1材材 料料 力力 学学2024年年7月月30日日第九章第九章压压 杆杆 稳稳 定定2第九章第九章 压杆稳定压杆稳定本章内容本章内容:1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施7 纵横弯曲的概念纵横弯曲的概念39. 1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念l 前面各章节讨论了构件的前面各章节讨论了构件的强度强度和和刚度刚度问题。问题。本章讨论受压杆件的本章讨论受压杆件的稳定性稳定性问题。问题。l 稳定性问题的例子稳定性问题的例子平衡形式突然改变平衡形式突然改变丧失稳定性丧失稳定性失稳失稳4平衡形式突然改变平衡形式突然改变丧失稳定性丧失稳定性失稳失稳l 构件的失稳通常突然发生，构件的失稳通常突然发生， 所以，其危害很大。所以，其危害很大。u 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北米的魁北克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。u 脚手架倒塌脚手架倒塌l 平衡的稳平衡的稳定性定性5l 平衡的稳定性平衡的稳定性u 稳定平衡稳定平衡u 不稳定平衡不稳定平衡u 随遇平衡随遇平衡n 压杆的平衡压杆的平衡稳定性稳定性当当 P Pcr 当当 P Pcr 6n 压杆的平衡压杆的平衡稳定性稳定性l 临界压力临界压力 Pcru 当当 P Pcr时，时， 压杆的直线平衡状态是压杆的直线平衡状态是稳定稳定的。的。 u 当当 P Pcr时，时， 直线平衡状态转变为直线平衡状态转变为不稳定不稳定的，的， 受干扰后成为受干扰后成为微弯平衡微弯平衡状态。状态。使直线平衡状态是使直线平衡状态是稳定稳定平衡状态的最大压力，平衡状态的最大压力，也是在也是在微弯平衡微弯平衡状态下的最小压力。状态下的最小压力。当当 P Pcr 当当 P Pcr 79. 2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力l 两端铰支杆受压两端铰支杆受压力力P作用作用l 考察考察微弯微弯平衡状态平衡状态l x处处截面的弯矩截面的弯矩l 挠曲线近似微挠曲线近似微分分I 为截面为截面最小最小的惯性矩的惯性矩方程方程8引入记号引入记号通解为通解为其中，其中，A、B为积分常数，由为积分常数，由边界条件边界条件确定。确定。边界条件为边界条件为:时，时，时，时，将将代入通解代入通解将将代入通解代入通解9边界条件为边界条件为:时，时，时，时，将将代入通解代入通解将将代入通解代入通解因因所以应有所以应有代入代入因为临界压力是因为临界压力是微弯平衡微弯平衡状态下的状态下的最最小小压力，压力，所以，应取所以，应取 n = 1 。10代入代入因为临界压力是因为临界压力是微弯平衡微弯平衡状态下的状态下的最最小小压力，压力，所以，应取所以，应取 n = 1 。这就是两端铰支细长压杆的这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。临界压力公式。 欧拉公式欧拉公式u 当当取取 n = 1 时，由时，由则，挠曲线方程为则，挠曲线方程为11u 当当取取 n = 1 时，由时，由则，挠曲线方程为则，挠曲线方程为其中，其中，A为杆中点的挠度。为杆中点的挠度。A的数值不确定。的数值不确定。l 欧拉公式与精确解曲线欧拉公式与精确解曲线u 精确解曲线精确解曲线u 理想受压直杆理想受压直杆u非理想受压直杆非理想受压直杆时，时，129. 3 其他支座条件下其他支座条件下细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力1 一端固支一端自由的压杆一端固支一端自由的压杆2 一端固支一端滑动固支一端固支一端滑动固支（简称为两端固支）（简称为两端固支）由两端铰支压杆的由两端铰支压杆的临界临界压力公式压力公式132 一端固支一端滑动固支一端固支一端滑动固支（简称为两端固支）（简称为两端固支）拐点处弯矩为零。拐点处弯矩为零。拐点拐点3 一端固支一端铰支一端固支一端铰支由两端铰支压杆的由两端铰支压杆的临界临界压力公式压力公式143 一端固支一端铰支一端固支一端铰支4 欧拉公式的普遍形式欧拉公式的普遍形式 l 相当长度；相当长度； 长度系数。长度系数。拐点拐点由两端铰支压杆的由两端铰支压杆的临界临界压力公式压力公式15表表9.1 压杆的长度系数压杆的长度系数 4 欧拉公式的普遍形式欧拉公式的普遍形式 l 相当长度；相当长度； 长度系数。长度系数。16例例 1(书例书例9.2 )已知已知: 两端固支压杆，两端固支压杆，E, I，l。