第五节第五节 定积分定积分本节要点本节要点 本节通过对具体问题的分析本节通过对具体问题的分析, 引出了定积分的定义引出了定积分的定义,一、定积分的引入一、定积分的引入二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的性质三、定积分的性质并导出了定积分中的若干重要性质并导出了定积分中的若干重要性质.一、定积分的引入一、定积分的引入 定积分问题举例定积分问题举例 1.曲边梯形面积曲边梯形面积 设设 在区间上非负、连续在区间上非负、连续围成的区域围成的区域. 是由直线及曲线是由直线及曲线所所这样的区域称为这样的区域称为曲边梯形曲边梯形. 为计算该图形的面积为计算该图形的面积, 在区间在区间 中插入中插入 个分点个分点相应的长度依次为相应的长度依次为及及从而把区间从而把区间 分成分成 个小区间个小区间围成的小曲边梯形围成的小曲边梯形的面积的近似值为的面积的近似值为由由其中其中 为区间为区间中的任意点中的任意点. 由此由此, 以以 个小矩形的面积的和作个小矩形的面积的和作为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值, 则有则有 当区间划分更细当区间划分更细, 则曲边梯形面积的计算会更精确则曲边梯形面积的计算会更精确.记记则得面积为则得面积为 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 我们知道我们知道, 在匀速直线运动中在匀速直线运动中, 路程为路程为路程路程=速度速度时间时间. 设设某某物体作直线运动物体作直线运动, 已知速度已知速度 是时间间隔是时间间隔上上 的连续函数的连续函数, 且且 计算在这段时间内计算在这段时间内而而对于非匀速直线运动中对于非匀速直线运动中, 我们将时间区间分割成若干我们将时间区间分割成若干物体所走过的路程物体所走过的路程.个小区间个小区间, 即在区间即在区间 中插入分点中插入分点各小段的各小段的长度依次为长度依次为在各在各小段上物体走完的路程分别为小段上物体走完的路程分别为在每在每一个小区间一个小区间 上上, 物体走过的路程近似为物体走过的路程近似为从而把从而把 分成分成 个小段个小段记记 则则其中其中 故物体在时间区间故物体在时间区间 走完的路走完的路程近似值为程近似值为 在上面的两个问题中在上面的两个问题中, 我们发现我们所讨论的问题我们发现我们所讨论的问题,抽去问题的实际背景抽去问题的实际背景, 由此引入定积分的定义由此引入定积分的定义.二、定积分的定义二、定积分的定义最终都归结为一个极限形式最终都归结为一个极限形式各各小区间的长度依次为小区间的长度依次为定义定义 设函数设函数 在在 上有界上有界, 在在 中任意插入中任意插入从而把区间从而把区间 分成分成 个小区间个小区间作函数值作函数值 与小区间长度与小区间长度 的乘积的乘积, 并作和并作和在在每个小区间每个小区间 上任取一点上任取一点分点分点其中其中 称为称为被积函数被积函数, 当当 时时, 和和 总趋向于确定的极限总趋向于确定的极限 , 此时即称此此时即称此记记 如果无论对如果无论对 怎样怎样分法分法, 也不论在小区间也不论在小区间 上点上点 怎样取法怎样取法, 只要只要极限为函数极限为函数 在在 上的上的定积分定积分, 记作记作即即:称为称为被积表达式被积表达式,可积可积, 记为记为叫做叫做积分变量积分变量, 叫做叫做积分下限积分下限, 叫做叫做积分上限积分上限.注注1 若积分存在时若积分存在时, 该积分与积分变量的名称无关该积分与积分变量的名称无关.注注2 和和 称为称为 的积分和的积分和. 如果如果 在在 上的定积分存在上的定积分存在, 则称则称 在在 上上即即:定理定理1 若若定理定理2 若若 且且只有有限个间断点只有有限个间断点,则则若若 且且 则由则由 上函数上函数的定积分的定积分在几何上表示由直线在几何上表示由直线 及曲线及曲线注注3所围成的曲边梯形面积所围成的曲边梯形面积 在几何上表示由直线在几何上表示由直线 若若 且且 则由则由 上函数上函数的定积分的定积分所围成的曲边梯形面积所围成的曲边梯形面积 的相反数的相反数.