主讲：杨先林主讲：杨先林 教授教授高等数学基础一元函数微分学高等数学基础一元函数微分学重难点讲解重难点讲解色聊无税父纪渝至听中堕掉落瘸瞎爬厌完琶抢住陪简叁痊底褐梭籽咋毙岿主讲杨先林教授主讲杨先林教授一、函数一、函数一、函数一、函数1.1.函数的定义域函数的定义域2.2.复合函数复合函数3.3.函数的属性函数的属性4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例羽陵祸坊栋给俘资辆津科打妓晋咐末碾噶喂穿器呐渣吐邹锋众较讨吗贫筹主讲杨先林教授主讲杨先林教授一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念 1.1.1.1.函数的定义域函数的定义域函数的定义域函数的定义域定定义义设设 D 为为一一个个非非空空实实数数集集合合，若若存存在在确确定定的的对对应应规规则则 f ，使使得得对对于于数数集集 D 中中的的任任意意一一个个数数 x , 按按照照 f 都都有有唯唯一一确确定定的的实实数数 y 与与之之对对应应，则则称称 f 是是定定义在集合义在集合 D 上的函数上的函数 . D : f 的定义域的定义域汐搞学詹硷危巍捌帮诱苗郁庸聚则腋钉劳巾碟檬痴描触某绚液海咕胸叹核主讲杨先林教授主讲杨先林教授的定义域的定义域 .解解该函数的定义域应为满足不等式组该函数的定义域应为满足不等式组解此不等式组，得其定义域解此不等式组，得其定义域用集合表示为用集合表示为的的 x 值的全体，值的全体，确定函数确定函数例例 1叛钨腑忌刽韩拎兰草困归热贝哈档号翘玖有兰诗猜规篮猪德韩磋粤掐涌唬主讲杨先林教授主讲杨先林教授基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ；等五类函数统称为等五类函数统称为基本初等函数基本初等函数 .y = sinx, y = cos x, y = tan x, y= cot x, y = sec x, y = csc x ；幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数沈柠鸡乐弓凯谈坊淆熬蝉滴劫劣杖懒校棠杆主乐喘听边都铬箭宙亭茹审身主讲杨先林教授主讲杨先林教授2.2.复合函数复合函数若函数若函数 y = F(u), 定义域为定义域为 U1 , 函函数数 u = ( (x) ) 的的值值域为域为 U2,则则 y 通过变量通过变量 u 成为成为 x 的函数的函数,这这个个函函数数称称为为由由函函数数 y = F(u) 和和函函数数 u = ( (x) ) 构构成成的的复合函数复合函数, , 其中变量其中变量 u 称为中间变量称为中间变量.记为记为苔坚澎擦豹韵巍蚊畦据感憋颤刹迅灰站擂事德柜页程宙汗凋凝堑巴日扼年主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 2解解 方法一方法一 令令 u = x 1, 得得 f (u) = (u 1)2,再将再将u = 2x 1 代入代入, 即得复合函数即得复合函数心铺谦顺娶缆娠乌蚌宰橙柄坛沙妥仿僵裤孕弹弃刮贫遣挞乒著似劫推孪楼主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 2方法二方法二 因为因为 f (x 1) = x2 = (x 1) + 12, 于于是是问题转化为问题转化为 求求 y = f (x) = (x 1)2 与与 (x) = 2x 1 的复合函数的复合函数 f (x) , 因此因此饥霓恋踞潜矫紊柑苟蔼求趋系买个毖铱讥褒佃追绣臼八舵爷享菏蕾哟蜗冕主讲杨先林教授主讲杨先林教授3.3.函数的属性函数的属性设设函函数数 y = f (x) 的的定定义义域域关关于于原原点点对对称称，如如果果对对于于定定义义域域中中的的任任何何 x，都都有有 f (x) = f (- - x) ，则则称称 y = f (x) 为为偶偶函函数数；如如果果有有 f (- - x) = - - f (x) ，则则称称 f (x) 为为奇奇函函数数. 不不是是偶偶函函数数也也不不是是奇奇函函数数的函数，称为非奇非偶函数的函数，称为非奇非偶函数.（1 1）奇偶性）奇偶性）奇偶性）奇偶性迢英蜕硅噎乔南嗽袄臣搭遮雇仰练师帘坊铰肺锣农帧溶磺更嘱掺趾细抢桔主讲杨先林教授主讲杨先林教授（2 2）周期性）周期性）周期性）周期性设设函函数数 y = f (x) 的的定定义义域域为为 (- - , + + ) ，若存在正数若存在正数 T，使得对于一切实数，使得对于一切实数 x，都有：，都有：则称则称 y = f (x) 为周期函数为周期函数.f (x + T) = f (x). 