微积分第微积分第3章章考试内容考试内容原函数和不定原函数和不定积分的概念，不定分的概念，不定积分的基本性分的基本性质，基，基本本积分公式，定分公式，定积分的概念和基本性分的概念和基本性质，定，定积分中分中值定理，定理，积分上限的函数及其分上限的函数及其导数，牛数，牛顿莱布尼茨公莱布尼茨公式，不定式，不定积分和定分和定积分的分的换元元积分法与分部分法与分部积分法，分法，反常反常( (广广义) )积分，定分，定积分的分的应用用 2（可推广到有限多个函数的情况）（可推广到有限多个函数的情况）不定积分的线性性质：不定积分的线性性质：9第一类换元法第一类换元法( (凑微分法凑微分法) )常用凑微分公式：常用凑微分公式：等等等等.10回代回代第二类换元法第二类换元法分部积分法分部积分法凑微分凑微分112 2、定积分、定积分 abox y12微积分基本公式：微积分基本公式：牛顿牛顿- -莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：定定积分分性质性质：线性性性性, ,区区间可加性可加性, ,比比较大小大小, ,积分中分中值定理定理. .13定积分的积分法：定积分的积分法： 直接直接( (分分项) )积分法分法，换元积分法，分部积分法。，换元积分法，分部积分法。14定定积分几个常用公式：分几个常用公式：瓦里斯公式瓦里斯公式15广义广义积分的分的两两个个结果：果：16定积分的应用定积分的应用微元法微元法1、平面图形的面积、平面图形的面积xyoabxyoabdcxyo172、旋转体的体积、旋转体的体积abox yx ycdox ydc18ox yab套筒法：套筒法：19典型例题典型例题解解例例1 1题型题型1 1：原函数与不定积分的概念：原函数与不定积分的概念 20解解例例2 2两边求导，得两边求导，得 21题型题型2 2：定积分的基本概念与性质：定积分的基本概念与性质 解解例例1 1两两边积分得分得 22例例2 2解解在上式两边乘以在上式两边乘以 x，再从再从 0 到到 1 积分，得积分，得 23题型题型3 3：不定积分的计算：不定积分的计算 解解例例1 124例例2 2 求下列不定求下列不定积分分或或2526解解例例3 327注：注：此此题也可用也可用三角变换三角变换, ,稍烦稍烦. . 28例例4 42930例例5 5解解(95(95五五6)6)31解解例例6 6因为因为所以所以32题型题型4 4：定积分的计算：定积分的计算 解解例例1 133例例2 2计算计算解解原式原式34例例3 3计算计算解解所以原式所以原式或：或：原式原式35解解例例4 436例例5 5解解 令令原式原式则则解得解得计算下列定算下列定积分：分：37例例6 638解解例例7 7(1)(1)所以所以39(2)(2)解解由由(1)(1)有有 40解解例例8 841解解由由题图知，知，例例9 9oxy1 12 23 34 41 12 23 34 4(05(17)11)4243题型题型5 5：变限积分：变限积分解解例例1 144解解所以所以最大最大值为 例例2 245例例3 3解解46例例4 4解解【答案】【答案】 应选( (B B).). 47解解选选( (B).B).例例5 5的是前一个的高的是前一个的高阶无无穷小小, ,则正确的排列次序是正确的排列次序是 (数一数一04)48解解例例6 649解解例例7 750例例8 8解解(90(90六六9)9)51例例9 9解法解法1 1(95(95七七8)8)分部积分法，分部积分法，52解法解法2 2将原将原积分化分化为二重二重积分分, ,交交换积分次序分次序, ,xt例例9 9(95(95七七8)8)53类题类题【2+2/062+2/06】54题型题型6 6：定积分的证明题：定积分的证明题 证证例例1 15556由由积分中分中值定理，定理， 或证或证例例1 157证证 令令由零点定理可知，由零点定理可知，另一方面，另一方面，例例2 258证证例例3 3由积分中值定理，由积分中值定理， 59证证例例3 360题型题型7 7：广义积分：广义积分 下列广下列广义积分收分收敛的是（的是（ ）. . 解解选选(C) .例例1 161解解例例2 2 计算广义积分计算广义积分62或解或解例例2 2 计算广义积分计算广义积分63例例3 3计算广义积分计算广义积分解解原式原式64【2+2/082+2/08】解解收敛。收敛。 65题型题型8 8：定积分的应用：定积分的应用 例例1 1【 】 xyo66xyo【详解】【详解】 根据定积分的几何意义，知根据定积分的几何意义，知 所以所以选选( (C). C). 【分析】【分析】 67 过过坐坐标标原原点点作作曲曲线线y = = ln x的的切切线线，该该切切线线与与曲线曲线y = = ln x及及x 轴围成平面图形轴围成平面图形D. .(1)(1) 求求D的面积的面积A；(2)(2) 求求D绕直线绕直线x = = e旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积V. . 解解所以该切线的方程为所以该切线的方程为例例2 268平面图形平面图形D的面积为的面积为（2 2）切线与）切线与x轴及直线轴及直线x = = e所围成的三所围成的三角形绕直线角形绕直线x = = e旋转所得的圆锥体积为旋转所得的圆锥体积为 曲线曲线y = = ln x与与x轴及直线轴及直线x = = e所围成的图形绕直所围成的图形绕直线线x = = e旋转所得的旋转体体积为旋转所得的旋转体体积为 因此所求旋转体的体积为因此所求旋转体的体积为69例例3 3 解解体积元素为体积元素为y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo所以所求旋转体体积为所以所求旋转体体积为70体积元素为体积元素为例例4 4 解法解法1 1xyo71体积元素为体积元素为例例4 4解法解法2 2用套筒法，用套筒法，xyo72解解 (1)(1)y2xao例例5 5 73解解 (1)(1)(2)(2)导数左正右负，导数左正右负，为最大最大值点，点，74解解例例6 6(1)(1)75(2) (2) 两曲两曲线与与x轴围成的平成的平面面图形的面形的面积为 76(3) (3) 旋旋转体的体体的体积为 77END78