求求：临界压力。：临界压力。解解：lxl 考察考察微弯微弯平衡状态平衡状态l x 处处截面的弯矩截面的弯矩l 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程l 两端的水平约束力为零两端的水平约束力为零vyxPPmmPM17l 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程xvyxPPmm引入记号引入记号通解为通解为其中，其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。为积分常数，由边界条件确定。18xvyxPPmm通解为通解为其中，其中，A、B为积分常数，由边界条为积分常数，由边界条件确定。件确定。边界条件为边界条件为:时，时，时，时，将边界条件代入通解将边界条件代入通解又又代入代入19通解为通解为边界条件为边界条件为:时，时，时，时，将边界条件代入通解将边界条件代入通解又又代入代入代入代入代入通解代入通解20最小非零解为最小非零解为代入代入219. 4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式1 临界应力临界应力l 临界压力临界压力l 临界应力临界应力将惯性矩写为将惯性矩写为i 惯性半径惯性半径22将惯性矩写为将惯性矩写为i 惯性半径惯性半径l 柔度柔度 (长细比长细比)柔度柔度 是压杆稳定问题中的一个是压杆稳定问题中的一个重要参数重要参数，它全，它全面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。状对临界应力的影响。23l 柔度柔度 (长细比长细比)柔度柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。状对临界应力的影响。则临界应力为则临界应力为 欧拉公式欧拉公式2 欧拉公式的欧拉公式的适用范围适用范围导出欧拉公式用了导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程要求材料满足要求材料满足胡克定律胡克定律242 欧拉公式的欧拉公式的适用范围适用范围导出欧拉公式用了导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程要求材料满足要求材料满足胡克定律胡克定律即：即：记：记：则则欧拉公式欧拉公式成立的条件为：成立的条件为：可以看出：可以看出：1 只与只与材料的性质材料的性质有关。有关。25记：记：则则欧拉公式欧拉公式成立的条件为：成立的条件为：可以看出：可以看出：1 只与只与材料的性质材料的性质有关。有关。u 对对A3钢：钢：E = 206 GPa，p = 200 Mpa 3 直线经验公式直线经验公式对于对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。的情况，欧拉公式不成立。工程上使用工程上使用经验公式经验公式。l 直线经验公式直线经验公式263 直线经验公式直线经验公式对于对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。的情况，欧拉公式不成立。工程上使用工程上使用经验公式经验公式。l 直线经验公式直线经验公式式中式中, a, b是与是与材料有关的常数材料有关的常数(表表9.2, p301)。800.19028.7松木松木701.454332.2铸铁铸铁952.568461优质碳钢优质碳钢s=306MPa1021.12304A3钢钢 s=235MPa1b(MPa)a(MPa)材料材料27l 直线直线经验经验公式公式式中，式中，a, b 是与是与材料性质有关的常数。材料性质有关的常数。l 直线经验公式的适用范围直线经验公式的适用范围用直线经验公式时，应有用直线经验公式时，应有记：记：则则直线经验公式的适用范围直线经验公式的适用范围为：为：l 当当 2 时，就发生时，就发生强度强度失效失效，而不是失稳。，而不是失稳。28记：记：则则直线经验公式的适用范围直线经验公式的适用范围为：为：l 当当 2 时，就发生时，就发生强度强度失效失效，而不是失稳。，而不是失稳。所以应有所以应有:不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公式。可根据式。可根据柔度柔度将压杆分为三类将压杆分为三类(1) 大大柔度杆柔度杆(细长杆细长杆) 1 的压杆的压杆(2) 中中柔度杆柔度杆 2 1 的压杆的压杆4 压杆分类压杆分类294 压杆分类压杆分类不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公式。