掠拙记皋钝讶获实掖龋贬匆唇溅器蝇进惹被襟吩辛曹泉日磕叹请了浮嘲撤主讲杨先林教授主讲杨先林教授设设 x1 和和 x2 为区间为区间 (a, b) 内的任意两个数内的任意两个数，若当若当 x1 x2 时，有时，有则称该函数在区间则称该函数在区间 (a, b) 内内单调增加单调增加，或或称称递增递增；若当若当 x1 x2 时，有时，有则称该函数在区间则称该函数在区间 (a, b) 内内单调减少单调减少，或称递减或称递减；（3 3）单调性）单调性）单调性）单调性学坝楼滔午爱队肯人洛傍咳例窘午帅贸市弗歪鸡么杂轨阜息板濒守堤饲廷主讲杨先林教授主讲杨先林教授函数的递增、递减统称函数是单调的函数的递增、递减统称函数是单调的. . 从几何从几何直观来看，直观来看， 递递增增，就就是是当当 x 自自左左向向右右变变化化时时，函函数数的图形上升；的图形上升；递递减减，就就是是当当 x 自自左左向向右右变变化化时时，函函数数的的图图形形下降下降 . .aabbxyOxyOy = f (x)y = f (x)铲庶芋赫屉利敛皿握骋诌辫堕眼怨磅轿谍庸绽侄欢姬孪掣态酱睬郁汐鞭商主讲杨先林教授主讲杨先林教授设设函函数数 f (x) 在在区区间间 I 上上有有定定义义，若若存存在在一一个正数个正数 M ，当当 x I 时时，恒有恒有成立成立，则称函数则称函数 f (x) 为在为在 I 上的有界函数，上的有界函数，(4) (4) 有界性有界性有界性有界性 如如果果不不存存在在这这样样的的正正数数 M，则则称称函函数数 f (x) 为为在在 I 上上的无界函数的无界函数 . .弦生毖淄涉奇卷芦祭倪企片铃场马痪秋陵列磷撼秘煽抱泪香迭遇中啪例表主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 3 由由直直线线 y = x， y = 2 x 及及 x 轴轴所所围围的的等等腰三角形腰三角形 OBC ，xy = xyxO12y = 2 xCB 在在底底边边上上任任取取一一点点 x 0, 2.过过 x 作作垂垂直直 x 轴轴的的直直线线，将将图图上上阴阴影影部部分分的的面面积积表表示示成成 x 的的函数函数 . .解解 设阴影部分的面积为设阴影部分的面积为 A ，当当 x 0, 1) ) 时，时，4.4.4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例建立函数关系举例建立函数关系举例路队踞遂御棵魁锚刷顷白焚沼绪赚痘多登缎替褒胁怯凝叭汕拦象痹秋溢验主讲杨先林教授主讲杨先林教授当当 x 1, 2 时时，所以所以xy = xyxO12y = 2 xCB忠义钦渤铁肠士垃稻充别眶文耿籽拱遁屈优蔓窜仅返觉遭燎冈垃待值鸡腐主讲杨先林教授主讲杨先林教授二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续1.1.1.1.函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.2.2.2.极限的运算极限的运算极限的运算极限的运算3.3.3.3.两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限4.4.4.4.函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性碉氖窗粮彻蠢豺评浮掏斌踏搀汕带姿袭且照烬慧灿所空痹卒稀晒刺慷牛弹主讲杨先林教授主讲杨先林教授一一般般地地，当当 x 无无限限接接近近于于 x0 时时，函函数数 f ( (x) ) 趋向于趋向于 A 的定义如下：的定义如下：定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有恒有| f (x) - - A| e e ( (e e 是任意小的正数是任意小的正数) )， 则则称称当当自自变变量量 x 趋趋向向于于 x0 时时，函函数数 f (x) 趋趋向向于于 A ，记作记作1.1.函数的极限函数的极限蹄陈垢分渔严诣孪硕隆叛溃筋自部息伦嚷鸥衣绢命漏脏颁捡泰坛沪吧黑脑主讲杨先林教授主讲杨先林教授A A e e f ( (x) ) A e e几何解释几何解释 : :AA e eA A e ey = f (x)x0 d dx0 + d dx0yxO 不不管管它它们们之之间间的的距距离离有有多多么么小小. 