第三章第三章 连续系统仿真方法学连续系统仿真方法学本章主要内容本章主要内容n连续系统建模方法连续系统建模方法n模型变换模型变换n连续系统仿真算法连续系统仿真算法n采样控制系统仿真采样控制系统仿真*n分布参数系统仿真分布参数系统仿真*第一节第一节 连续系统建模方法连续系统建模方法n先验知识建模先验知识建模n机理建模方法机理建模方法知识模型知识模型 n常见形式：各种学科的公理、定理、定律等常见形式：各种学科的公理、定理、定律等 n专家系统方法专家系统方法逻辑关系模型逻辑关系模型 n符号、关系式、专家知识库、推理规则等符号、关系式、专家知识库、推理规则等 n模糊系统方法模糊系统方法模糊模型模糊模型 n高矮、大小等模糊语言量化成定量的表示形式，高矮、大小等模糊语言量化成定量的表示形式，按某种算法得到定量的结果后再转换为模糊语言按某种算法得到定量的结果后再转换为模糊语言 以上方法有时也用于离散事件系统建模以上方法有时也用于离散事件系统建模 n系统辨识建模系统辨识建模 n经验方法经验方法 n直接观察数据曲线得出模型方程，如线性系统，直接观察数据曲线得出模型方程，如线性系统，一阶对象等一阶对象等 n表格插值，一种静态建模技术，主要用于计算动表格插值，一种静态建模技术，主要用于计算动态方程中的系数态方程中的系数 n统计建模（数理统计的方法）统计建模（数理统计的方法） n最小二乘法及其改进形式、极大似然估计法等最小二乘法及其改进形式、极大似然估计法等 n神经网络神经网络 n混合建模方法混合建模方法 n若干种模型形式（输出）互相补充若干种模型形式（输出）互相补充n 给定输入后，从机理模型中产生输出，与辨识给定输入后，从机理模型中产生输出，与辨识模型的输出按某种方式得到系统输出，反过模型的输出按某种方式得到系统输出，反过来可以用输出误差继续修正辨识模型来可以用输出误差继续修正辨识模型 第二节第二节 模型变换模型变换n连续系统常用的模型表示形式连续系统常用的模型表示形式n连续时间模型连续时间模型n系统的输入量系统的输入量u(t)，输出量，输出量y(t)及内部状态变量及内部状态变量x(t)均为时间的连续函数均为时间的连续函数n微分方程微分方程n传递函数传递函数n权函数权函数n状态空间表达式状态空间表达式微分方程微分方程其中其中mnn用古典方法求解时非常复杂，用古典方法求解时非常复杂，n高阶系统通常没有封闭解或解析解高阶系统通常没有封闭解或解析解传递函数传递函数 n当初始条件为零时，对上述微分方程式作拉氏变换，当初始条件为零时，对上述微分方程式作拉氏变换，可得传递函数形式可得传递函数形式 n求解时可先用部分分式展开求解时可先用部分分式展开 n再进行反变换即得时间解再进行反变换即得时间解 nS域（复频域）内求解较为简便但对多变量、时变或高域（复频域）内求解较为简便但对多变量、时变或高阶系统仍求解困难阶系统仍求解困难 权函数权函数 权函数函数 g(t)指初始条件指初始条件为0时系系统在理想脉冲函在理想脉冲函数数(t)作用下的响作用下的响应，又称脉冲，又称脉冲过渡函数渡函数系系统对任意任意输入的响入的响应可由卷可由卷积积分公式求出分公式求出权函数与函数与传递函数有如下关系：函数有如下关系： 为n维状状态向量，向量，u为r维输入向量，入向量，y为m维输出向量出向量状态空间表达式状态空间表达式 动态系系统的状的状态是指能完全描述系是指能完全描述系统行行为的最小一的最小一组变量量若知道若知道t=t0时刻的初始状刻的初始状态向量向量x0及及tt0时的的输入入u就能完全就能完全确定系确定系统在在tt0时刻的行刻的行为状状态空空间表达式由状表达式由状态方程和方程和输出方程出方程组成成为参数矩参数矩阵（或称（或称动态矩矩阵），），为输入矩入矩阵，为输出矩出矩阵运用矩运用矩阵计算方法且借助于算方法且借助于计算机很容易算机很容易对状状态空空间方程求解方程求解 