第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章第一章 7/30/20241一、有界性与最大值最小值定理注意注意: 若函数在开区间开区间上连续,结论不一定成立 .即: 设则使或在闭区间内有间断有间断 点点 ,7/30/20242例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 7/30/20243二、零点定理和介值定理定理定理2 ( 零点定理零点定理 )至少有一点且使( 证明略证明略 )定理定理3 (介值介值定理定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点使至少有( 可利用零点定理证明可利用零点定理证明 )7/30/20244一个根一个根 .证证: 显然显然又又故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即拓展说明拓展说明:内必有方程的根内必有方程的根 ;取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根 ;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法在区间在区间内至少有内至少有则则则则例例1 证明方程证明方程7/30/20245上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 ,在在对任意的对任意的必必存在一点存在一点证证:使使令令, 则则使使故由故由零点定理知零点定理知 , 存在存在即即当当时时, 取取或或, 则有则有证明证明:例例2 设设7/30/20246内容小结在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;3.3.当当时时,使使必存在必存在上有界上有界;在在上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值. .在在7/30/20247思考与练习1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它证明必可将它一刀剪为一刀剪为面积相等的两片面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.则则面积函数面积函数因因故由故由介值定理可知介值定理可知:7/30/20248至少有一个不超过 4 的正根 .证证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然2. 7/30/20249证明至少存在一点证明至少存在一点使使提示提示: 令令则则易证易证3.7/30/202410