第九章第九章 扭转扭转9.1 引言引言9.2 动力传递与扭矩动力传递与扭矩9.3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律9.4 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力9.5 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件9.6 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件*9.7 非圆截面轴扭转简介非圆截面轴扭转简介9.1 引言引言一、工程实例一、工程实例二、受扭杆件的特点二、受扭杆件的特点 杆受一对大小相等、转向相反杆受一对大小相等、转向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。的力偶，力偶作用面垂直于轴线。 杆件的横截面绕轴线产生相对杆件的横截面绕轴线产生相对转动，表面的纵向线也随之转过转动，表面的纵向线也随之转过一定的角度。一定的角度。受力特点：受力特点：变形特点变形特点:（扭转角：（扭转角：）轴轴工程上，以扭转作为主工程上，以扭转作为主要变形的直杆称为轴。要变形的直杆称为轴。9.2 动力传递与扭矩动力传递与扭矩一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算一般有三种情况给出：一般有三种情况给出：1、直接给出作用在轴上的外力偶矩的大小、直接给出作用在轴上的外力偶矩的大小2、通过外力平移计算得出、通过外力平移计算得出3、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速计算得出、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速计算得出MeMeP（kW）n（r/min）输入功率输入功率P相当每秒输入的功为：相当每秒输入的功为：式中：式中：P输入功率（输入功率（kW）n 转速（转速（r/min）Me外力偶矩（外力偶矩（Nm） 传动轴的外力偶矩计算：传动轴的外力偶矩计算：外力偶矩外力偶矩Me在每秒完成的功为：在每秒完成的功为：MeMeP输入功率（马力）输入功率（马力）二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图MeMeMeTMeT1.扭矩扭矩 扭转时横截面上的内力，扭转时横截面上的内力，它是一个位于横截面平面内的力偶，它是一个位于横截面平面内的力偶，该力偶矩称为扭矩，用该力偶矩称为扭矩，用 T 表示。表示。求法：求法：截面法截面法取左端，由于矩平衡取左端，由于矩平衡得：得：说明：说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。符号：符号：按右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若按右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若矢量方向与横截面外法线方向一致时，扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致时，扭矩为正，反之扭矩为负。为正，反之扭矩为负。取右端，由于矩平衡取右端，由于矩平衡得：得：二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图2.扭矩图：扭矩图： 以扭矩以扭矩T为纵坐标，截面位置为横坐标，表示扭为纵坐标，截面位置为横坐标，表示扭矩随杆件轴线变化情况的曲线矩随杆件轴线变化情况的曲线 扭矩图扭矩图MeMe 扭矩图的作法与轴力图相似。扭矩图的作法与轴力图相似。例如：例如：xMe+ +图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率PA=50 马力，从动轮马力，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为 PB=PC=15马力马力 ，PD=20马力，轴的转速为马力，轴的转速为n=300转转/分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。解：解：先求各轮的外力偶矩：先求各轮的外力偶矩：例：例：用截面法求各段扭矩：用截面法求各段扭矩：352704469+ +- -620N.m780N.m1400N.m哪哪一一种种安安排排更更合合理理620Nm780Nm1400Nm620Nm780Nm9.3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律1.