为关联矩阵（输入和输出直接关联）为关联矩阵（输入和输出直接关联）n离散时间模型离散时间模型n系统的输入量，输出量及内部状态量均为时间的系统的输入量，输出量及内部状态量均为时间的离散函数，即时间序列离散函数，即时间序列u(kT),y(kT),x(kT)n差分方程差分方程nZ传递函数传递函数n权序列权序列n离散状态空间模型离散状态空间模型差分方程差分方程nT为采样周期为采样周期 Z传递函数传递函数n对差分方程作对差分方程作Z变换，设所有初值为变换，设所有初值为0，则有，则有权序列权序列n权序列权序列h(k)为对初始条件为为对初始条件为0的系统施加单位脉冲序的系统施加单位脉冲序列列(k)所得到的响应所得到的响应 n系统对于任意输入系统对于任意输入u(k)的响应为一卷积的响应为一卷积 n与与Z传递函数间关系传递函数间关系 离散状态空间模型离散状态空间模型连续连续-离散混合模型离散混合模型n如计算机控制系统，对连续对象进行控制时，状态量如计算机控制系统，对连续对象进行控制时，状态量中既有连续的也有离散的中既有连续的也有离散的 n连续系统模型之间的变换连续系统模型之间的变换 n微分方程、传递函数、权函数模型描述系统微分方程、传递函数、权函数模型描述系统的输入与输出关系，称为系统的外部模型的输入与输出关系，称为系统的外部模型 n状态方程则称为系统的内部模型状态方程则称为系统的内部模型 n通常在仿真时，需要将系统的各种描述形式通常在仿真时，需要将系统的各种描述形式转换成内部模型，称为模型结构变换转换成内部模型，称为模型结构变换n化微分方程为状态方程化微分方程为状态方程 n化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程化微分方程为状态方程化微分方程为状态方程设有微分方程设有微分方程 先考虑右边仅含先考虑右边仅含u的形式，令的形式，令 = 则有则有 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 输出矩阵写为输出矩阵写为 其中其中 当右式包含导数项时，状态方程形式为当右式包含导数项时，状态方程形式为 A,C与前相同，与前相同， 其中其中 现代控制理论中还介绍了其它形式的转换方程，现代控制理论中还介绍了其它形式的转换方程，如能控标准型、能观标准型等如能控标准型、能观标准型等 化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程 连续状态方程对应的离散状态表达式为连续状态方程对应的离散状态表达式为 T为采样周期或者计算步长为采样周期或者计算步长 为确定为确定(T)和和H(T)，可利用连续状态方程解，可利用连续状态方程解 其中其中为系系统的矩的矩阵指数或状指数或状态转移矩移矩阵，x(0)为初始状初始状态向量向量 当采用零阶保持器时，当采用零阶保持器时， 即认为即认为u(t)在每个采样周期内保持常值在每个采样周期内保持常值 u(t)=u(kT)，( kTt(k+1)T ) 则有则有 其中其中和和H与与T有关，当有关，当T确定后，确定后，和和H为常值矩阵为常值矩阵 离散化公式的核心在于计算矩阵指数及其积分，离散化公式的核心在于计算矩阵指数及其积分，常用级数展开的算法，即常用级数展开的算法，即 其余离散化的表示形式与连续形式之间的转换其余离散化的表示形式与连续形式之间的转换在计算机控制中介绍在计算机控制中介绍 第三节第三节 连续系统的仿真算法连续系统的仿真算法算法的基本概念算法的基本概念n系统模型系统模型计算机模型：二次建模，算法是计算机模型：二次建模，算法是核心问题核心问题n算法：解题方案的准确而完整的描述，一般算法：解题方案的准确而完整的描述，一般采用文字、算式以及框图的形式采用文字、算式以及框图的形式n需要关注：需要关注：n算法性能分析：误差、收敛性、计算效率等算法性能分析：误差、收敛性、计算效率等n算法的比较与选择算法的比较与选择 n浮点数运算浮点数运算 n计算机上进行数值计算时，实数计算机上进行数值计算时，实数x用用t位十进位十进制浮点数表示：制浮点数表示：n其中其中m为为t 位十进制小数，且位十进制小数，且-1m1，c为为十进制整数，若十进制整数，若0.1m1，则称此浮点数系，则称此浮点数系统为规格化的，统为规格化的，t 称该数的精度，特定的计称该数的精度，特定的计算机有固定的浮点数精度算机有固定的浮点数精度 采用浮点数运算存在的常见问题采用浮点数运算存在的常见问题n舍入误差舍入误差n计算机有一组操作浮点数的指令，用以模拟加、减、计算机有一组操作浮点数的指令，用以模拟加、减、乘、除运算，但不可能精确。