财务管理贴现现金流量引言 假设，火箭队和姚明签订了一份1000万美元的合约，仔细看看，1000万美元的数字表明姚明的待遇很优厚，但是实际的待遇却和报出的数字相差甚远。合约价值的1000万美元，确切地讲要分好几年支付，包括200万美元的奖金和800万美元的工资，奖金和工资又要分好几年支付，因此，一旦我们考虑到货币的时间价值，实际所得就没有报出的数目那么多。 引言 在前一章中，我们讲述了贴现现金流量估 价的基本知识。然而，到目前为止，只是 针对单一现金流量。在实务中，大部分投 资都不只一笔现金流量。本章，我们就来 学习如何评价复杂现金流量的投资。 本章学习之后能解决的问题 学习完这一章，你就会掌握一些非常实用的技巧：如计算汽车贷款的付款额，助学贷款的付款额； 你还将知道如果你每个月都只付最低的付款额，你将需要多长时间才能还清信用卡账单；如何比较利率，以及决定哪个利率最高，哪个利率最低。3.1 多期现金流量的现值和终值 上次课已经讲述了一个总现值的终值，或者单一的未来现金流量的现值。本节课，将拓展这些基本的结果来处理多期现金流量。 3.1.1 多期现金流量的终值 假设在一个利率为8%的帐户中以后三年每年存入100元，那两年后将有多少钱？ 第1年年末：108元，加上第2年存入的100元，共有208元这208元在8%的帐户中存1年，到第2年年末，价值为：利用时间线求多期现金流终值A.时间线：B. 累计终值：图3-1：时间线时间（年）现金流量 100元 100元012时间（年）现金流量 100元 100元终值合计 108 224.64 208012例题3.1 储蓄问题你觉得可以在接下来的3年的每一年年末，在一个利率为8%的银行账户中存入4000元，目前该账户已经有7000元，3年后你将拥有多少钱？4年后呢？例题3.1：解答第1年年末，你将拥有：第2年年末，你将拥有：第3年年末，你将拥有：第4年年末，你将拥有：两种计算方法 当我们计算多期存款的终值时，有两种计算方法：计算每年年初的余额，然后再向前滚1年；第2种方法是计算每一笔现金流量的终值，再把它们加总起来。例题3.2：投资问题考虑接下来的5年中每年年末投资2000元的终值，贴现率为10%。01234520002000200020002000例题3.2：解答第1年2000元的终值：第2年2000元的终值：第3年2000元的终值：第4年2000元的终值：第5年的终值：3.2：多期现金流量的现值 我们经常需要确定一系列未来现金流量的现值，和求终值一样，我们可以采用两种方法：要么每次贴现一期，要么分别算出现值，再全部加总起来。例题3.3 假如有一项投资将在未来5年的每年末支付1000元，贴现率为6%，要计算现值，可以将每一笔1000元贴现回来，再全部加总在一起。也可以将最后一笔现金流量贴现至前一期，然后将它加总到前一期。例题3.3：解答10001234501000100010001000关于现金流量时点的说明 现金流量 100元 200元 300元时间（年）0123在求在求现值和终值时，现金流量的时点非常重要。几乎所有这种计算中，都隐含地假设现金流量发生在每期期末。实际上，所有的公式，现值表和终值表中，都假设现金流量发生在期末。除非另有说明，否则假设就包含这个意思。 如假定一个3年期的投资，第1年的现金流量为100元，第2年的现金流量为200元，第3年的现金流量为300元，那么画出时间线，在没有别的信息时，应该如上图。 3.2 均衡现金流量：年金和永续年金 我我们们经经常常遇遇到到的的情情况况是是多多期期现现金金流流量量，而而且且每每一一期期的的金金额额都都一一样样。例例如如，非非常常普普遍遍的的住住房房贷贷款款和和汽汽车车贷贷款款要要求求借借款款人人在在某某段段时时间间，每每期期偿偿还还固固定定的的金金额额，而而且且通通常常是是每个月只付一次。每个月只付一次。3.2.1 年金流量的现值 一般来说，这种在固定期间内，发生在每一般来说，这种在固定期间内，发生在每期期末的一系列固定现金流量叫做年金期期末的一系列固定现金流量叫做年金（annuity）。）