可根据式。可根据柔度柔度将压杆分为三类将压杆分为三类(1) 大大柔度柔度杆杆(细长杆细长杆) 1 的压杆的压杆(2) 中中柔度柔度杆杆 2 1 的压杆的压杆(3) 小小柔度柔度杆杆(短粗杆短粗杆) 2 的压杆的压杆5 临界应力总图临界应力总图l 临界应力计算的临界应力计算的小结小结u 对对 1 的的大大柔度柔度压杆，临界应力公式为压杆，临界应力公式为305 临界应力总图临界应力总图l 临界应力计算的临界应力计算的小结小结u 对对 1 的的大大柔度柔度压杆，临界应力公式为压杆，临界应力公式为u 1 2 的的中中柔度柔度压杆，临界应力公式为压杆，临界应力公式为u 2 的的小柔度小柔度压杆，临界应力公式为压杆，临界应力公式为l 临界应力总图临界应力总图31l 临界应力总图临界应力总图大大柔度杆柔度杆小柔度杆小柔度杆中中柔柔度度杆杆326 抛物线抛物线经验经验公式公式抛物线抛物线经验经验公式为公式为式中，式中，a1 , b1 是与是与材料性质有关的常数。材料性质有关的常数。l 说明说明 若压杆的局部有若压杆的局部有截面被削弱截面被削弱的情况，则：的情况，则：u 进行进行稳定性稳定性计算时，可忽略若压杆的局部计算时，可忽略若压杆的局部削削弱弱，仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界，仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界应力；应力；u 进行进行强度强度计算时，应按削弱后的面积计算。计算时，应按削弱后的面积计算。339. 5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核l 工作安全系数工作安全系数l 稳定安全系数稳定安全系数l 稳定校核稳定校核满足稳定性要求时，应有满足稳定性要求时，应有:l 稳定安全系数与强度安全系数的取值稳定安全系数与强度安全系数的取值u强度安全系数取值强度安全系数取值 1.2 2.5，有时可达，有时可达 3.5；u稳定安全系数取值稳定安全系数取值 2 5，有时可达，有时可达 8 10。34l 压杆稳定问题的解题步骤压杆稳定问题的解题步骤1 稳定校核稳定校核问题问题1) 计算计算 1 ， 2， ；2) 确定属于哪一种杆确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度，大柔度，中柔度，小柔度小柔度) ；3) 根据杆的类型求出根据杆的类型求出 cr 和和 Pcr ;4) 计算杆所受到的实际压力计算杆所受到的实际压力 P；5) 校核校核 n = Pcr /P nst 是否成立。是否成立。l 稳定安全系数与强度安全系数的取值稳定安全系数与强度安全系数的取值u强度安全系数取值强度安全系数取值 1.2 2.5，有时可达，有时可达 3.5；u稳定安全系数取值稳定安全系数取值 2 5，有时可达，有时可达 8 10。351 稳定校核稳定校核问题问题1) 计算计算 1 ， 2， ；2) 确定属于哪一种杆确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆，大柔度杆，中柔度杆，小柔度杆小柔度杆) ；3) 根据杆的类型求出根据杆的类型求出 cr 和和 Pcr ;4) 计算杆所受到的实际压力计算杆所受到的实际压力 P；5) 校核校核 n = Pcr /P nst 是否成立。是否成立。2 确定许可载荷确定许可载荷前前3步同步同稳定校核稳定校核问题；问题；4) P Pcr / nst 。362 确定许可载荷确定许可载荷前前3步同步同稳定校核稳定校核问题；问题；4) P Pcr / nst 。3 截面设计截面设计问题问题1) 计算实际压力计算实际压力 P ；2) 求出求出 Pcr： Pcr = nst P；3) 先假设为先假设为大柔度杆大柔度杆，由欧拉公式求出，由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径进一步求出直径 d (若为圆截面杆若为圆截面杆) ;4) 计算计算 1 和和 ；5) 检验检验 1 是否成立。若成立，则是否成立。若成立，则结束结束;373) 先假设为先假设为大柔度杆大柔度杆，由欧拉公式求出，由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径进一步求出直径 d (若为圆截面杆若为圆截面杆) ;4) 计算计算 1 和和 ；5) 检验检验 1 是否成立。若成立，则是否成立。