如乘法运算时，乘积乘、除运算，但不可能精确。如乘法运算时，乘积应有应有2t位精度，但实际仅能保留位精度，但实际仅能保留t位，即存在舍入误位，即存在舍入误差。复杂计算（迭代等）中舍入误差的累积可能会差。复杂计算（迭代等）中舍入误差的累积可能会影响结果，应在算法分析中考虑影响结果，应在算法分析中考虑 n溢出溢出 n计算机对指数计算机对指数c范围有限制，乘、除时可能会上溢、范围有限制，乘、除时可能会上溢、下溢，也应进行处理下溢，也应进行处理 数值稳定性问题数值稳定性问题 若运算过程中计算误差不断增长，称算法为数值不稳定的若运算过程中计算误差不断增长，称算法为数值不稳定的反之则为稳定的反之则为稳定的 例：计算例：计算 由分部积分得递推公式：由分部积分得递推公式： 用用Taylor展开计算：展开计算： 若取若取k=7，并保留，并保留4位小数，可得位小数，可得 截断误差：截断误差： 只考虑初值误差，对只考虑初值误差，对I00.6321，递推计算，结果如表中第一行，递推计算，结果如表中第一行该积分不可能为负值，显然算法有问题该积分不可能为负值，显然算法有问题 分析计算误差：分析计算误差： 满足关系：满足关系： 误差增长迅速误差增长迅速 n01234567890.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160-0.7287.5520.63210.36790.26430.20730.17080.14550.12680.11210.10350.0684如果换一种算法，可以减小误差，考虑积分估计值：如果换一种算法，可以减小误差，考虑积分估计值： 逆向计算：逆向计算： 取取n=9时，时， ，结果如表中第二行，结果如表中第二行 分析计算误差，满足关系：分析计算误差，满足关系： 显然误差一直减小显然误差一直减小 病态问题病态问题 如线性方程组如线性方程组 精确解：精确解： 如果用如果用4位有效数字进行运算：位有效数字进行运算：(2)-(1)/3.000，逐步计算后，可得逐步计算后，可得x2=-5.000 ，误差很大，误差很大当方程特征根相差太大时出现病态问题，也称刚性当方程特征根相差太大时出现病态问题，也称刚性(Stiff)问题问题需要设计有效的算法需要设计有效的算法 二、数值积分法二、数值积分法n实际系统模型多为低阶微分方程形式，求解实际系统模型多为低阶微分方程形式，求解时本质上应用积分运算时本质上应用积分运算n对高阶方程，可先转换为多个一阶方程，因对高阶方程，可先转换为多个一阶方程，因此，最终问题转化为求解一阶微分方程此，最终问题转化为求解一阶微分方程n常见算法：常见算法：nEuler法法 nRunge-Kutta法法(R-K法法)nAdams法法(多步法多步法)Euler法法设有模型方程设有模型方程 ，初始条件，初始条件 欧拉法用欧拉法用tk点切线近似该点附近的曲线点切线近似该点附近的曲线f(t,y)，则有则有 其中其中是曲是曲线上的点，上的点，是切是切线上的点上的点 称为第称为第k 步的计算步长步的计算步长 此类方法称为此类方法称为“微分方程初值问题的数值计算法微分方程初值问题的数值计算法”，也称也称“数值积分法数值积分法” 优点：简单易行优点：简单易行 缺点：缺点：h取得大时，计算速度快，单步误差大；取得大时，计算速度快，单步误差大； h取得小，计算速度慢，且累计误差大取得小，计算速度慢，且累计误差大Runge-Kutta法法(R-K法法) 