及曲线及曲线 更一般地更一般地, 若若的是的是由由 及及 所围成的在所围成的在的上方部分的面积与在的上方部分的面积与在 下方部分的面积之差下方部分的面积之差.则积分则积分表示表示 而变速直线运动中的路程为而变速直线运动中的路程为例例1 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分解解 因因 由定理由定理1知积分知积分 存存在在. 又由于积分与区间的分法、点的取法无关又由于积分与区间的分法、点的取法无关, 为了便为了便于计算于计算, 将区间将区间 等分等分, 分点为分点为点点 小区间长度为小区间长度为相应的积分和为相应的积分和为当当 即即 取上式右端的极限取上式右端的极限, 由定积分的由定积分的定义定义, 即得到所要的定积分为即得到所要的定积分为:注注: 和式和式可用归纳法证明可用归纳法证明.证明证明等式成立等式成立.假定假定等式成立等式成立,对对 为以后讨论的方便为以后讨论的方便, 约定约定:当当 时时当当 时时,三、定积分的性质三、定积分的性质 在以下的讨论中在以下的讨论中, 所有的函数均为可积函数所有的函数均为可积函数.性质性质1 证证 函数函数 的积分和为的积分和为再由极限的运算法则再由极限的运算法则, 得得 特殊地特殊地, 当上面的运算为和时当上面的运算为和时, 则相应的积分简单地则相应的积分简单地可以称为可以称为“和的积分等于积分的和和的积分等于积分的和”.性质性质2 证证 同样地同样地, 函数函数 积分和为积分和为 再由再由 极限的运算法则得极限的运算法则得性质性质3 设设 则则划分划分, 积分和总是不变的积分和总是不变的, 因而在分区间时因而在分区间时, 可以使可以使证证 因因 在区间在区间 上可积上可积, 所以无论把所以无论把 怎样怎样成为一个分点成为一个分点, 那么那么 上的积分和等于上的积分和等于 上的积上的积分和加分和加 上的积分和上的积分和, 记为记为令令 两边取极限两边取极限, 得得此此性质表明定积分对于区间具有性质表明定积分对于区间具有可加性可加性.值得注意的是值得注意的是, 此性质对任意的此性质对任意的 都是成立的都是成立的. 即即上式中上式中只要在最大的一个区间上积分存在即可只要在最大的一个区间上积分存在即可.性质性质3的几何意义是的几何意义是:注注 此性质的几何意义是相当明显的此性质的几何意义是相当明显的.性质性质4 如果在区间如果在区间 , 则则证证 因因令令 由极限的保号性由极限的保号性,性质性质5 如果在如果在 上上 且函数且函数 可积可积, 则则因此因此又因又因即得即得推论推论2 推论推论1 如果在区间如果在区间 上上, 恒有恒有 则则例例2 比较积分值比较积分值 与与 的大小的大小.解解 因在区间因在区间 中中, 有有 所以所以性质性质6 设设 及及 分别是分别是 在在 上上的的最大值和最最大值和最小值小值, 则则由由性质性质6可以估计积分的大致范围可以估计积分的大致范围. 例如例如, 积分积分被积函数被积函数 在积分区间上单调增加在积分区间上单调增加, 最小值及最小值及故由故由性质性质6, 得得最大值分别为最大值分别为即即:例例3 估计积分值估计积分值解解 令令 则则从而有从而有即有即有证证 在性质在性质6中的不等式的两边均除以中的不等式的两边均除以 得得此式此式说明数值说明数值 介于函数介于函数 的最大的最大续续, 则在区间则在区间 上至少存在点上至少存在点 使得下式成立使得下式成立:性质性质7（定积分中值定理）（定积分中值定理） 如果函数如果函数 在在 上连上连值和最小值之间值和最小值之间, 由闭区间连续函数的介值定理由闭区间连续函数的介值定理, 在在两端同乘两端同乘 即有即有 上存在点上存在点 , 使得使得积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释:由积分中值公式得由积分中值公式得称其为函数称其为函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值.