科学出版社第二章极限与连续科学出版社三三 、收敛数列的性质与极限的四则运算、收敛数列的性质与极限的四则运算 四四 、数列极限存在的条件、数列极限存在的条件 二、数列的极限二、数列的极限第一节第一节数列的极限数列的极限一、数列一、数列(series) 第二二章 科学出版社一、数列一、数列数列数列x n是定义域为是定义域为N+的函数的列表式表示的函数的列表式表示: 例如例如:常数数列：常数数列：数列的通项公式x n=f (n)就是其公式法表示.通项通项通项数列的有界性数列的有界性等定义分别与函数的各定义相同.如果数列不是有界的，则称数列是无界的.无界的数学表述为：对任何 总存在 使得若把数列看作函数时,数列的有上界,有下界,有界的数列的单调性数列的单调性( (类似于函数的单调性定义类似于函数的单调性定义) )给定数列如果对于任何 都有则称是数列是单调增加（或单调减少）数列. 如果对于任何 都有则称是数列是严格单调增加（或严格单调减少）数列. 这是估计A与An的差(n个弓形的面积)二二 、数列极限的定义、数列极限的定义实例实例. 设有半径为 1 的圆,逼近圆面积A 用度为单位表示为:当 n 趋于正无穷大时,An趋于A 用其内接正 n 边形的面积 易得用这n边形的周长Cn逼近圆周长C.定义C=2,称为圆周率.在弧度制下,就得到重要极限之一若数列及常数 a , 有下列关系 :当 n N 时, 总有记作也称数列收敛 于a; 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列收敛(convergent),定义定义2.(divergent)例如例如,趋势不定收 敛发 散例例1.1.证明证：证：任意给定要使只要即因此取当时, 有即时, 就有例例2. . 证明证：证：任意给定因为所以只要就有因此可以取当时, 有即例例3. . 证明证：证：任意给定要使只要即所以可取当时, 有因此注：注：从例2和例3看出， 在用 定义证明极限时， 只需要指出 N 存在即可， 并不需要找出最小的N .例2中要找出最小的N 是很困难的. 如在例例4. 证明证：证：任给因为所以只要就有这样只须取当时，就有即例例4. 设证明等比数列证证:要使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有即的极限为0 .定义定义3. 设有数列如果对于当时，有称该数列当 时极限是正无穷大，记为或注：注：类似地可以定义当数列的极限是正无穷大或负无穷大仍是发散数列. 三、收敛数列的性质与极限的三、收敛数列的性质与极限的 四则运算四则运算证证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有定理定理1. 收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式定理定理2 . 证证:, 取则当时, 从而有取 则由此证明收敛数列必有界.注注:例如,虽有界但不收敛 .有数列推论推论. 若数列无界, 则发散.这个性质反过来不一定成立.收敛数列一定有界.设且有证证:推论推论1 (保号性保号性) 设(用反证法证明)则定理定理3. 若a,b, 则有则令有且则都有推论推论2. 设且则取当时当时定理定理4 ( 迫敛性迫敛性squeeze theorem).证证: 由条件 1) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 2)即故 设a则例例5. 证明证证: 利用迫敛性 .且由例例6.求数列的极限.解：解：设于是有从而有或因为所以根据迫敛性，得科学出版社定理定理5. 设则有:推论推论1. 如果则推论推论2. 如果则证：证： 1) 对于任意的由当时, 有又由当时, 有令当时, 有因此这也说明极限运算对加减法有分配律.证：证： 2)因为我们只要想办法使上面不等式右边的两项都能任意小 .因为由有界性知, 存在 M 0 , 使得当时, 对于任意的由有当时, 有又由令当时, 有因此证：证： 3)首先证明当时, 有因为或于是要使只要时, 有根据即于是计算解解:例例8.计算解解:例例7.计算解解:例例9.科学出版社计算解解:例例11.计算解解:例例10.6单调有界定理单调有界定理: 证: 用确界原理可证,见教材p27四、数列极限存在的条件四、数列极限存在的条件单调增(减)的有上(下)界的数列必收敛.例例12. 设证明数列收敛 . 证证: 利用二项式公式 , 有大大 大大 正正又比较可知根据定理6 可知数列记收敛的极限为 e , e 为无理数 , 计算得其精确到16位数的值为即收敛 .又(重要极限之二)科学出版社例例13. 计算解解:例例14. 证明数列收敛，并求其极限.证证:记则数列是单调增加的.设则由于数列是有界的.由定理6知数列收敛，对上式两边取极限，解得或者由于故其极限 所以设其极限为a, 根据有得到定理定理7 . 在中的数列收敛的充要条件是:存在 N , 使当时, 对于一切有柯西(Cauchy)准则(criterion)柯西准则的意义是： 数列是否收敛可以根据其一般项的特性得出，而不必具体计算其极限值 a.8致密性定理致密性定理. 有界数列必有收敛的子数列(即从原数列中按序挑出的数列)例xn=(-1)n 中的子数列x2,x4,x6,收敛用确界原理可证:注: 满足以上条件(称为柯西条件)的数列称为柯西数列,注:证明柯西条件充分性时要用到实数的完备性故数列收敛，例例15. 15. 设 且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用收敛准则