实验实验实验现象：实验现象：（1 1）纵向线倾斜了同一微小）纵向线倾斜了同一微小角度角度, ,方格外成了菱形。方格外成了菱形。（2 2）圆周线的形状大小及圆）圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变周线之间的距离没变, ,只是绕只是绕圆筒的轴线发生了相对转动。圆筒的轴线发生了相对转动。一、薄壁圆筒的扭转应力一、薄壁圆筒的扭转应力 ( )2.应力分析应力分析(1)(1)切应力的存在性切应力的存在性 有剪切变形单元体的两侧必有剪切变形单元体的两侧必然有切应力。然有切应力。(2)(2)正应力不存在正应力不存在 扭转过程中，圆筒的圆周线扭转过程中，圆筒的圆周线形状、大小、相邻周边线的距离形状、大小、相邻周边线的距离都不变，都不变， 无线应变无线应变（轴向应变轴向应变和周向应变和周向应变） 无正应力无正应力（左右面左右面和上下面和上下面）取微单元体取微单元体 (dx,dy, )3.应力计算（扭转切应力大小）应力计算（扭转切应力大小）结论结论: : 假设切应力在横截面均匀分布假设切应力在横截面均匀分布（1 1）由于沿圆周线方向各点的）由于沿圆周线方向各点的变形相同，同一圆周线上各点的变形相同，同一圆周线上各点的 相同，故可认为剪应力沿圆周相同，故可认为剪应力沿圆周线处处相等。线处处相等。（2 2）又因壁厚很薄，又可近似）又因壁厚很薄，又可近似的认为沿壁厚方向均匀分布。的认为沿壁厚方向均匀分布。根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当 时时,上式的误差不上式的误差不超过超过 4.52% , 是足够精确的。是足够精确的。3.应力计算（扭转切应力大小）应力计算（扭转切应力大小）dydxtxyz由平衡条件由平衡条件即即 在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，而它们的方向或者都指向公共棱边，或者两者都垂直于两个平面的交线，而它们的方向或者都指向公共棱边，或者都背向公共棱边。这个关系即都背向公共棱边。这个关系即切应力互等定理切应力互等定理。二、切应力互等定理二、切应力互等定理 上述单元体的四个侧面上，仅存在切应力而无正应力，这种应力状态上述单元体的四个侧面上，仅存在切应力而无正应力，这种应力状态称为称为纯剪切纯剪切。 利用薄壁圆筒的扭转利用薄壁圆筒的扭转, ,可以实现纯剪切试验。可以实现纯剪切试验。试验结果：试验结果：二、剪切胡克定律二、剪切胡克定律dydxtxyz切应变切应变其中：其中：G是比例常数，称为是比例常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量，上式为，上式为剪切虎克定律剪切虎克定律。 当切应力不超过材料的剪当切应力不超过材料的剪切比例极限，切应力就与切应切比例极限，切应力就与切应变成正比，如右图，即：变成正比，如右图，即： 由实验可得，切应力与切应由实验可得，切应力与切应变的关系曲线，如图示：变的关系曲线，如图示：说明说明： 1、G 与与 E 、一样，均为材料常数，随材料而易。一样，均为材料常数，随材料而易。2、G表明材料的抗剪切变形的能力，同一剪应力下，表明材料的抗剪切变形的能力，同一剪应力下，G越越大，大，越小；越小；G越小，越小， 越大。越大。3、G可通过实验测得，但比较困难。可通过实验测得，但比较困难。4、G与与E及泊松比及泊松比有如下关系：有如下关系： 9.4 圆周扭转横截面上的应力圆周扭转横截面上的应力一、实验与假设一、实验与假设1 1、实验现象：实验现象： 各圆周线的形状、大小，两圆周线间的距离都没有发生各圆周线的形状、大小，两圆周线间的距离都没有发生变化，但都绕轴转过了不同的角度。变化，但都绕轴转过了不同的角度。 纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变成了平行四边形。形都变成了平行四边形。2 2、假设：假设：平面假设平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面，其形状和大小不变，半程中，始终保持为平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。径仍为直线。二、扭转切应力的一般公式二、扭转切应力的一般公式 要得到圆轴扭转横截面上的切应力公式，需综要得到圆轴扭转横截面上的切应力公式，需综合考虑三个方面的关系：合考虑三个方面的关系：1 1、变形几何关系、变形几何关系2 2、物理关系、物理关系3 3、静力学关系、静力学关系在外表面上：在外表面上：(b)(b)圆周上各点的切应变圆周上各点的切应变两端截面的相对扭转角两端截面的相对扭转角(a)(a)距圆心为距圆心为处的切应变为：处的切应变为：1 1、变形几何关系、变形几何关系 单位长度扭转角，对一给定的单位长度扭转角，对一给定的截面，是一常量。