中学数学基本能力培养中学数学基本能力培养数学能力：顺利完成数学活动所必须具备且直接影数学能力：顺利完成数学活动所必须具备且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动中形成和发展起来的。动中形成和发展起来的。我国：运算能力，空间想象能力，思维能力和分析我国：运算能力，空间想象能力，思维能力和分析问题解决问题能力。问题解决问题能力。美国美国数学课程标准数学课程标准（2000） 数的运算，问题解决能力，逻辑推理能力，数学联数的运算，问题解决能力，逻辑推理能力，数学联结能力，数学交流能力和数学表述能力。结能力，数学交流能力和数学表述能力。创新能力创新能力 中学数学基本能力培养中学数学基本能力培养运算能力的培养运算能力的培养空间想象能力的培养空间想象能力的培养逻辑思维能力的培养逻辑思维能力的培养分析和解决实际问题能力的培养分析和解决实际问题能力的培养运算能力的培养运算能力的培养数学运算能力是指运用各种运算法则，合乎逻辑地数学运算能力是指运用各种运算法则，合乎逻辑地数学运算能力是指运用各种运算法则，合乎逻辑地数学运算能力是指运用各种运算法则，合乎逻辑地进行各种数学运算的能力。进行各种数学运算的能力。进行各种数学运算的能力。进行各种数学运算的能力。中学数学运算中学数学运算中学数学运算中学数学运算包括包括包括包括 数的运算；式的恒等变形；方程和不等式的同解变数的运算；式的恒等变形；方程和不等式的同解变形，初等运算的运算和求值；各种几何量的测量与形，初等运算的运算和求值；各种几何量的测量与计算；求数列和函数极限以及微分、积分、概率、计算；求数列和函数极限以及微分、积分、概率、统计的初步计算；逻辑运算和集合运算等。统计的初步计算；逻辑运算和集合运算等。基本要求：基本要求：基本要求：基本要求：（1）通法则）通法则（2）合乎逻辑）合乎逻辑（3）迅速、正确）迅速、正确.培养学生运算能力的培养学生运算能力的基本途径基本途径1.牢固掌握基础知识，弄通算理、法则牢固掌握基础知识，弄通算理、法则例例1：例例2：计算：计算例例3：实系数方程：实系数方程x3+mx+1=0的三根在复平面的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则上构成正三角形的三个顶点，则m的值是（）的值是（）2.提高记忆能力，加强运算基本功训练提高记忆能力，加强运算基本功训练 小学、初中和高中各有侧重点。小学、初中和高中各有侧重点。3.注意心算和口算能力的培养注意心算和口算能力的培养 根据不同的教学内容和教学目标设计相应的练习题根据不同的教学内容和教学目标设计相应的练习题目（由易到难）目（由易到难）4.加强运算练习加强运算练习（1）寻求简捷算法）寻求简捷算法例例1 已知直角三角形的两直角边的长分别为已知直角三角形的两直角边的长分别为5cm和和10cm，求斜边上的高。求斜边上的高。例例2 已知已知 ，求，求 的值。的值。（2）提倡一题多解）提倡一题多解例例1 计算计算运算教学中还应注意以下几点：运算教学中还应注意以下几点：运算教学中还应注意以下几点：运算教学中还应注意以下几点：1.掌握运算通法、通则掌握运算通法、通则.（1）先高级后低级）先高级后低级.四则运算四则运算.（2）先内层后外层）先内层后外层.（3）先局部后整体）先局部后整体.（4）先化简后求值）先化简后求值.（5）先明显后隐蔽）先明显后隐蔽.多项式的因式分解多项式的因式分解.2.熟悉数式的基本变换熟悉数式的基本变换.（1）符号变换）符号变换. 去括号、添括号时的符号变换去括号、添括号时的符号变换（2）互逆变换）互逆变换. a-b=a+(-b)（3）移项变换移项变换.移加作减移加作减（4）配方变换）配方变换. （5）分解变换）分解变换. （6）形态变换）形态变换.（7）换元变换）换元变换.3.熟悉计算的技能、技巧熟悉计算的技能、技巧.（1）善于进行口算和速算的技能）善于进行口算和速算的技能.（2）熟练使用计算器等计算工具的技巧）熟练使用计算器等计算工具的技巧.（3）熟记一些常用数据）熟记一些常用数据.（4）灵活运用还原法、代值法、估值法等方法进行）灵活运用还原法、代值法、估值法等方法进行验算的技能验算的技能.空间想象能力的培养空间想象能力的培养数学中的空间想象能力数学中的空间想象能力是指对物体（客观存是指对物体（客观存在着的空间形式）的形状、结构、大小、位在着的空间形式）的形状、结构、大小、位置关系的想象能力。置关系的想象能力。