2.4.22.4.2抛物线抛物线的简单的简单几何性质几何性质(2)(2)复习：复习： 1 1、抛物线、抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0xRy 0xR(0,0)x轴轴y轴轴12、通径：、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦半径公式。焦半径公式。 通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。xOyFA补、焦点弦：补、焦点弦：焦点弦公式：焦点弦公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦点弦公式。焦点弦公式。B方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦焦半径半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。例例2、已知过抛物线、已知过抛物线 的焦点的焦点F的的直线交抛物线于直线交抛物线于 两点。两点。 （1） 是否为定值？是否为定值？ 呢？呢？ （2） 是否为定值？是否为定值？ xOyFAB这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.xyOABDFl例例3、过抛物线焦点、过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过点两点，通过点A和抛物线顶点的和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点直线交抛物线的准线于点D，求证：直线求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。xyOFABD变式题（变式题（2001年高考题）年高考题） 设抛物线设抛物线 的焦点为的焦点为F，经过点经过点F的的直线交抛物线于直线交抛物线于A，B两点，点两点，点C在抛物线的准线上，在抛物线的准线上，且且BC|x 轴，证明：直线轴，证明：直线AC经过原点经过原点O。xOABDFly 由此可得由此可得|y1|=|y2|,，即线段即线段AB关于关于x轴对称。轴对称。因为因为x轴垂直于轴垂直于AB，且且 ，例例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。上，求这个三角形的边长。解：如图，设正三角形解：如图，设正三角形OAB的顶点的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则又又|OA|=|OB|，所以所以x12+y12=x22+y22即即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以所以(x1,y1)(x2,y2)例例5.5.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中中点纵坐标的最小值。点纵坐标的最小值。.xoyFABMCND解：1.1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点F F作一直线交抛物线于作一直线交抛物线于P P、Q Q两点，两点，若若PFPF与与FQFQ的长分别是的长分别是 ( )( )(A)2a (B) (C)4a (D)A)2a (B) (C)4a (D)yxF.PQ2.2.已知已知A A、B B是抛物线是抛物线 上两点，上两点，O O为坐标原点，若为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线ABAB的方的方程是：程是：( )( ) ( (A) (B) (C) (D)A) (B) (C) (D)ABOF.yxC CD D