截面，是一常量。 可见，横截面上任意点的切应变可见，横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离成正比。成正比。 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, , 当剪应力不超过当剪应力不超过材料的剪切比例极限时材料的剪切比例极限时2. 2. 物理关系物理关系(b)(b)将（将（b b）带入上式得：）带入上式得：(c)(c)(c)(c) 在横截面上的分布：在横截面上的分布：与与 成正比成正比方向垂直于半径方向垂直于半径单位长度扭转角单位长度扭转角3.3.静力学关系静力学关系将（将（c c）带入上式得：）带入上式得： 圆轴扭转横截面上距圆心为圆轴扭转横截面上距圆心为 的任意点的切应力计算公式的任意点的切应力计算公式 极惯性矩极惯性矩将上式带入（将上式带入（c c）得：）得：(b)(b)(c)(c)单位长度扭转角单位长度扭转角适用范围：适用范围：线弹性范围，且只适用于线弹性范围，且只适用于等截面圆轴和空心等截面圆轴。对于等截面圆轴和空心等截面圆轴。对于锥度较小的圆锥轴可近似使用。锥度较小的圆锥轴可近似使用。一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算xMe+ +MeMeMeT二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图扭转扭转轴轴轴轴三、扭转切应力三、扭转切应力三、扭转切应力三、扭转切应力薄壁圆筒：薄壁圆筒：扭转扭转轴轴轴轴三、扭转切应力三、扭转切应力三、扭转切应力三、扭转切应力薄壁圆筒：薄壁圆筒：实心（空心）圆轴：实心（空心）圆轴：d三、截面的极惯性矩三、截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数 Wp 的计算的计算1.1.实心圆截面实心圆截面2.2.空心圆截面空心圆截面其中： 实心圆截面：实心圆截面： 空心圆截面：空心圆截面：d记住：记住：记住：记住：问：问：问：问：Ip Ip大 Ip小Wp Wp大 Wp小T TT TT TT T 例例：内外径分别为：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截面轴，受扭矩的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的切应力及横截面上的最大点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。和最小切应力。解：解： 例例：一厚度为：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm的空心圆管，承受的空心圆管，承受扭矩扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大切应力，使用：。试求管中的最大切应力，使用： (1)(1)薄壁薄壁管的近似理论；管的近似理论； (2)(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得(2) (2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得 例例：一直径为：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比的实心轴，另一内外径之比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。求两轴外直径之比求两轴外直径之比 D D2 2/D/D1 1。解：解：由由得：得：一、扭转破坏与扭转极限应力一、扭转破坏与扭转极限应力1. 扭转试验：用圆截面试样在扭转试验机上进行扭转试验：用圆截面试样在扭转试验机上进行2. 试验现象：试验现象：塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料3. 试验结论：试验结论：失效的形式为失效的形式为屈服屈服与与断裂断裂扭转屈服应力扭转屈服应力扭转强度极限扭转强度极限试样扭转屈服时横截面上的最大切应力试样扭转屈服时横截面上的最大切应力试样扭转断裂时横截面上的最大切应力试样扭转断裂时横截面上的最大切应力沿横截面被剪断沿横截面被剪断沿沿450螺旋曲面被拉断螺旋曲面被拉断9.5 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件扭转极限应力扭转极限应力二、圆轴扭转强度条件二、圆轴扭转强度条件1.