若成立，则结束结束;6) 若若 1 不不成立，则成立，则设为设为中柔度杆中柔度杆，按经，按经验公式求出验公式求出 ;7) 计算计算 2 ；8) 检验检验 2 是否成立。是否成立。9) 若若 2 成立，则由成立，则由 求出惯性半径求出惯性半径 i , 再求出直径再求出直径 d (若为圆截面杆若为圆截面杆)，结束。，结束。38例例 1(书例书例.4 )已知已知: 空气压缩机的活塞杆由空气压缩机的活塞杆由45钢制成，钢制成，s = 350 Mpa , p = 280 MPa, E=210GPa。长度长度l = 703 mm, 直径直径d = 45 mm。最大压力。最大压力 Pmax=41.6kN。 稳定安全系数为稳定安全系数为 nst = 810。要求要求： 试校核其稳定性。试校核其稳定性。解解：1 求求 1 2 求求 u 活塞杆可简化为两端铰支杆活塞杆可简化为两端铰支杆391 求求 1 2 求求 u 活塞杆可简化为两端铰支杆活塞杆可简化为两端铰支杆u 惯性半径惯性半径对圆轴对圆轴u 柔度柔度 401 求求 1 2 求求 u 柔度柔度 因为因为，所以不是大柔度杆。，所以不是大柔度杆。3 求求 2 采用直线经验公式。采用直线经验公式。 由表由表14.2 查得查得(45钢属优质碳钢钢属优质碳钢)：所以，是中柔度杆。所以，是中柔度杆。413 求求 2 采用直线经验公式。采用直线经验公式。 所以，是中柔度杆。所以，是中柔度杆。4 求求临界应力临界应力 采用直线经验公式。采用直线经验公式。 5 求求临界压力临界压力 6 稳定校核稳定校核 满足稳定要求。满足稳定要求。 42例例 2(书例书例9.5 )已知已知: 活塞直径活塞直径D= 65 mm，p= 求求： 活塞杆直径活塞杆直径d 。解解：这是截面设计问题。这是截面设计问题。l 临界压力的最大值为临界压力的最大值为l 先假设为大柔度杆先假设为大柔度杆Pp p1.2MPa, l=1250mm, 45钢，钢，p = 220MPa, E= 210GPa, nst = 6。l 活塞杆所受压力活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力用欧拉公式计算临界压力43解解：这是截面设这是截面设计问题。计问题。l 临界压力的最大值为临界压力的最大值为l 先假设为大柔度杆先假设为大柔度杆Pp pl 活塞杆所受压力活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力用欧拉公式计算临界压力u 活塞杆可简化为两端铰支杆活塞杆可简化为两端铰支杆取取44u 活塞杆可简化为两端铰支杆活塞杆可简化为两端铰支杆取取u 根据求出的根据求出的d计算柔度计算柔度u 计算计算 1 因为因为，是大柔度杆。，是大柔度杆。 以上计算正确。以上计算正确。459. 6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1 选择合理的截面形状选择合理的截面形状截面的惯性矩截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径越大，或惯性半径 i 越大越大,就越不容易失稳，即稳定性越好。就越不容易失稳，即稳定性越好。所以，应选择合理的截面形状，使得所以，应选择合理的截面形状，使得:l 在截面积相等的情况下，使在截面积相等的情况下，使 I 或或 i 较大较大46l 各纵向平面内的约束情况各纵向平面内的约束情况相同相同时时应使对各形心轴的应使对各形心轴的 I 或或 i 接近相等。接近相等。l 两纵向对称平面内的约束情况两纵向对称平面内的约束情况不相同不相同时时应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等.所以，应选择合理的截面形状，使得所以，应选择合理的截面形状，使得:l 在截面积相等的情况下，使在截面积相等的情况下，使 I 或或 i 较大较大47l 两纵向对称平面内的约束情况两纵向对称平面内的约束情况不相同不相同时时应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等.482 改变压杆的约束条件改变压杆的约束条件l 约束越强，越不容易失稳约束越强，越不容易失稳493 合理选择材料合理选择材料Es ss但但优质钢优质钢与与普通钢普通钢的的E差别不大。差别不大。l 对大柔度杆对大柔度杆选用选用E大的材大的材料，可提高临料，可提高临界压力值。界压力值。钢钢压杆比压杆比铜铜、铸铁铸铁或或铝铝压杆压杆的临界压力大。的临界压力大。l 对中柔度杆对中柔度杆提高提高 s ss 可提高临界压力值。可提高临界压力值。