柯西（柯西（Cauchy），法国人，生于），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出年，是十九世纪前半叶最杰出的数学家的数学家 不等式的证明不等式的证明不等式的证明:一.比较法:(1)差比法:要证ab, 只须证 a-b0.(2)商比法:要证ab,b0,只须证 a/b1.步骤:作差 变形 判断差式的正负 作商 变形 判断商式与1的大小.注意:差比法变形主要是分解多个因式的积(商)或多个式子的平方和,必须分解彻底.商比法变形主要是通过适当放大或适当缩小从而利用不等式的传递性判断与1的大小.处理绝对值:(*)由定义讨论去掉绝对值符号,(*)利用平方去掉绝对值符号.绝对值小于1的数的集合为S，在S中定义一种运算*，使得，求证：如a,b则a*b 00二二.综合法综合法:利用某些已经证明利用某些已经证明过的不等式作为基础过的不等式作为基础,再运用不再运用不等式的性质推导出所要求的不等式的性质推导出所要求的不等式等式.这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法. 即即:由因导果由因导果.以下以下a,b,c均为正数，证下列不等式。均为正数，证下列不等式。 1.a+b=1,a,b是正数，求是正数，求 的最大值的最大值 三三.分析法分析法:从证的不等式出发从证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分分析使这个不等式成立的充分条件条件,把证明这个不等式的问把证明这个不等式的问题转化这些条件具备的问题题转化这些条件具备的问题.如果能肯定这些条件都具备如果能肯定这些条件都具备,那么就可以判定所证的不等式那么就可以判定所证的不等式成立成立.这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析分析法法. 即即:执果索因执果索因.若若a a、b b、c c是不全相等得正数是不全相等得正数求证：求证：lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgclga+lgb+lgc 已知已知a ab b 0 0，求证求证证明：证明：|f(a)-f(b)|a-b|四、四、换元法换元法:通过换元减少变量通过换元减少变量从而繁化简从而繁化简.如如:三角代换三角代换.设实数设实数x,y,m,n满足满足x2+y2=3,m2+n2=1,求求mx+ny的最大值的最大值_五五.判别式法判别式法:它是利用二次方程是否有解它是利用二次方程是否有解条件的知识条件的知识.六六.放缩法放缩法:就是利用不等式的传递性把其就是利用不等式的传递性把其一边适当增大或缩小一边适当增大或缩小七七.利用单调性法利用单调性法:构造一个单调函数构造一个单调函数,而不而不等式的两端恰好是这个函等式的两端恰好是这个函 数的两个函数值数的两个函数值.(构造函数的思想构造函数的思想)证明：若若a,b,c,dR+,lg9.lg11_1f(x)=x2-x+m, |x-m|1,证证:|f(x)-f(m)|2(|m|+1)证明不等式证明不等式: 设a、b、cR,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)0, 并指出等号何时成立 八八.反证法反证法:转化为证原命题的逆转化为证原命题的逆否命题是否成立否命题是否成立.步骤步骤:(1)假设结论不成立假设结论不成立; (2)利用它推出与已知利用它推出与已知,公公理理 矛盾矛盾; (3)产生矛盾是因为假设产生矛盾是因为假设,故故假设不成立假设不成立,从而原命题成立从而原命题成立.设设a,b,c（0，1），求证），求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同不可能同时大于时大于1/4说明说明:哪一种方法都不是万能的,要根据具体情况灵活运用.