基本内容基本内容 （1） 建构建构 （2）识别）识别 （3）再认）再认 （4）表述）表述 （5）制图）制图 （6）改造）改造基本要求：基本要求：1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出相应的实物形状；几何图形想象出相应的实物形状；2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；的图形；3.能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出能够根据文字或符号表述的条件作出或画出图形，对图形能够用文字或语言来表述。图形，对图形能够用文字或语言来表述。培养学生空间想象能力的基本途径培养学生空间想象能力的基本途径1.学好有关空间形式的基础知识学好有关空间形式的基础知识2.加强数学的直观教学，从事数学实习加强数学的直观教学，从事数学实习活动活动3.加强空间想象能力的训练加强空间想象能力的训练（1）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间的联系，丰富学生的空间想象能力的联系，丰富学生的空间想象能力（2）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力间想象能力（3）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都相切，三球在下，置于一平面上，求最上一球的球心到平面的举例。例2 任意的三角形都是等腰三角形。ACBDOEFOB=OCOB=OCOE=OFOE=OFFB=ECFB=ECAF=AEAF=AEAB=ACAB=AC数学思维能力及其培养数学思维能力是指人们对数学对象（数量关数学思维能力是指人们对数学对象（数量关系和空间形式）的本质的认识能力。系和空间形式）的本质的认识能力。数学思维的分类：数学思维的分类：（1）逻辑思维能力）逻辑思维能力（2）创造性思维能力）创造性思维能力 发散思维能力、直觉思维能力发散思维能力、直觉思维能力一、逻辑思维能力的培养一、逻辑思维能力的培养逻辑思维能力逻辑思维能力逻辑思维能力逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力，动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力，是发展学生思维的基础、是发展学生思维的基础、中心环节中心环节和和主要标志主要标志。逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容：（1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比演绎、归纳、类比（2）能正确理解和运用各种论证方法）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概 括等括等（3）思维过程目的明确、条理清楚）思维过程目的明确、条理清楚（4）善于将知识系统化，结构化）善于将知识系统化，结构化逻辑思维能力的层次逻辑思维能力的层次（1）给出条件和结论，能说明推理的依据；若）给出条件和结论，能说明推理的依据；若给出条件和依据，能得出结论，并了解基本给出条件和依据，能得出结论，并了解基本推理格式。推理格式。（2）根据给出条件能完成一步推理过程，并掌）根据给出条件能完成一步推理过程，并掌握简单的证明方法。握简单的证明方法。（3）能够独立完成两步和两步以上的推理论证）能够独立完成两步和两步以上的推理论证过程，并能说明依据。过程，并能说明依据。（4）能够独立分析具有综合性和实际应用性的）能够独立分析具有综合性和实际应用性的问题。问题。培养学生逻辑思维能力的基本途径培养学生逻辑思维能力的基本途径1.重视数学基础知识的教学重视数学基础知识的教学绝对值概念、三角形相似，全等的判定等绝对值概念、三角形相似，全等的判定等例例1 已知方程已知方程 的两根是的两根是求求 的值。的值。2 .教师要重视论证格式的教学，并作出正确的教师要重视论证格式的教学，并作出正确的示范示范 在教学过程中，教师要通过示例训练学生在教学过程中，教师要通过示例训练学生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反证掌握如下论证格式：综合法、分析法、反证法和归纳法等。法和归纳法等。 论证思考过程和书写格式的正确示范。论证思考过程和书写格式的正确示范。例例2 已知实数已知实数x,y,z满足满足求求 的值。的值。3.教会学生运用逻辑常识教会学生运用逻辑常识 消除学生理解困难的关键。消除学生理解困难的关键。 数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系；数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系；论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。