等腰三角形等腰三角形 1第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 考考 点点 聚聚 焦焦定定义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三叫腰，第三边为底底性性质轴对称性称性等腰三角形是等腰三角形是轴对称称图形，有形，有_条条对称称轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称称为：_)定理定理2等腰三角形等腰三角形顶角的平分角的平分线、底、底边上的上的_和底和底边上的高互相重合，上的高互相重合，简称称“三三线合一合一”两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线2第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中等腰三角形两腰上的中线相等相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分等腰三角形两底角的平分线相等相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高与底等腰三角形一腰上的高与底边的的夹角等于角等于顶角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形等腰三角形顶角的外角平分角的外角平分线与底与底边平行平行(6)(6)等腰三角形底等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底等腰三角形底边延延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高的高3第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角两个角所所对的的边也相等也相等(简写成：写成：_)拓展拓展(1)一一边上的高与上的高与这边上的中上的中线重合的三角形是重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一一边上的高与上的高与这边所所对的角的平分的角的平分线重合的重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一一边上的中上的中线与与这边所所对的角的平分的角的平分线重合重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边4第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 考点考点3 3等边三角形等边三角形定定义三三边相等的三角形是等相等的三角形是等边三角形三角形性性质等等边三角形的各角都三角形的各角都_，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于_等等边三角形是三角形是轴对称称图形，有形，有_条条对称称轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等三个角都相等的三角形是等边三角形三角形(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形三角形相等相等 60 3 5第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定义经过线段的中点与段的中点与这条条线段垂直的直段垂直的直线叫做叫做这条条线段的垂直平分段的垂直平分线性性质线段垂直平分段垂直平分线上的点与上的点与这条条线段两个端点的段两个端点的距离距离_判定判定与一条与一条线段两个端点距离相等的点，在段两个端点距离相等的点，在这条条线段的段的_上上实质构成构成线段的垂直平分段的垂直平分线可以看作到可以看作到线段两个端点段两个端点_的所有点的集合的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 6第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 探究一探究一 等腰三角形的性质的运用等腰三角形的性质的运用命命题角度：角度：1. 1. 等腰三角形的性等腰三角形的性质；2. 2. 等腰三角形等腰三角形“三三线合一合一”的性的性质归归 类类 探探 究究例例1 如如图201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中上的中线，ABC的平分的平分线BG，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足，垂足为F.求求证：EFED.图图2017第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解析解析根据等腰三角形三根据等腰三角形三线合一，确定合一，确定AD BC.又因又因为EF AB，然后根据角平分，然后根据角平分线上的点到角的两上的点到角的两边的距离的距离相等可相等可证明明结论8第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 证明证明 ABABACAC，ADAD是是BCBC边上的中上的中线，ADADBCBC. .BGBG平分平分ABCABC，EFEFABAB，EFEFEDED. .9第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 (1)(1)等等腰腰三三角角形形的的性性质揭揭示示了了三三角角形形中中边与与角角的的转化化关关系系，由由两两边相相等等转化化为两两角角相相等等，是是证明明两两角角相相等等的的常常用方法；用方法；(2)(2)等等腰腰三三角角形形“三三线合合一一”是是证明明两两条条线段段相相等等、两两个角相等以及两条直个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据互相垂直的重要依据10第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 探究二探究二 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 命命题角度：角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定图202 例例2 2011扬州州 已知：如已知：如图202，锐角角ABC的两条的两条高高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求求证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分的平分线上，并上，并说明理由明理由 11第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解析解析(1)利用利用 BDCCEB 证明明 DCB EBC；(2)连接接AO，通，通过HL证明明 ADOAEO，从而得到，从而得到 DAO EAO，利用角平分，利用角平分线上的点到角两上的点到角两边的距离的距离相等，相等，证明明结论12第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解解 (1)(1)证明：明：OBOBOCOC，OBCOBCOCB.OCB.BDBD、CECE是两条高，是两条高，BDCBDCCEBCEB90.90.又又BCBCCBCB，BDCCEB (AAS)BDCCEB (AAS)EBCEBCDCB, ABDCB, ABAC.AC.ABCABC是等腰三角形是等腰三角形13第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解解 (2)(2)点点O O在在BACBAC的平分的平分线上理由如下：上理由如下：连接接AO.AO.BDCCEBBDCCEB，DBDBEC.EC.OBOBOCOC， OD ODOE.OE.又又BDCBDCCEBCEB9090，AOAOAOAO，ADOAEO(HL)ADOAEO(HL)DAODAOEAO.EAO.