二阶形式：二阶形式： 其中其中 迭代公式由迭代公式由Taylor展开并保留展开并保留h2项获得项获得 注意：注意：R-K方法实质是用均差代替导数，方法实质是用均差代替导数， 其中其中k项的加权系数可任选项的加权系数可任选 四阶形式（固定步长）：四阶形式（固定步长）：其中其中 四阶形式在精度和复杂度方面都有较好的表现，最常用四阶形式在精度和复杂度方面都有较好的表现，最常用 Euler法与法与R-K法计算时仅用到前一步的结果，法计算时仅用到前一步的结果，称单步法，已知初值后可自启动称单步法，已知初值后可自启动 Adams法法(多步法多步法) Euler法是用矩形公式（面积）近似定积分，在曲线与法是用矩形公式（面积）近似定积分，在曲线与矩形的边之间有较大误差；矩形的边之间有较大误差；Adams法考虑用梯形公式（面积）代替矩形公式法考虑用梯形公式（面积）代替矩形公式 称二阶隐式称二阶隐式Adams法公式法公式 因公式右端包含未知项，不能直接求解，可以用迭代因公式右端包含未知项，不能直接求解，可以用迭代法求解，设有初值法求解，设有初值 迭代公式：迭代公式： 直至规定的精度直至规定的精度 隐式迭代计算步数太多，为此可降低精度，设计显式隐式迭代计算步数太多，为此可降低精度，设计显式Adams法，公式：法，公式： Adams法的统一形式为：法的统一形式为： 算法特点：多步法，不能自启动，隐式方法还需迭代求解算法特点：多步法，不能自启动，隐式方法还需迭代求解实际应用中，先用显式法计算初值，再用隐式法校正一次，实际应用中，先用显式法计算初值，再用隐式法校正一次，称预报称预报-校正法校正法与与R-K法比较，同样阶次和精度下法比较，同样阶次和精度下Adams法计算次数较少法计算次数较少 算法分析算法分析n稳定性分析稳定性分析试验方程：试验方程： 若数值积分公式为若数值积分公式为 其中其中 是一个高阶多项式函数是一个高阶多项式函数 仅当仅当 时算法才稳定时算法才稳定 如如Euler法稳定条件为法稳定条件为 隐式一阶、二阶隐式一阶、二阶Adams法恒稳定，更高阶条件稳定法恒稳定，更高阶条件稳定R-K法正好相反，阶次越高稳定域越大法正好相反，阶次越高稳定域越大 n积分步长的选择与控制积分步长的选择与控制 两个原则：保证稳定性，要求一定的计算精度两个原则：保证稳定性，要求一定的计算精度受稳定性限制，受稳定性限制，h应在系统中最小时间常数量级应在系统中最小时间常数量级如如R-K4，要求步长小于系统中最小时间常数的，要求步长小于系统中最小时间常数的2.78倍倍实际应用中对大量的仿真计算可以考虑采用变步长法实际应用中对大量的仿真计算可以考虑采用变步长法自动改变步长自动改变步长Matlab中中Simulink仿真时缺省的数值积分法为变步长法仿真时缺省的数值积分法为变步长法如如RKM3-4法法 首先进行误差估计：首先进行误差估计： 分别找一个三阶和一个四阶分别找一个三阶和一个四阶R-K公式：公式： 其中其中则误差为则误差为 变步长策略：变步长策略： 设定一个最小误差限设定一个最小误差限 ，一个最大误差限，一个最大误差限 每一步的局部误差取为每一步的局部误差取为 ，第，第k+1步有效，下一步用步有效，下一步用2h积分；积分； ，保持，保持h不变；不变； ，第，第k+1步无效，步长变为步无效，步长变为h/2 三、离散相似法三、离散相似法原理：将连续模型离散化后再仿真计算原理：将连续模型离散化后再仿真计算 形式：形式：传递函数传递函数Z传递函数：传递函数：Z域离散相似模型，域离散相似模型， 状态空间模型状态空间模型离散状态方程：时域离散相似模型，离散状态方程：时域离散相似模型，右边第三项表示使用一阶保持器增加的项右边第三项表示使用一阶保持器增加的项 