。由于年金在期末的现金流量由于年金在期末的现金流量是固定的，所以确定年金的价值时，有简便是固定的，所以确定年金的价值时，有简便的方法的方法 。3.2.1 年金流量的现值 假假设设以以后后三三年年每每年年年年末末收收到到1元元，使使用用10%的的贴贴现现率率，此此现现金金流流量量序序列列现现值值的的计计算算过过程为：程为： 一年后收到一年后收到1元的现值元的现值=0.90909 二年后收到二年后收到1元的现值元的现值=0.82645 三年后收到三年后收到1元的现值元的现值=0.75131 现金流量序列的现值现金流量序列的现值3.2.1 年金流量的现值 用这种方法在期数较少的情况下还不错，用这种方法在期数较少的情况下还不错，但我们经常遇到的情况是期数非常多，但我们经常遇到的情况是期数非常多， 如，典型的住房贷款需要逐月付款如，典型的住房贷款需要逐月付款30年，年，总共付总共付360次。如果我们想要确定这些付款次。如果我们想要确定这些付款的现值，采用简便的方法帮助很大。的现值，采用简便的方法帮助很大。3.2.1 年金流量的现值 既既然然现现金金流流量量都都一一样样，就就可可以以利利用用基基本本现现值等式的一个变化形式。值等式的一个变化形式。 当当报报酬酬率率或或利利率率为为r，持持续续期期为为t，每每期期C元元的年金现值是：的年金现值是： 年金现值年金现值年金现值系数年金现值系数 C后面的系数叫做后面的系数叫做年金现值系数年金现值系数，缩写为，缩写为 年年金金现现值值系系数数看看起起来来复复杂杂，但但注注意意 就就是现值系数，所以是现值系数，所以年金现值系数年金现值系数=（1-现值系数）现值系数）/r分期偿还贷款分期偿还贷款 年金现值概念的一个重要应用就是确定分期年金现值概念的一个重要应用就是确定分期偿还贷款所需的偿付额。在房贷、汽车贷偿还贷款所需的偿付额。在房贷、汽车贷款等商业贷款中分期偿还贷款的情况很普款等商业贷款中分期偿还贷款的情况很普遍，其特点是以等额的方式定期偿还，一遍，其特点是以等额的方式定期偿还，一般是每月、每季、每半年或每年偿还一次，般是每月、每季、每半年或每年偿还一次，因此符合年金现值的定义。我们举例来看因此符合年金现值的定义。我们举例来看一下如何计算。一下如何计算。运用年金现值系数计算分期偿还贷款运用年金现值系数计算分期偿还贷款 假假设设你你以以12%的的利利率率借借入入一一笔笔汽汽车车贷贷款款22000元元，要要在在未未来来的的6年年内内还还清清。每每年年末末等额分期偿还一次，每次偿还额多少？等额分期偿还一次，每次偿还额多少？ 根根据据附附表表，查查贴贴现现率率12%的的6年年期期的的年年金金现现值值系系数数为为4.1114。所所以以根根据据年年金金现现值值计计算算公公式：式： 22000=4.1114C C=5351元元 分期偿还贷款表分期偿还贷款表年末年末分期偿还额分期偿还额（1）年末所欠本金年末所欠本金（2）年息（年息（3）（2）t-1r 支付的本金支付的本金（1）-（3）0123456-5351535153515351535153513210622000192891625312853904447780-2640231519511542108557310106-27113036340038094266477822000例题3.3：求年金现值 假设你的预算是在未来4年每月能支付700元，当前的月利率是1%，如果你想按揭一辆汽车，那么你可以为该汽车向银行申请多少贷款？ 例题3.3：解答26581.8元就是你所能借得到，也能还得起的金额。每年多次计复利情况下年金的现值每年多次计复利情况下年金的现值当年计复利大于当年计复利大于1时，必须按照与终值计算时，必须按照与终值计算公式相同的方式来修订年金现值公式。在公式相同的方式来修订年金现值公式。