-1-1.1数列的概念数 学 精 品 课 件北 师 大 版2 2.2 2等差数列的前等差数列的前n项和项和第1 1课时等差数列的前n项和1.数列的前n项和对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.2.等差数列an的前n项和 【做一做1】(1)在等差数列an中,如果S10=120,那么a1+a10的值是()A.12 B.24C.36D.48(2)记等差数列an的前n项和为Sn.若 ,S4=20,则公差d=.答案:(1)B(2)3 3.等差数列前n项和Sn的主要性质(1)若数列an为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,组成的数列Tn也为等差数列,公差为n2d.(2)若等差数列an的项数为偶数2n(nN+),则证明方法如下:若等差数列an的项数为偶数2n(nN+), 【做一做2】若数列an是含(2n+1)项的等差数列,则其奇数项的和与偶数项的和之比为()答案:B 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)等差数列an的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数. ()(2)若等差数列an的首项为负,公差为正,则数列an的前n项和Sn肯定无最大值,但有最小值. ()(3)若等差数列an的前n项和Sn=An2+Bn+C,则C=0. ()(4)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列 一定为等差数列. ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思想方法【例1】在等差数列中,(1)已知a1=105,an=994,d=7,求Sn;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;(3)已知a3+a15=40,求S17.分析:(1)先根据a1,an和公差d计算出项数n的值,再代入等差数列的前n项和公式即可求解.(2)把a6,S5分别用a1和d表示出来,解方程组即可求出a1和d,进而求出a8和S8.(3)由等差数列的性质可得a3+a15=a1+a17,将其代入求和公式求解即可.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”.“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.探究一探究二探究三思想方法变式训练1已知等差数列an中,探究一探究二探究三思想方法【例2】求解下列各题:(1)已知一个等差数列an的前n项和为25,前2n项和为100,求该数列的前3n项的和;分析:根据题目已知条件的特点,选用相应的性质求解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟在等差数列的有关计算问题中,合理地运用等差数列及其前n项和的性质,可以简化计算,优化解题过程,常用的性质主要有:(1)在等差数列an中,S2n-1=(2n-1)an;(2)若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差数列;(3)若数列an,bn为等差数列,Sn,Tn分别是其前n项和,则有结论探究一探究二探究三思想方法变式训练2求解下列各题:(1)在等差数列an中,a2+a7+a12=24,求S13;(2)某等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,求该数列的公差d.解:(1)a2+a12=a1+a13=2a7,a2+a7+a12=24,探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法【例3】在等差数列an中,a1=25,S17=S9,则数列前多少项之和最大?求此最大值.分析:Sn是n的二次函数,可用二次函数求最值的方法,也可用等差数列的单调性进行转化.Sn最大an0,且an+10或利用S17=S9,则Sn有对称性.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法解法三:因为S17=S9,即a1+a2+a17=a1+a2+a9,所以a10+a11+a12+a17=0.又因为a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,即4(a13+a14)=0,所以a13+a14=0.又因为a1=250,所以an为递减数列,故a130,a140.因此前13项和最大,且最大值为169.解法四:由解法一知d=-2,则an=27-2n.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.等差数列前n项和最值的求法:(1)用等差数列前n项和的函数表达式Sn=An2+Bn,通过配方或求二次函数最值的方法求得.但要注意求其正整数解.(2)利用等差数列的单调性,由通项公式及正负转折项求最值.2.本例给我们的启发是:若需求出Sn的最值,则一般采用解法一,若只需求出Sn取最值时n的值,则可采用解法二、三、四,这样处理较为简捷.探究一探究二探究三思想方法变式训练3(1)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.探究一探究二探究三思想方法基本元素法与利用性质巧解法的对比【典例】设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a11+a12+a13+a14=.解析:(方法一)(基本元素法)探究一探究二探究三思想方法(方法二)(利用性质巧解法)设等差数列an的公差为d,因为S4=a1+a2+a3+a4=8,S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)+(a1+4d+a2+4d+a3+4d+a4+4d)=2(a1+a2+a3+a4)+16d=20,所以16+16d=20,即16d=4.答案:18 探究一探究二探究三思想方法方法点睛一般地,涉及等差数列的通项、求和等问题,总是可以用体现数列的基本元素a1,d,n,an,Sn将已知条件形成方程或方程组来求解.这种方法的特点是“万物归一”,我们称之为基本元素法.如果能利用等差数列的相关性质将条件整理成特定结构,这样就避免了烦琐的计算.这两种方法在平时解题时要注意互相补充.探究一探究二探究三思想方法变式训练已知等差数列an共有(2n+1)项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,求n的值.解法一:依题意可列方程组:解法二:等差数列共有(2n+1)项, 123451.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于()解析:由题意,得6=34+解得d=-2.答案:C123452.在等差数列an中,若a2+a10=-70,则S11等于()A.-770B.-385C.770D.385解析:由a2+a10=-70得2a6=-70,即a6=-35,答案:B 123453.设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,组成的数列也为等差数列,公差为n2d,所以S6-S3=S3+32d=3+9d=21,解得d=2.又因为S3=3a1+2=3,所以a1=-1.所以a9=-1+82=15.答案:15123454.在等差数列an中,a6=4,a13=18,则a21+a22+a40的值为.解析:(方法1)由a6=4,a13=18,得a1=-6,d=2.a21=a1+20d=34,(方法2)同方法1,可得a1=-6,d=2.a21+a22+a40=S40-S20答案:1 060 123455.已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项an;(2)求an前n项和Sn的最大值.解:(1)设an的公差为d,