第第3节二元一次不等式节二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式AxByC0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成_.知知 识识 梳梳 理理实线(2)对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，代入AxByC所得值的符号都_，所以只需取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的_可判断AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域.(3)不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.相同符号2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足_的解(x，y)可行域所有_组成的集合最优解使目标函数达到_或_的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的_或_的问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值常用结论与微点提醒1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.()诊诊 断断 自自 测测解析(1)不等式xy10表示的平面区域在直线xy10的下方.答案(1)(2)(3)(4)2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0，0) B.(1，1) C.(1，3) D.(2，3)解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合.答案C解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B答案5答案3考点一二元一次不等式考点一二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m1，答案(1)C(2)B规律方法1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数zxy经过A(3，0)时取得最大值，故zmax303.答案D解析(1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x2y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A(3，1)与原点的距离最大，所以x2y2的最大值是10.答案B解析(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数zx2y经过点C(3，4)时取最大值zmax3245.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，答案(1)C(2)C考点三实际生活中的线性规划问题考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).答案216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.【训练3】 (2018黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_.解析设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，答案600