扭转许用切应力扭转许用切应力2.扭转强度条件扭转强度条件若为等截面圆轴若为等截面圆轴塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料若为阶梯形（变截面）圆轴若为阶梯形（变截面）圆轴3.圆轴扭转强度计算的三类问题圆轴扭转强度计算的三类问题（a a）强度校核：）强度校核：（b b）截面设计：）截面设计：（c c）许用载荷计算：）许用载荷计算：已知：已知：n=100 rpm, P=7.5KW, =45MPa, =0.5, d1=45mm, d2= 46mm例：例：试校核轴的强度。试校核轴的强度。解：解：故：强度满足要求。故：强度满足要求。对实心轴，对实心轴，所以：所以：对空心轴：对空心轴：所以：所以：例例 某传动轴，轴内的最大扭矩某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5KNm，若许用切应力，若许用切应力 ，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸。，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸。2.空心圆截面轴，其内、外径之比空心圆截面轴，其内、外径之比 解：解：1.确定实心圆截面轴的直径确定实心圆截面轴的直径1.实心圆截面轴实心圆截面轴由强度条件由强度条件其中其中得得:取取2.确定空心圆截面轴的内、外径确定空心圆截面轴的内、外径由强度条件由强度条件其中其中而其内径为而其内径为取取3.重量比较重量比较材料相同，长度相同，重量比等于其横截面面积之比材料相同，长度相同，重量比等于其横截面面积之比结论：结论： 空心轴远比实心轴轻。空心轴远比实心轴轻。得得:注：圆轴合理截面设计注：圆轴合理截面设计1.宜将材料放置在离圆心较远的部位，即作成空心的宜将材料放置在离圆心较远的部位，即作成空心的2.平均半径愈大，壁厚愈小，即平均半径愈大，壁厚愈小，即 愈大，切应力分布愈愈大，切应力分布愈 均匀均匀但是若比值但是若比值 过大，即管壁过薄，管在受扭时将产生过大，即管壁过薄，管在受扭时将产生皱折现象（即局部失稳）而降低其抗扭能力。皱折现象（即局部失稳）而降低其抗扭能力。例例：一空心圆轴，内外径之比为：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。强度计算）。解解：设空心圆轴的内、外径原分别为：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后，面积增大一倍后内外径分别变为内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为，最大许可扭矩为19.6 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形两边积分得：若T为常量，则有：称为抗扭刚度称为抗扭刚度（1 1）当）当T T 变化，或轴为阶梯轴变化，或轴为阶梯轴时，应分段计算，即时，应分段计算，即说明：说明：（2 2）当截面连续变化但其锥度不大）当截面连续变化但其锥度不大时，可由下式计算，时，可由下式计算，二、圆轴扭转的刚度条件二、圆轴扭转的刚度条件1.单位长度的扭转角：单位长度的扭转角：2.刚度条件：刚度条件： 等截面圆轴等截面圆轴 许用单位长度扭转角，许用单位长度扭转角，单位：单位： 阶梯形圆轴的直径d1=4cm ,d2=7cm，轴上有三个皮带轮，轮3的输入功率为P3=30KW，轮1的输出功率为P1=13KW，轴的转速 n=200 rpm， 试校核轴的强度和刚度。 例例解：解： （1）作扭矩图）作扭矩图x621Nm1432 NmT（2）校核强度）校核强度所以，强度满足要求。所以，强度满足要求。M1= 621 Nm , M3=1432 Nm（3）校核刚度）校核刚度刚度也满足要求。刚度也满足要求。x621Nm1432 NmT例例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的切应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？倍？816 例例：水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为段为圆轴，直径为 d，在端点，在端点C受铅垂力受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为作用，材料的剪切弹性模量为G，不计，不计BC段变段变形。求形。求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。