由采样定理，为使离散相似模型中重构的信号能精由采样定理，为使离散相似模型中重构的信号能精确表示原信号，应有采样时间小于系统最小时间常确表示原信号，应有采样时间小于系统最小时间常数的一半，或者采样频率是最大信号频率的两倍数的一半，或者采样频率是最大信号频率的两倍离散相似法的优点：不易受模型方程特性的影响，离散相似法的优点：不易受模型方程特性的影响，尤其对特征根相差较大的系统十分有效，计算速度尤其对特征根相差较大的系统十分有效，计算速度也更快；但有的模型不易离散化也更快；但有的模型不易离散化 的的计算算误差；差；u(t)在采在采样间隔中的近似隔中的近似处理理对后者后者，当，当输入是典型函数入是典型函数时，可通，可通过增广矩增广矩阵法消除法消除误差差 误差处理误差处理考考虑时域离散相似法，域离散相似法，误差来源：差来源：状态方程状态方程 的解为：的解为： 对典型函数，考虑将输入对典型函数，考虑将输入u(t)增广到状态向量增广到状态向量x(t)中，中，得得 齐次解，避免积分近似出现的误差齐次解，避免积分近似出现的误差增广矩阵法示例增广矩阵法示例假假设系系统为n阶，模型，模型对阶跃输入入定定义，则增广后的状增广后的状态方程及方程及输出方程出方程为初始条件初始条件增广矩阵法示例增广矩阵法示例系统模型同上系统模型同上，对斜坡斜坡输入入定定义：则，增广后的状，增广后的状态方程及方程及输出方程出方程为初始条件初始条件课堂作业第四节第四节 采样控制系统仿真采样控制系统仿真n典型采样控制系统结构图典型采样控制系统结构图 其中信号比较环节可在控制器内、外进行其中信号比较环节可在控制器内、外进行 n本结构与离散相似法得到的系统相似本结构与离散相似法得到的系统相似（被控对象连续，有采样器、保持器）（被控对象连续，有采样器、保持器）n但但n前者采样周期、采样器位置、保持器类型均前者采样周期、采样器位置、保持器类型均为实际存在，而后者均为虚拟的为实际存在，而后者均为虚拟的n前者在仿真时需要考虑仿真步距与实际采样前者在仿真时需要考虑仿真步距与实际采样周期的关系，还需要处理离散和连续部分所周期的关系，还需要处理离散和连续部分所得差分模型之间的联系，后者直接离散化即得差分模型之间的联系，后者直接离散化即可可一、采样周期与仿真步距一、采样周期与仿真步距采采样控制系控制系统方方块图其中其中G(s)为被控被控对象象传递函数，函数，H(s)为保持器保持器传递函数，函数，D(z)为数字控制器的数字控制器的z传递函数，函数，Ts为实际采采样周期周期仿真步距仿真步距T的的选择必必须根据被控根据被控对象象结构、采构、采样周期大小、保持器周期大小、保持器类型及仿真精度和仿真速型及仿真精度和仿真速度的要求度的要求综合考合考虑 仿真步距的选择（仿真步距的选择（1）n仿真步距仿真步距T采样周期采样周期Tsn要求：要求：Ts较小，系统阶次较低，仿真要求不较小，系统阶次较低，仿真要求不高高n此时连续部分此时连续部分H(s)G(s)部分不再增加虚拟部分不再增加虚拟采样保持器采样保持器n为此必须计算为此必须计算G(z)=ZH(s)G(s)（常用状态空间表达式表示，易于计算）（常用状态空间表达式表示，易于计算）仿真步距的选择（仿真步距的选择（2）n仿真步距仿真步距T采样周期采样周期Ts 更常见，因为：更常见，因为：nTs往往受软硬件限制必须取较大往往受软硬件限制必须取较大n连续部分有硬非线性时，系统往往分割处连续部分有硬非线性时，系统往往分割处理，需要引入更多采样保持器，产生较大理，需要引入更多采样保持器，产生较大的幅值和相位误差，为保证精度，必须使的幅值和相位误差，为保证精度，必须使TTs n一般为计算方便取一般为计算方便取Ts=NT，N为正整数，则仿为正整数，则仿真时每一次大循环中连续部分应计算真时每一次大循环中连续部分应计算N次次n系统中还可能有不同频率的实际采样开关系统中还可能有不同频率的实际采样开关 如智能汽车自动驾驶系统，其中驾驶盘执行转如智能汽车自动驾驶系统，其中驾驶盘执行转角的局部反馈为内反馈，汽车位置的偏差反馈角的局部反馈为内反馈，汽车位置的偏差反馈为外反馈，前者因执行机构固定频率高，采样为外反馈，前者因执行机构固定频率高，采样周期短，后者则较长周期短，后者则较长 