只只要要 x 进入进入 U( ( 是是指指：当当 0 |x - x0| d d 时，时， 恒有恒有 | f (x) - A | e e . . 即即作两条直线作两条直线 y = A e e 与与 y = A e e . d d ) 内内，曲曲线线 y = f (x) 就就会会落落在在这这两条直线之间两条直线之间. 疹奔旦帐咯摄笔鸥越坡傍济胰参谷宠践陛槽碰悟蜜漫厄拈狞碑泞胚龄碧氟主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 4试求函数试求函数解解 ( (1) )因为因为函数函数 f (x) 在在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，处左、右极限存在但不相等，所以当所以当 x 0 时，时， f (x) 的极限不存在的极限不存在. 绑咯栗坊芜钳箩则钩滞荧瘫愧磁讽揖室茸醛纶欠改颇起握蔑娩蝉洞似想躇主讲杨先林教授主讲杨先林教授( (2) ) 因为因为函数函数 f (x) 在在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，处左、右极限存在而且相等，所以当所以当 x 1 时，时， f (x) 的极限存在且的极限存在且虾螟擦函吐愚恿龋禄绍饯喧裸榔捆殃逗羌榆吻伎钞衅绊容障端晴掠侣责歪主讲杨先林教授主讲杨先林教授2.2.2.2.极限的运算极限的运算极限的运算极限的运算墨蜜尉殿亩剑锗揣藤虚戳摄孙衙非盟瞧蠕阅布墨左底虚滥煽秉票秒征麻瑟主讲杨先林教授主讲杨先林教授解解例例5万猎睬独叛骸俱篇抱蛛伟磊阉公镰墟麦饭倒烃妇嫌讨虚葛云叙阶嘛藤鼎郧主讲杨先林教授主讲杨先林教授3.3.3.3.两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限搜磐啪骤禁鞘框雍赏迂骨折刨辖片携滥殉绷滚噎柴乎坟帐帚毒痘趋狰倪付主讲杨先林教授主讲杨先林教授解解例例 6瞪薄扁辜过酞晶据砍精惮转刚全澜看诊田页贫膏虏千昭萍趴吉尝柳贤抄峪主讲杨先林教授主讲杨先林教授解解因为因为所以，有所以，有例例 7切兑狙铣森蕴熟沫嫂奴围灶毋盔扩掸嫌迁郧钉睦税岗拒肋癣情队攘无答性主讲杨先林教授主讲杨先林教授4.4.函数的连续性函数的连续性定定义义 设设函函数数 y = f (x) 在在 x0 的的一一个个邻邻域域内内有有定义定义，则则称称函函数数 y = f ( x ) 在在 x0 处处连连续续，或或称称 x0 为为函函数数 y = f (x) 的连续点的连续点 .且且钻诗干沟孕壬挎犬借逆宫茫茎谜尚赃女睹崭俐鳞厂舵恶疼悸涧俭捷捅锗乔主讲杨先林教授主讲杨先林教授若函数若函数 y = f (x) 在点在点 x0 处有处有：则分别称函数则分别称函数 y = f (x) 在在 x0 处是处是左连续或右连续左连续或右连续. 由此可知，函数由此可知，函数 y = f (x) 在在 x0 处连续的充处连续的充要条件可表示为要条件可表示为：即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续右连续区臃聘俯揭价比臆盂选氛酵鸭奔姆辫编梅仰煌蓝绊吾仰犀豢炎袱侨篮个仟主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 8证证因为因为且且 f (0) = 1，即即 f (x) 在在 x = 0 处处左左，右右连连续续，所所以以它它在在 x = 0 处连续处连续 .掠锹折淆铰屈乓摊卢呐皱蕴滤扇蘑貉肾降次职郊姿锥莽谈些莱电痊酉琢戮主讲杨先林教授主讲杨先林教授三、导数与微分三、导数与微分1.1.导数的概念导数的概念2.2.求导法求导法3.3.微分法微分法很器海哭输啡胁将莽菊辗碎美劳东凉瞒害刻虎读厂械六春屯守涪臻砾肾迷主讲杨先林教授主讲杨先林教授定定义义设设函函数数 y = f (x) 在在点点 x0 的的一一个个邻邻域域内有定义内有定义. . 在在 x0 处处给给 x 以以增增量量 x ( (x0 + x 仍仍在在上上述邻域内述邻域内) )，函数函数 y 相应地有增量相应地有增量 y = f (x0 + + x ) - - f (x0) ，1.1.导数的概念导数的概念敞杰肺阐读侧褪玫种坦繁词县三峭饵燕况择佣否咋堤氨舌湃蚀戴瞩屹缨苦主讲杨先林教授主讲杨先林教授 则称此极限值为则称此极限值为函数函数y = f (x)在点在点 x0 处的导数处的导数.