2 正项级数正项级数数学分析数项级数1正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .数学分析数项级数1证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较审敛法比较审敛法数学分析数项级数1不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 数学分析数项级数1解解由图可知由图可知数学分析数项级数1重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .数学分析数项级数1证明证明数学分析数项级数14.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 = =1nnv发散发散, , 则则 = =1nnu发散发散; ;数学分析数项级数1证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.数学分析数项级数1数学分析数项级数1解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.数学分析数项级数1证明证明数学分析数项级数1收敛收敛发散发散数学分析数项级数1比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:数学分析数项级数1数学分析数项级数1解解数学分析数项级数1比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法数学分析数项级数1级数收敛级数收敛.数学分析数项级数1思考题思考题数学分析数项级数1思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.数学分析数项级数1练练 习习 题题数学分析数项级数1数学分析数项级数1练习题答案练习题答案数学分析数项级数1