v1全集v一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为 ，用字母 表示v2补集v如果A是全集U的一个子集，由U中的所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作UA.用描述法表示为，用Venn图表示为v全集Ux|xU且xAv3(1)如果Sx|x是小于9的正整数，A1,2,3，B3,4,5,6，那么SA ，SB v(2)如果全集UN，那么N*的补集UN* v4用适当的集合填空：4,5,6,7,81,2,7,80v5已知U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，则UAv，AUA ，AUA .v6已知Ux|x是实数，Qx|x是有理数，则UQ v7已知UR，Ax|x15，则UA 2,4,6Ux|x是无理数x|x15v8已知全集U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,3,4，则U(AB)v()vA2,3B1,4,5vC4,5 D1,5v答案Bv解析AB2,3，vU(AB)1,4,5v9(09浙江理)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUBv()vAx|0x1 Bx|0x1vCx|x1v答案Bv解 析 B x|x1， UBx|x1，vAUBx|x0x|x1x|0x1v故选B.v本节重点：补集的概念v本节难点：交、并、补的运算性质v1学习补集的概念首先要理解全集的相对性如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到全体实数范围内时，则R为全集，这时Z就不是全集v2求一个集合的补集前必须明确全集，同一个集合在不同的全集中的补集是不相同的v3UA表示U为全集时，A的补集，如果全集换成其它集合(如R)时，则记号中“U”也必须换成相应的集合(即RA)v补集符号UA有三层含义：v(1)A是U的一个子集，即AU；v(2)UA表示一个集合，且UAU；v(3)UA是由U中所有不属于A的元素组成的集 合 ， 即 UA x|xU， 且 xA， 故AUAU.v 例1在下列各组集合中，U为全集，A为U的子集，求UA.v(1)已知全集Ux|x是至少有一组对边平行的四边形，Ax|x是平行四边形v(2)UR，Ax|1x2；v(3)UZ，Ax|x3k，kZv分析(1)至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形，即平行四边形和梯形，可由此入手解题v(2)因为实数与数轴上的点一一对应，则在数轴上分析A及UA，一目了然，如下图所示v(3)整数按除以3的余数可分成三类：被3整除的数x3k，kZ；被3除余1的数x3k1，kZ；被3除余2的数x3k1，kZ.v解析(1)UAx|x是梯形；v(2)如上图所示，UAx|x1，或x2；v(3)UAx|x3k1，kZv总结评述：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所有不属于A的元素组成的集合v(2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界点的取值，如本题中UA中含有2，不含1.v(3)求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元素，找出其联系与差异，然后准确写出补集v已知全集UZ，A1,0,1,2，Bx|x2x，则AUB为v()vA1,2B1,0vC0,1 D1,2v答案Av解析由B0,1得，UBx|xZ且x0,1，AUB1,2，故选A.v例2设全集U，已知集合M、P、S之间满足关系：MUP，PUS，则集合M与S之间的正确关系是v()vAMUSBMSvCSM DMSv分析研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致解题的失误v解析由图形可得正确选项为B.v总结评述：1.由于本题涉及的图形情况比较简单，运用图示方法求解并未体现出有多大的优越性，但若是遇到较复杂的情况且涉及多个集合时，集合Venn图将以其直观明了的特点为你的解题提供一个快捷方式另外，运用图示方法或补集的定义，我们能够很快得出结论：U(UA)A，在本题中直接运用这一结论，则问题立即可解v2也可以用语言描述，补集关系是相互的，A是B的补集，则B是A的补集，本题中M与P互补，P与S互补，从而MS.v如图，I是全集，M、P、S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是()vA(MP)S vB(MP)SvC(MP)(IS) vD(MP)(IS)v答案Cv解析由图可见阴影部分所表示的集合在MP中，同时又在S的补集IS中，故(MP)(IS)为所求，故选C.v例3已知Ax|x3，Bx|xav(1)若AB，问RBRA是否成立？v(2)若RARB，求a的取值范围v解析(1)AB，如图(1)va3， 而 RB x|xa， RAx|x3vRBRA.