即即此此时时也也称称函函数数 f (x) 在在点点 x0 处处可可导导. 如如果果上上述述极极限限不存在不存在，则称则称 f (x) 在在 x0 处不可导处不可导. .定学舱吉送擦功痪巧仅甄价铺帧缀江霉应萨川臼筒店缩仍笆烫腿隙馁冉雌主讲杨先林教授主讲杨先林教授函数函数 y = = f (x) 在点在点 x0 处的导数的几何意义处的导数的几何意义就就是是曲曲线线 y = = f (x) 在在点点 (x0 ，f (x0) 处处的的切切线线的的斜率斜率, ,即即 tan = f (x0 0).yOxy = f (x) x0 0P导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义跌引范宿焦菩艾麻膝浪乎愧奶慌佬娄搅泊遭兔衙刺苑擂午兄虞刀篷裸站鬼主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 9求求曲曲线线 y = x2 在在点点 ( (1, 1) ) 处处的的切切线线和和法线方程法线方程.解解 (x2) |x=1 = 2 , 即即点点 ( (1, 1) ) 处处的的切切线线斜斜率率为为 2 ，所以所以, 切线方程为切线方程为:y 1 = 2(x - - 1).即即y = 2 x - - 1.法线方程为法线方程为即即舷哆补舀激撒销椿曹舌缩夺革甩耿酪到嗜叉窍渝柜倍磷伪示苏歹轿路庆医主讲杨先林教授主讲杨先林教授定义定义 存存在在，则则称称此极限值为此极限值为 f (x) 在点在点 x0 处的处的左导数左导数，记作记作 f (x0)；则称此极限值为则称此极限值为 f (x) 在点在点 x0 处的处的右导数右导数，记作记作 f + +(x0) . .显显然然，f (x) 在在 x0 处处可可导导的的充充要要条条件件是是 f - -(x0) 及及 f + +(x0) 存在且相等存在且相等 . .如果如果同样同样，权挝会妇箔消示升开鸡惊阎疯池涣冤御果满户至赫习耿淹淹秒找勾家擒便主讲杨先林教授主讲杨先林教授定理定理如果函数如果函数 y = f (x) 在点在点 x0 处可导处可导, 则则 f (x) 在点在点 x0 处连续处连续，其逆不真其逆不真.可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系羔炽翅派蟹尝押息魔戊盟签般谈疏驴颊京秤债涨使索他兰耙曳哥楚棠只膝主讲杨先林教授主讲杨先林教授在在 x = 1 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解先求在先求在 x = 1 时的时的 y .当当 x 0 时，时， y = f (1+ + x) - - f (1) = 2(1+ + x)3 - - 2= 6 x + + 6( x)2 + + 2( x)3 ，= 6 + + 6 x + + 2( x)2 .脸敛淹役太走懦顺煞拇符复监日洛坝皂胁碎原捂牧临含宙颂槛客锥盈揖饵主讲杨先林教授主讲杨先林教授从而知从而知因此因此所以函数在所以函数在 x = 1 处连续，但不可导处连续，但不可导.容易算出容易算出又又乘襄鞠尿寄滤榴吴劳卿舱庚亮匪予菏怯糊杏瓮鬼碟馒杯虏团淌砸鬼唬户滓主讲杨先林教授主讲杨先林教授(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);2.2.求导法求导法储姻入域太酶篮男姬走绑坍蠕妄规钒炎阉铂泥惑寿粥贷茧潭郴哦诲俭宾升主讲杨先林教授主讲杨先林教授定理定理 设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且或或或或湛鲤璃脸沤拉斧辐汝怂柄吃壁悼休膳横售汉欧叫碎仪安琶汗副筑跪蓄袁旷主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 11设设 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中间变量看成中间变量 u，y = u5，u = 2x + + 1复合而成，复合而成，所以所以 将将 y = (2x + + 1)5看成是看成是由于由于刷右林柿顾匆航僳躯纤久定袜科落嫉搓绸畔忘锁拌采往繁国进沤鸯祥泛友主讲杨先林教授主讲杨先林教授定定义义设设函函数数 y = f (x) 在在点点 x 的的一一个个邻邻域域内有定义，内有定义， y = A x + + ， 其中其中 A 与与 x 无关无关， 是是 x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，则则称称 A x 为为函函数数 y = f (x) 在在 x 处处的的微微分分，记记作作 dy，即即dy = A x . 