二、改变数字控制器的采样间隔二、改变数字控制器的采样间隔 n有时实际有时实际Ts较小，为分析系统取较大较小，为分析系统取较大T，须重，须重新求差分模型新求差分模型n原理：原理：S平面上，有相同零极点和稳态值的系平面上，有相同零极点和稳态值的系统等价，故可由统等价，故可由Z域脉冲传递函数映射到域脉冲传递函数映射到S平面平面上，再按新的上，再按新的Ts*映射到映射到z平面平面 例：有数字控制器例：有数字控制器Ts=0.04s，取Ts*=0.1s仿真，求D(z)再根据再根据稳态值相等原相等原则确定确定kz，注意与，注意与输入信号有关入信号有关本例中若本例中若输入入单位位阶跃信号，由信号，由终值定理定理同同样第五节第五节 分布参数系统仿真分布参数系统仿真n物理系统宏观均有空间分布特性，需要物理系统宏观均有空间分布特性，需要用偏微分方程描述，不宜用解析法求解，用偏微分方程描述，不宜用解析法求解，通常用离散化模型描述，采用数值计算通常用离散化模型描述，采用数值计算方法。方法。n分布参数系统的求解方法较少，仅限于分布参数系统的求解方法较少，仅限于有限差分法和有限元法，另外还可以用有限差分法和有限元法，另外还可以用物理集总参数法分隔物理空间并建立一物理集总参数法分隔物理空间并建立一组联立的常微分方程组组联立的常微分方程组 n对于常见的连续系统来说，通常在使用对于常见的连续系统来说，通常在使用数学模型时人们更关注的是模型对对象数学模型时人们更关注的是模型对对象的外部特性的描述，因此，虽然复杂的的外部特性的描述，因此，虽然复杂的对象往往是分布参数系统，但可以按照对象往往是分布参数系统，但可以按照对象各测点的位置、结构特点及其物理对象各测点的位置、结构特点及其物理化学等特性进行适当分区，分区内采用化学等特性进行适当分区，分区内采用集中参数系统模型描述，从而可以避开集中参数系统模型描述，从而可以避开非线性偏微分方程的迭代求解过程。非线性偏微分方程的迭代求解过程。 例：扭振杆系统例：扭振杆系统n当在自由端施加当在自由端施加输入扭矩输入扭矩T(L,t)后，后，y点产生的输出转点产生的输出转角角(y,t)，求输入，求输入扭矩与输出转角扭矩与输出转角间的表达式间的表达式 考考虑厚度厚度为dy的一段扭杆，其力矩平衡方程的一段扭杆，其力矩平衡方程为：其中其中为圆截面的极截面的极惯性矩性矩其中其中是杆的是杆的线密度，密度，G G是材料的剪切是材料的剪切弹性模量。性模量。这是一个物理学是一个物理学经典方程，直接求解非常繁典方程，直接求解非常繁琐。 得一维波动方程：得一维波动方程：1解析法解析法 采用采用频域分析，先域分析，先对t进行拉氏行拉氏变换，有：，有：取初始条件取初始条件为0，则有有解的形式解的形式为 由于杆的固定端有由于杆的固定端有(0,t)=0，则(0,s)=0， 可得可得 c1= - c2 (2)在在y=L处，(1)式式对y求偏求偏导：令令y=L，由，由(2),(3),(4)可求出可求出c1，c2（略），最（略），最终得得令令s=jw可得可得y=L处角运角运动的的频率响率响应显然其中有无限多个然其中有无限多个固有固有频率：率：若若结构以其中某一固有构以其中某一固有频率振率振动，则此此时的的动态扭扭转曲曲线称称为振型振型(5)式可用来求振型式可用来求振型 2物理集总参数法物理集总参数法 扭振系扭振系统可用物理集可用物理集总参数法离散形式（集参数法离散形式（集总块）近似，集近似，集总块数目可通数目可通过经验或或试验的方法确定。的方法确定。设为2个集个集总块选择每个集每个集总块质心作心作为集集总惯量量J 所在位置，并以此确定所在位置，并以此确定K（质心之心之间杆杆长的的弹性），性），有有 原系原系统可以表示可以表示为一一个两段集个两段集总模型：模型：可求得两个固有可求得两个固有频率率而准确而准确值为1.57和和4.71当集当集总数量增大数量增大时，可，可预测出更多的固有出更多的固有频率，数率，数值也更精确也更精确 3. 