F(x,y)= FF(x,y)= FX X(x) F(x) FY Y(y)(y)，则称随机变量则称随机变量则称随机变量则称随机变量X X，Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，进而相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用. . 在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！n n实际意义实际意义实际意义实际意义n n补充说明补充说明补充说明补充说明设（设（X，Y）的概率分布（律）为的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX、Y Y相互独立相互独立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为求求 ( (1) 1) P P（0X1 0X1 ，0Y10Y1） (2) (X,Y)(2) (X,Y)的边缘密度，的边缘密度， （3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0x1 0x1 ，0y10y1） 11 边缘密度函数边缘密度函数分别分别为为当当 时时当当 时时所以，所以， 同理可得同理可得 所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。 解解 （X,Y）的密度函数为的密度函数为 当当 时，时，所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时当当 时，时，所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时所以所以 所以，所以，X与与Y不独立不独立。 设（设（设（设（X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)服从矩形域服从矩形域服从矩形域服从矩形域上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。例例4 4 时时时时解解于是于是同理同理同理同理所以所以所以所以即即即即 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。 时时时时