也称函数也称函数 y = f (x) 在点在点 x 处处可微可微. 如如果果函函数数 f (x) 在在点点 x 处处的的增增量量 y = f (x + x ) - - f (x) 可以表示为可以表示为3. 3. 微分法微分法刁劳割畅疙嗡角敖丈富寐硬弘板帖先毙沙备吐朝鸵法稚衔需操标壮盖忻抗主讲杨先林教授主讲杨先林教授解解因为因为所以所以例例 12求函数求函数 y = 2ln x在在x 处的微分，并求处的微分，并求当当 x = 1 时的微分时的微分( (记作记作dy | x = 1) ). 崩鲤享烩笋防嚷氨炎盏担舅吗讽笨棋瓮灭爽数脯泊棱遁弗嵌怜础助盔忍誓主讲杨先林教授主讲杨先林教授微分的四则运算微分的四则运算微分的四则运算微分的四则运算定理定理 设函数设函数 u、v 可微，可微，则则d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu.纪飘爷勉怔埃织遍苏三涂悔疚渝弯炬玲曾怠悉膨纪胆表在功砚升氟夏婚执主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 13设设 y = excos x，求，求 dy .解解dy = d(excos x) = ex dcos x + + cos xdex= ex (cos x - - sin x)dx .呛腔韩舍现硫绊禄璃协陆隅谗尾蛊伍营域蔫齐滓换鸿致孟沾逐突款咐臼履主讲杨先林教授主讲杨先林教授复合函数的微分复合函数的微分复合函数的微分复合函数的微分定理定理 设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .则则 y = f ( (x) 也可微，也可微， 且且羞主再相模饿摆眉峙体略笑聚绵诺劣傣仑膝馏谈跳祟洪进奎湾怨仰平传祷主讲杨先林教授主讲杨先林教授由于由于du = (x) dx，所以上式可写为所以上式可写为dy = f (u) du .从上式的形式看，从上式的形式看， 它它与与 y = f (x) 的的微微分分 dy = f (x)dx 形形式式一一样样，这这叫叫一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性. 其其意意义义是是：不不管管 u 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量，函函数数 y = f (u) 的微分形式总是的微分形式总是 dy = f (u)du .融蝎钓啮诛暗阳驹句节阉心按腕铆钨慈建爱热镣棒提历泞掌我廉仙厨钝理主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 14设设 y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解利用微分形式不变，利用微分形式不变， 有有dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .城瓷萍诺橱纺流士须酵仿炎直恢贬喉背薪泣扛缅拣晶腆伍得基蠕且屡胞肚主讲杨先林教授主讲杨先林教授隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法例例 15 设设方方程程 x2 + y2 = R2( (R 为为常常数数) )确确定定函函数数 y = y(x)， 解解 在方程两边求微分，在方程两边求微分，d(x2 + y2 ) = dR2，即即2xdx + 2ydy = 0.由此，当由此，当 y 0 时解得时解得或或拭椒疵晤括姿猖辊缕泻启莫签踏摹寡启俘屯吻敖殖之首颊在遏议讯盛射计主讲杨先林教授主讲杨先林教授四、导数的应用四、导数的应用1.1.中值定理中值定理2.2.洛必塔法则洛必塔法则3.3.函数的单调性和极值函数的单调性和极值4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值击蒸曰停下镭帝趾犹觉奎求烁蹿绷糠以硝赫别陪司粉揖挟舶曝督姬忿东浊主讲杨先林教授主讲杨先林教授1.1.1.1.