有限差分法有限差分法 对应物理离散法有数学离散法，如有限差分法，物理离散法有数学离散法，如有限差分法，其中常用的其中常用的为中心差分法中心差分法设y=f(x,t)，当，当t为常常值时，中心差分法即用切点，中心差分法即用切点Pn上的中心差分近似函数曲上的中心差分近似函数曲线的斜率的斜率二二阶导数数类似似即一即一阶导数数为对于具有两个位置于具有两个位置变量的函数量的函数f(x,y)，偏，偏导数数为简记f(xi+h,yi)=fi+1,j则：利用中心差分公式可将空利用中心差分公式可将空间变量离散化，量离散化，结果是把偏微分方程果是把偏微分方程转化化为常微分方程常微分方程 扭振杆分析扭振杆分析 对一一维波波动方程方程有二有二阶导数，数，则至少要用三点至少要用三点求中心差分求中心差分因因边界条件包含了端点的界条件包含了端点的值，即有即有y=0和和y=L的点，至少的点，至少还要再加上一个点要再加上一个点研究研究Ti=0时的自由振的自由振动 考考虑y=L/2处，中心差分公式：，中心差分公式：y=0，y=L处不能直接用中心差分公式（无不能直接用中心差分公式（无边界条件界条件外的点），但外的点），但y=L点上有已知零扭矩的点上有已知零扭矩的边界条件，由界条件，由扭矩与扭扭矩与扭转应变成比例，有成比例，有则(1)式化式化简为可得可得单一固有一固有频率：率： 4. 有限元法有限元法 n用许多相互联接的小用许多相互联接的小子区域或元素表示所子区域或元素表示所研究的介质（差分法研究的介质（差分法的几何表示是网点阵的几何表示是网点阵列），元素可以有不列），元素可以有不同的形状和大小，常同的形状和大小，常见的为三角形元素，见的为三角形元素，称有限元离散化称有限元离散化n优点优点n有限元形式的离散化更能和实际对象的边界相吻合有限元形式的离散化更能和实际对象的边界相吻合n每个元素中，所有问题未知数（温度、压力、流速每个元素中，所有问题未知数（温度、压力、流速等）也可按近似于其实际变化的已知方式变化等）也可按近似于其实际变化的已知方式变化n比前两种所假设的逐步变化形式更接近实际情况比前两种所假设的逐步变化形式更接近实际情况n缺点缺点n原理复杂，有些情况不适用原理复杂，有些情况不适用n扭振杆系统仿真结果：扭振杆系统仿真结果：n用二元素（类似于有限差分的划分方式）求解，可用二元素（类似于有限差分的划分方式）求解，可得固有频率的系数分别为得固有频率的系数分别为1.6和和5.6基于常微分方程仿真方法的偏微分方程仿基于常微分方程仿真方法的偏微分方程仿真建模方法真建模方法 n线上求解法线上求解法(method on lines)n基本思想：将空间变量进行离散化，而时间变基本思想：将空间变量进行离散化，而时间变量仍保持连续，从而将偏微分方程转化为一组量仍保持连续，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程，进而基于常微分方程的各种仿真常微分方程，进而基于常微分方程的各种仿真算法进行仿真算法进行仿真n离散化的方法一般可以采用差分法离散化的方法一般可以采用差分法 如典型的如典型的扩散方程：散方程：可以将可以将x分成若干个子区分成若干个子区间，即，即xi=ih (i =0,1,2,M)，对某个某个xi，有，有这样可得可得M+1个微分方程，其中个微分方程，其中u对x的二的二阶偏微分偏微分可以用二可以用二阶差分近似，即差分近似，即n原理简单，充分利用了常微分方程仿真算法的原理简单，充分利用了常微分方程仿真算法的优点，仅在一个自变量方向采用差分法计算，优点，仅在一个自变量方向采用差分法计算，既直观又易于实现。仿真过程中，数值积分与既直观又易于实现。仿真过程中，数值积分与差分交替进行。差分交替进行。n在使用这种方法时，正确选择差分方法以实现在使用这种方法时，正确选择差分方法以实现对空间变量求导，是保证仿真模型稳定性及计对空间变量求导，是保证仿真模型稳定性及计算精度的前提。算精度的前提。