解：解：例：例：已知一直径已知一直径d=50mm的钢制圆轴在两端截面相对扭转的钢制圆轴在两端截面相对扭转角为角为 6时，轴内最大切应力等于时，轴内最大切应力等于90MPa，G=80GPa。求。求该轴长度。该轴长度。解：解：例：例：圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原来表面上的圆周原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大切应力和杆端的外力偶矩试求杆横截面上最大切应力和杆端的外力偶矩。解：解：由题意知，由题意知，或者，由：或者，由：所以：所以：而：而：和和两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩M作作用，试求杆两端的支座反力偶矩。用，试求杆两端的支座反力偶矩。静力平衡方程为：静力平衡方程为：变形协调条件为：变形协调条件为：得补充方程：得补充方程：例例解：解：扭转静不定问题扭转静不定问题9.7 非圆截面轴扭转简介（非圆截面轴扭转简介（自学自学） 圆截面杆扭转时的应力和变形公式圆截面杆扭转时的应力和变形公式, ,均建立在均建立在平面假设平面假设 的的基础上。基础上。 对于非圆截面杆对于非圆截面杆, ,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲截面翘曲。 因此因此, ,圆轴扭转时的圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。截面杆均不适用。一、非圆截面杆在扭转时两种情形一、非圆截面杆在扭转时两种情形: :1.1.自由扭转或纯扭转自由扭转或纯扭转 在扭转过程中在扭转过程中, ,杆的各横截面的翘杆的各横截面的翘曲不受任何约束曲不受任何约束, ,任意两相邻横截面的任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力应力, ,而没有正应力。而没有正应力。2.2.约束扭转约束扭转 扭转时扭转时, ,由于杆的端部支座的约束由于杆的端部支座的约束, ,使杆件截面翘曲受到一定限制使杆件截面翘曲受到一定限制, ,而引起而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同任意两相邻横截面的翘曲程度不同, ,将将在横截面上产生附加的正应力。在横截面上产生附加的正应力。二、矩形截面杆扭转理论简介二、矩形截面杆扭转理论简介1. 1. 矩形截面杆扭转变形矩形截面杆扭转变形 杆表面棱角处的切应变为零；而据侧面中线越近，杆表面棱角处的切应变为零；而据侧面中线越近，切应变越大，在侧面的中线处，切应变最大。切应变越大，在侧面的中线处，切应变最大。2. 2. 矩形截面杆截面剪应力分布矩形截面杆截面剪应力分布 由弹性力学理论分析得，矩形截面杆自由扭转，由弹性力学理论分析得，矩形截面杆自由扭转，截面上剪应力分布如图截面上剪应力分布如图(2)(2)四个角点处的剪应力为零；四个角点处的剪应力为零；(1)(1)截面边缘上各点的切应力平行于截面周边；截面边缘上各点的切应力平行于截面周边；(3)(3)矩形长边的中点处，切应力为最大，其计算公式为矩形长边的中点处，切应力为最大，其计算公式为： 、为与截面边长比值为与截面边长比值 h/b h/b 有关的有关的系数。详见表系数。详见表9 91 1(4)(4)矩形短边的中点处切应力为：矩形短边的中点处切应力为：3. 3. 矩形截面杆扭转变形矩形截面杆扭转变形两端相对扭转角：两端相对扭转角： 也是与截面边长比值也是与截面边长比值 h/bh/b有关的系数。有关的系数。对狭长矩形：对狭长矩形：三、开口薄壁杆件的自由扭转三、开口薄壁杆件的自由扭转 开口薄壁杆件开口薄壁杆件: :如角钢、槽钢、工字钢等。壁厚远小于整个如角钢、槽钢、工字钢等。壁厚远小于整个截面的高、宽尺寸截面的高、宽尺寸, ,其截面中线是一条不封闭的折线。开口薄壁其截面中线是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由扭转时杆件在自由扭转时, ,截面要发生翘曲。截面要发生翘曲。其中：一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算xMe+ +MeMeMeT二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图扭转扭转轴轴轴轴三、扭转切应力三、扭转切应力三、扭转切应力三、扭转切应力其中：其中：薄壁圆筒：薄壁圆筒：实心（空心）圆轴：实心（空心）圆轴：四、扭转强度条件四、扭转强度条件四、扭转强度条件四、扭转强度条件五、扭矩变形与扭矩刚度条件五、扭矩变形与扭矩刚度条件五、扭矩变形与扭矩刚度条件五、扭矩变形与扭矩刚度条件扭转扭转轴轴轴轴