在每年一次复利时，现值的计算是通过用每年一次复利时，现值的计算是通过用(1+r)t去除未来现金流量，当每年计复利时，去除未来现金流量，当每年计复利时，现值就应该用公式：现值就应该用公式：多次计复利下的汽车贷款偿还多次计复利下的汽车贷款偿还 假假设设上上例例，以以12%的的利利率率借借入入一一笔笔汽汽车车贷贷款款22000元元，要要在在未未来来的的4年年内内还还清清。假假设设每每月等额分期偿还一次，每次偿还额多少？月等额分期偿还一次，每次偿还额多少？ 12%的的年年利利率率每每月月计计息息一一次次，则则月月息息为为1%，共有，共有412=48期期 查现值系数表，得到查现值系数表，得到 PVIF(1%,48)=1/(1+1%)48= 0.7101 多次计复利下的汽车贷款偿还多次计复利下的汽车贷款偿还 根据年金现值系数计算公式，得到：根据年金现值系数计算公式，得到：例题3.4： 求付款期数 你在春节期间因为手头紧张，从信用卡里透支了1200元，每个月你只能付80元，假设信用卡的利率是每月2%，你需要多长时间才能还清这笔1200元的借款呢？ 例题3.4： 我们知道年金C是每月80元，利率r是每月2%，期数未知。现值是1200元（你今天所借的钱）。 查现值系数表，发现2%利率下，第18期对应的系数为0.7。所以需要大约1年半你能还清信用卡的贷款。 例题3.5：求年金的贴现率保险公司提出，只要先一次性支付6710元，那么它就在10年中每年给你1000元。这个10年期的年金所隐含的利率是多少呢？ 例题3.5：解答 本例中，已经知道现值6710元、年金1000元和时间10年，求利率。 查年金现值系数表，第10期这一行，发现8%的年金现值系数为6.7101。因此，保险公司提供的是8%的报酬率。 3.2.2 年金终值 有年金现值系数就有年金终值系数。根据公式：例题3.6：退休金 假定计划每年将2000元存入利率为8%的退休金帐户，那么30年后退休时，将有多少钱呢？ 这里，年数是30年，利率r是8%，可以计算年金终值系数如下：3.2.4 永续年金 已经知道，一系列均衡现金流量被称为年金。年金的一种重要的特例是现金流量无限地持续下去，这种情况叫做永续年金（perpetuity）。 永续年金的现值对上述求年金现值的公式求极限，当t趋向于无穷时，公式可以表达成如下：永续年金优先股 优先股(preferred stock)是永续年金的一个重要例子。当一家公司发行优先股时，承诺就是持续地获得每期（通常是每季）的固定现金股利。这种股利一般是在普通股利之前发放的，所以叫优先股。 例题3.7：优先股股利 假设公司想要以100元发行优先股，已经流通在外的类似优先股的每股价格是40元，每季发放1元的股利。如果公司要发行这支优先股，它必须提供多少股利？ 例题3.7：解答已发行的优先股的现值是40元，现金流是永续的1元，因此根据永续年金现值公式有： 要让现值等于100元，股利就必须为：内含报酬率内含报酬率 投资的内含报酬率（投资的内含报酬率（internal rate of return or yield），），也称内部收益率，是使项目预也称内部收益率，是使项目预期现金流出量的现值等于预期现金流入量期现金流出量的现值等于预期现金流入量现值的贴现率。现值的贴现率。内含报酬率内含报酬率 假假设设第第t期期现现金金流流量量为为At，则则每每年年的的现现金金流流量之和公式为：量之和公式为： 于是于是r就是使得未来现金流量序列就是使得未来现金流量序列(A1, A2,At)的现值等于第的现值等于第0期的初始现金支期的初始现金支出的贴现率。出的贴现率。求内含报酬率求内含报酬率 假假定定一一个个投投资资机机会会，第第0期期需需现现金金支支出出18000元元，且且在在以以后后5年年中中，预预期期每每年年年年末末有有5600元元的的现现金金流流入入量量，请请问问内内部部报报酬酬率率是是多多少少？ 这一问题可以表示为求以下等式的这一问题可以表示为求以下等式的r:求内含报酬率求内含报酬率 该方程与年金现值方程类似，因此求解该该方程与年金现值方程类似，因此求解该方程可以采用插值法。方程可以采用插值法。 