第二章函数概念与基本初等函数 I2.4二次函数与幂函数内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_.顶点式：f(x)_.零点式：f(x) .(2)二次函数的图象和性质ax2bxc(a0)a(xm)2n(a0)a(xx1)(xx2)(a0)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .()(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数.()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(4)函数 是幂函数.()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当n1，解得m1.(，1)(1，)考点自测2 2解析答案123452.已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_.解析答案123453.函数 的图象是_.(填序号)解析解析显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0x1时，当x1时，故只有符合.解析答案123454.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.解析解析如图，由图象可知m的取值范围是1,2.1,2解析答案12345(0，)答案12345返回题型分类深度剖析题型一求二次函数的解析式例例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解析答案思维升华(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_.解析解析依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11， 跟踪训练1解析答案(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析解析由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.2x24解析答案题型二二次函数的图象与性质命题点命题点1二次函数的单调性二次函数的单调性例例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.故a的取值范围是(，64，). 解析答案(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间.其图象如图所示.又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数.解析答案命题点命题点2二次函数的最值二次函数的最值例例3已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 解析解析f(x)(x1)21，2x3(如图)，f(x)maxf(2)8.8解析答案已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.引申探究解析答案命题点命题点3二次函数中的恒成立问题二次函数中的恒成立问题例例4(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_.解析答案(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.解析解析2ax22x30)，且f(m)0，则f(m1)_0(判断大小关系).f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0.123456789101112131415解析答案4.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a_.解析解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，1123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案6.已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_.解析解析由函数f(x)x22x(x1)21，当x1,2时，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3，即函数f(x)的值域为1,3，当x1,2时，函数g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，3，)解得a3.123456789101112131415解析答案7.当0xg(x)f(x).h(x)g(x)f(x)123456789101112131415解析答案8.已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_.解析解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.1或3123456789101112131415解析答案9.已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR).123456789101112131415解析答案(1)若函数f(x)的图象过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围.所以所求实数k的取值范围为(，06，).由g(x)的图象知：要满足题意，123456789101112131415解析答案10.已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.123456789101112131415解析答案11.已知函数f(x)x2m是定义在区间3m，m2m上的奇函数，则f(m)_.解析解析由已知，必有m2m3m，即m22m30，m3或m1.当m3时，函数即f(x)x1，x6,6，f(x)在x0处无意义，故舍去；当m1时，函数即f(x)x3，此时x2,2，符合题意.f(m)f(1)f(1)31.1123456789101112131415解析答案12.已 知 幂 函 数 f(x) x， 当 x1时 ， 恒 有 f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象，由图象可知0，bR，cR).(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，123456789101112131415解析答案返回(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围.解解f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立， 2b0.故b的取值范围是2,0.123456789101112131415返回解析答案