即RBRA成立v(2)如图(2)，vRAx|x3，RBx|xavRARB，a3.v故所求a的取值范围为a|a3v总结评述：解决这类问题一要注意数形结合，以形定数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误，不然功亏一篑v已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，则实数a_.v答案2v解析由PUPU知，v“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求UA，再由U(UA)A求A.v补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现v例4已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围v分析集合A是由方程x24mx2m60的实根组成的集合，AB说明方程的根可能为：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况，分别求解十分麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，先由0求出全集U，然后求方程两根均为非负时m的取值范围，最后再利用“补集”求解v总结评述：本题运用的“正难则反”解题策略，正是运用了“补集思想”对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易，化隐为显的作用，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现v例5已知集合UxR|1x7，vAxR|2x5，BxR|3x7，求v(1)(UA)(UB)；v(2)U(AB)；v(3)(UA)(UB)；v(4)U(AB)v*(5)观察上述结果你能得出什么结论v分析利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常用的方法本题可先在数轴上画出集合U、A、B，然后求出AB，AB，UA，UB，就能逐一写出各小题的结果v解析利用数轴工具，画出集合U、A、B的示意图，如下图所示v可以得到，ABxR|3x5vABxR|2x7，vUA xR|1 x 2或 5x7， UBxR|1x3或x7v从而可求得v(1)(UA)(UB)xR|1x27v(2)U(AB)xR|1x27v(3)(UA)(UB) xR|1x3或 5x7v(4)U(AB)xR|1x3或5x7v(5)认真观察不难发现：vU(AB)(UA)(UB)；vU(AB)(UA)(UB)v总结评述：上述发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？如图vU(AB)(UA)(UB)v对于U(AB)(UA)(UB)可由读者仿照上面来证明v设U1,2,3,4,5,6,7,8，A3,4,5，B4,7,8， 求 UA， UB， (UA)(UB)， (UA)(UB)v解析UA1,2,6,7,8，vUB1,2,3,5,6，v(UA)(UB)1,2,6，v(UA)(UB)1,2,3,5,6,7,8v例6 已知全集U1,2,3,4,5，Ax|x25xq0，AU，求UA及q的值v错解当q0时，x25xq0的根为x5，x0，5U，此时A5，UA1,2,3,4v当q0时，由韦达定理知方程x25xq0的根在1、2、3、4、5中取时，只可能是3或2,1或4，因此vq6时，A2,3，UA1,4,5vq4时，A1,4，UA2,3,5v所以q0时，UA1,2,3,4，vq4时，UA2,3,5，vq6时，UA1,4,5v辨析错解中没有注意到AU，当q0时，A0,5U，另外，当A时，UAU，此时方程x25xq0无实数解v正解若A，则UAU，此时方程x25xq0无实数解所以0，即254q0，qv若A，由于方程x25xq0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A1,4或2,3v当A1,4时，UA2,3,5，q4；v当A2,3时，UA1,4,5，q6.v点评本题易错点：(一)忽略AU，求出q的值后不验证AU是否成立；(二)不考察A的情形v一、选择题v1 已 知 全 集 U 1,2,3,4,5， A2,3,4，B1,2，则AUBv()vA2B5vC3,4 D2,3,4,5v答案Cv解 析 AUB 2,3,43,4,53,4v2 (2010吉 林 市 质 检 )设 集 合 U1,2,3,4,5，A1,3，B5,3,4，则U(AB)v()vA1 B4,5vC2,4 D1,2,4,5v答案Dv解析AB3，vU(AB)1,2,4,5v3给出下列命题：v设全集UR，A正数，则UA负数；v设全集SN，AN*，则SA0；v设全集U三角形，集合A锐角三角形，则UA钝角三角形；v设集合M，N都是全集U的非空子集，若UMN，则必有MUN.v其中正确命题的个数为()vA1 B2vC3 D4v答案Av解析中UA非正实数；中正确的表示应该是SA0；三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三类，是错误的；利用图形分析不难知道若UMN，则必有MUN，是正确的，故正确的个数为1，选A.v4(09北京文)设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合SP|PD，|PP0|PPi|，i1,2,3，则集合S表示的平面区域是v()vA三角形区域 B四边形区域vC五边形区域 D六边形区域v答案Dv解析如图，到P0与Pi距离相等的点均在P0Pi的垂直平分线上满足条件|PP0|PPi|的点在靠近P0的一侧所以由图知为六边形区域选D.v二、填空题v5已知全集S(x，y)|xR，yR，A(x，y)|x2y20，用列举法表示集合SA是_v答案SA(x，y)|x2y20(0,0)