首先计算年金现值系数首先计算年金现值系数18000/5600=3.2143 查年金现值系数表，发现该值介于查年金现值系数表，发现该值介于5年期年期16%贴现率下的年金现值贴现率下的年金现值(3.2743)和和5年期年期18%年金现值系数（年金现值系数（3.1271）之间，我们用）之间，我们用插值法来计算报酬率。插值法来计算报酬率。 用插值法计算内含报酬率用插值法计算内含报酬率贴现率贴现率 现值现值16% 1833618% 175122% 824 336/8242%=0.8% 16%+0.8%=16.8% 3.3 复利的影响和实际利率 利率有许多不同的报价方式，不同的利率报价方式有时候是传统习惯，有时候是法律上的规定。其实利率的报价和实际的利率并不一致，这一点需要在此区分。 3.3.1 实际年利率和复利 如果利率是10%，每半年复利一次报价，也就是说，这项投资是每6个月付5%。那么，每半年5%的利率和每年10%的利率是一样的吗？ 我们来看一下。如果在10%的年利率下投资1元，一年后将拥有1.10元。 如果在每6个月5%的利率下投资1元，那么2期（一年）后，终值将是：3.3.1 实际年利率和复利 本例说明，利率为10%，每半年复利一次相当于年利率为10.25%。换句话说，利率10%、每半年计息一次和利率为1025%，每年复利一次的利息是一样的。 只要在1年之内复利，我们就必须关心实际利率。 在本例中，10%叫做设定利率，或公布利率、报价利率，而10.25%叫做实际年利率。要比较不同投资或不同的利率，都要把利率转换成实际利率。 3.3.2 计算和比较实际利率 假设下列3个银行有3种利率报价：A银行：15%，每日复利B银行：15.5%，每季复利C银行：16%，每年复利 假设你正在考虑开一个储蓄帐户，哪一家银行最好？ 3.3.2 计算和比较实际利率C银行提供的16%的年利率，因为一年之中没有复利，所以16%就是实际的年利率。B银行实际上是每季按照0.155/4=3.875%复利一次，4个季度后1元复利就增长到A银行是每天复利，看起来有点离谱，我们来计算一下实际的利率：3.3.2 计算和比较实际利率 比较一下，对于存款人而言，B银行的16.42%的实际利率最高，应该选择B银行开设储蓄账户。本例说明了两点报价利率最高的不一定是最好的；在1年中复利可能导致实际利率和报价利率之间产生差异。 实际利率的计算总结一下，计算实际利率的步骤：首先，将报价利率除以复利次数；然后计算该结过在复利次数下的终值，实际的利率为终值减去1。如果m为一年中的复利次数，则实际利率的计算步骤为：例题3.8 实际利率 某家银行提供12%的利率，每季复利1次，如果你存放100元在这家银行中，1年后你将有多少钱？实际利率是多少？例题3.8：解答 实际上银行提供的利率是每季3%，如果把100元投资4期，那么终值为： 所以实际利率为12.55%。年金和永续年金计算概要一系列相等的现金流量叫做年金(annuity)。符号：年金和永续年金计算概要在每期利率为r下，每期C、持续t期年金的终值：在每期利率为r下，每期C、持续t期年金的现值：每期C的永续年金现值：永续年金(perpetuity)每年都有相同的现金流量，一直持续到永远概要和总结 本章介绍了贴现现金流量的基本概念，我们讨论了很多问题，包括：计算多期现金流量的现值和终值有两种方法，这两种方法都是直接从单一现金流量的分析中拓展出来的；一系列在每期期末支付的固定现金流量叫做普通年金。我们讲述了计算年金现值和年金终值的一些简便方法；利率可以以不同的方式报价。在财务决策中，很重要的是把所有用来比较的利率，先转换成实际利率。 本章总结出来的原则将在后续进一步展开。大部分的投资都是用贴现现金流量方法来分析，它也是评估股票和债券价值的方法。复习思考题如何计算一系列现金流量的现值？如何计算一系列现金流量的终值？在每期贴现率为r下，每期C元的年金现值是多少？终值是多少？什么是永续年金的现值？什么是报价利率，什么是实际利率，两者的区别是什么？