4.加强逻辑思维能力的训练加强逻辑思维能力的训练 循序渐进；各科渗透；重点突出循序渐进；各科渗透；重点突出例例3 P246，”谁先说到谁先说到66谁便输，如何玩法，胜谁便输，如何玩法，胜者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？ 例例4 已知已知 ，则，则 的表达式为的表达式为_5.重视运用数学符号语言进行推理论证重视运用数学符号语言进行推理论证6.重视新旧知识间的逻辑联系重视新旧知识间的逻辑联系 二、创造性思维的培养组织和改造已经获得的知识，使之适应当前组织和改造已经获得的知识，使之适应当前问题。问题。1、发散思维能力的培养、发散思维能力的培养发散思维能力的内容发散思维能力的内容（1）善于举一反三，触类旁通）善于举一反三，触类旁通（2）善于正反面考虑问题）善于正反面考虑问题（3）善于用多种方法解决问题并从中选优。）善于用多种方法解决问题并从中选优。发散思维能力的培养途径注意知识之间的纵向和横向联系，培养学生的转化思想。注意变式方法在教学中的应用（1）一式多变 “1”（2）一图多画 （3）一题多解（4）一题多变（5）一题多问加强逆向思维的训练 公式、法则和概念的逆用；分析法的运用等思维发散后要及时评价择优 发散集中再发散再集中2.直觉思维的培养直觉思维能力的基本内容直觉思维能力的基本内容（1）能够再各种条件和结论中迅速取舍）能够再各种条件和结论中迅速取舍（2）善于在一题多解的各种解法中择优）善于在一题多解的各种解法中择优（3）大胆猜想，善于在不同问题之间建立起联）大胆猜想，善于在不同问题之间建立起联系系直觉思维能力的培养途径直觉思维能力的培养途径（1）注意类比，归纳思想的培养）注意类比，归纳思想的培养（2）注意整体思想的培养）注意整体思想的培养（3）注意逻辑推理过程的合理简化与跳跃）注意逻辑推理过程的合理简化与跳跃（4）注意培养学生对数学美的感受能力。）注意培养学生对数学美的感受能力。 （对称、和谐、简化）（对称、和谐、简化）（5）对猜想的结果必须进行严格逻辑证明）对猜想的结果必须进行严格逻辑证明小结三大基本能力互相联系，互相渗透，相辅相成。循序渐进地培养各种能力 “无知便无能，无知便无德，无知便无情” 杨叔子分析和解决实际问题能力的培养分析和解决实际问题能力的培养实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中的一些具体问题。的一些具体问题。解数学题解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的是培养学生分析和解决实际问题能力的主要主要途径途径解题在数学教育中的作用解题在数学教育中的作用关于数学解题的教学关于数学解题的教学 1.认真审题，理解题意；认真审题，理解题意； 2.机动灵活，寻找途径；机动灵活，寻找途径； 3.加强练习，尽力创造加强练习，尽力创造.数学解题的基本要求：数学解题的基本要求： 正确、合理、简捷、完满、清楚正确、合理、简捷、完满、清楚波利亚波利亚“怎样解题表怎样解题表”弄清问题弄清问题未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图.引入适当的符号.把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来？第一，你必须弄清问题.拟定计划拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题.这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用他它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去.第二，找出已知数与未知数之间的关系.如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数值？如果需要的话，你能不能想出适合于确定未知数的其他数值？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？你应该最终得出一个求解的 计划实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？回顾你能否验证这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？第三，实行你的计划第四，验算所得到的解