点点O O是在是在BACBAC的平分的平分线上上 14第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 要要证明明一一个个三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形，必必须得得到到两两边相相等等，而而得得到到两两边相相等等的的方方法法主主要要有有：(1)(1)通通过等等角角对等等边得得两两边相相等等；(2)(2)通通过三三角角形形全全等等得得两两边相相等等；(3)(3)利利用用垂直平分垂直平分线的性的性质得两得两边相等相等15第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 探究三探究三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 命命题角度：角度：1遇遇到到等等腰腰三三角角形形的的问题时，注注意意边有有腰腰与与底底边之之分分，角有底角和角有底角和顶角之分；角之分；2遇遇到到等等腰腰三三角角形形的的高高线问题要要考考虑高高在在形形内内和和形形外外两两种情况种情况例例3 2013毕节 已知等腰三角形的一已知等腰三角形的一边长为4，另一，另一边长为8，则这个等腰三角形的周个等腰三角形的周长为()A16 B20或或16C20 D12C 16第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解析解析因因为已知已知长度度为4和和8两两边，没有明确哪条，没有明确哪条边是是底底边哪条哪条边是腰，所以有两种情况，需要分是腰，所以有两种情况，需要分类讨论当当4为底底时，其他两，其他两边长都都为8，长为4、8、8的三条的三条线段可以构成三角形，段可以构成三角形，周周长为20；17第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解析解析当当4为腰腰时，其他两，其他两边长分分别为4和和8， 448， 不能构成三角形，故舍去不能构成三角形，故舍去 答案只有答案只有20.18第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 综合合运运用用三三角角形形的的内内角角和和定定理理与与外外角角的的性性质、角角平平分分线的的性性质，灵灵活活地地运运用用这些些基基础知知识，合合理理地地推推理理，可可以灵活的解决内外角的关系得到以灵活的解决内外角的关系得到结论论19第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 探究四探究四 等边三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质 命命题角度：角度：等等边三角形的判定与性三角形的判定与性质的的综合合例例4 如如图203，在等，在等边三角形三角形ABC中，中，D、E分分别是是BC、AC上的点，且上的点，且CDAE，AD与与BE相交于点相交于点P.(1)求求证：ABECAD；(2)若若BHAD于点于点H，求，求证：PB2PH.图20203 320第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解析解析 (1)欲欲证 ABE CAD，可以通，可以通过证明明 ABECAD得出；得出；(2)欲欲证PB2PH，因，因为BH AD于点于点H，在，在Rt PBH中中根据含根据含30的直角三角形的性的直角三角形的性质由由 BPH60即可得到即可得到答案答案21第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 证明证明 (1)1)等等边ABCABC，ACACABAB，CCCAB.CAB.CDCDAEAE，CADABE.CADABE.CADCADABE.ABE.(2)BPH(2)BPHBADBADABPABPBADBADCADCAD6060，且且BHADBHAD于点于点H H，EBHEBH30.30.在在RtPBHRtPBH中，中，PBPB2PH.2PH.22第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 等等边三三角角形形中中隐含含着着三三边相相等等和和三三个个角角都都是是6060等等条条件件，所所以以要要充充分分利利用用这些些隐含含条条件件，证明明全全等等或或者者构构造造全等全等23第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 探究五探究五 等腰三角形的创新应用等腰三角形的创新应用 命命题角度：角度：等等腰腰三三角角形形性性质“等等边对等等角角”与与“等等腰腰三三角角形形的的三三线合合一一”的运用的运用例例5 如如图204，在，在ABC中，中，ABAC2，BAC120，点，点A的坐的坐标是是(1，0)，点，点B、C在在y轴上，在上，在x轴上是上是否存在点否存在点P，使，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形？都是等腰三角形？如果存在，如果存在，请写出点写出点P的坐的坐标；如果不存在，；如果不存在，请说明理由明理由图20424第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解析解析先由等腰三角形三先由等腰三角形三线合一的性合一的性质得出得出OBOC， OAB OAC60，再取，再取 BPABAP60，所，所以以PBABPCAC，从而根据等腰三角形的定，从而根据等腰三角形的定义得得出出 PAB、 PBC、 PAC都是等腰三角形都是等腰三角形 25第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解解 在在x x轴上上存存在在点点P(P(1 1，0)0)，P(3P(3，0)0)使使PABPAB、PBCPBC、PACPAC都是等腰三角形理由如下：都是等腰三角形理由如下：ABABACAC2 2，AOBCAOBC，BACBAC120120，OBOBOCOC，OABOABOACOACBACBAC6060，取取A(1A(1，0)0)关关于于y y轴的的对称称点点P(P(1 1，0)0)，则PBPBABAB，PCPCACAC，BPABPABAPBAP6060，PBPBABABPCPCACAC，PABPAB、PBCPBC、PACPAC都是等腰三角形都是等腰三角形26第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解解 P(3P(3，0)0)，A(1A(1，0)0)，BABAAPAPACAC2.2.又又BAPBAPCAPCAP，BAPCAP.BAPCAP.BPBPCP.CP.PABPAB、PBCPBC、PACPAC都是等腰三角形都是等腰三角形27第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 等腰三角形的等量等腰三角形的等量问题 回回 归归 教教 材材证明：等腰三角形两底角的平分明：等腰三角形两底角的平分线相等相等已知：如已知：如图205，在，在ABC中，中，ABAC，BD，CE是是ABC的角平分的角平分线求求证：BDCE.证明：明：ABAC，ABCACB(等等边对等角等角)1ABC，2ACB，12.在在BDC和和CEB中，中，ACBABC，BCCB，12，BDCCEB(ASA)BDCE(全等三角形的全等三角形的对应边相等相等)图20528第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 中中 考考 预预 测测已已知知：如如图206，ABC中中，ABC与与ACB的的平平分分线交交于于点点F，过点点F作作DEBC，交交AB于于D，交交AC于于E.请说明明BDECDE的理由的理由图20629第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 解解 DEBCDEBC，332(2(两直两直线平行，内平行，内错角相等角相等) )又又BFBF平分平分ABCABC，112.2.1133，DBDBDF(DF(等角等角对等等边) )同理，同理，EFEFCECE，BDBDECECDFDFEFEF，即即BDBDECECDE.DE.图20630个人观点供参考，欢迎讨论