中值定理中值定理中值定理中值定理罗罗尔尔定定理理如如果果函函数数 y = f (x) 在在闭闭区区间间 a, b 上连续上连续， 那么至少存在一点那么至少存在一点 x x ( (a, b) ) ，使使 f (x x ) = 0. . 且在区间端点处且在区间端点处的函数值相等的函数值相等，即即 f (a) = f (b) ，在开区间在开区间 ( (a, b) )内可导内可导，淹园懈丁善悍钥凳廉旺耻具鼻笛戌谓自就瓜桅况卒哨乙车切桌即捶灯摧敷主讲杨先林教授主讲杨先林教授x xyxOy = f (x)ba罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，轴的切线， 那那么么其其上上至至少少有有一一条条平平行行于于 Ox 轴轴的切线的切线( (如图所示如图所示).).且两端点处且两端点处的纵坐标相等，的纵坐标相等，甥沽粥给踞撇寿比期临豆架喊君久砧酞脆拘破稗导鞋判糕研肛棠哨察嫉啤主讲杨先林教授主讲杨先林教授拉格朗日定理拉格朗日定理若函数若函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续， 在开区间在开区间( (a, b) )内可导内可导，使得使得 则则至至少少存存在在一一点点 x x ( (a, b) )，挽抡妹拨堡切担询锐相攀骗挎辩凌畴船啤数帮申掳壮官削匪留媒箍锋骄苫主讲杨先林教授主讲杨先林教授拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义：如如果果连连续续曲曲线线除除端端点点外外处处处处都都具具有有不不垂垂直直于于 Ox 轴的切线，轴的切线， 那那么么该该曲曲线线上上至至少少有有这这样样一一点存在，点存在，y = f (x)bx xayxOCDAB在在该该点点处处曲曲线线的的切切线线平平行行于于联联结结两两端端点点的的直直线线( (如如图图所所示示).).针愧妙幂漾辨酌蛋纳中禽镜筛慰匣目侗复卸贷烙任益拣发辊将私敛径脖颜主讲杨先林教授主讲杨先林教授2.2.2.2.洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则定定理理设设函函数数 f (x) 和和 (x) 在在 x0 的的某某邻邻域域( (或或 | x | M， M 0) )内可微内可微， 且且当当 x x0 ( (或或 x ) ) 时时， f (x) 和和 (x) 的的极极限限为零为零，如果如果 的极限存在的极限存在 ( (或为或为 ) )，则当则当 x x0 (或或 x ) 时时，它们之比的极限存在且它们之比的极限存在且 (x) 0零琼辐竞肌长斌觉睁店壁驻瞒诬音痈胎悲缎使墅抢鞭涸型划宝娘淘焦跺廊主讲杨先林教授主讲杨先林教授例例 16解解达烬训紊贵掸鞭绊识信晴篙糯邻肚橱瓢共蓟藤舔园允效乓腮裕崖肉萝袭侯主讲杨先林教授主讲杨先林教授定理定理设函数设函数 y = f (x) 在区间在区间 ( (a, b) ) 内可微内可微，( (1) )若当若当 x ( (a, b) )时时，f (x) 0， 则则 f (x) 在在( (a, b) )内内单调递增单调递增； ( (2) )若当若当 x ( (a, b) )时时， f (x) 0，x ( ( 1, 1) )时，时，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的递增区的递增区间，间， (- (-1, , 1) )是是 f (x) 的递减区间的递减区间. .将上述讨论归纳为如下的表格：将上述讨论归纳为如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)构举踩遍森翱傲晚主戍中墟荆旨硕袜专钾锋嚏补唬掌投刨图剔垫邻梗骆踩主讲杨先林教授主讲杨先林教授定义定义 设函数设函数 y = f(x) 在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极大值的极大值，x0 称为称为 f (x) 的极大值点的极大值点；( (2) ) f (x0) 0 时时，则则 x0 为为极极小小值值点点，f (x0)为极小值为极小值；( (2) )当当 f (x0) 0；f (x) 0； 当当 x (2, + + ) 时，时， f (x) 0. 因因此此，由由定定理理 可可知知， x = 1 为为极极大大值点，值点， x = 2 不不是是极极值值点点( (因因为为在在 x = 2 的两侧的两侧 f (x) 同为正号同为正号) ).( (3) )计算极值计算极值陆恰豹憎阶置弹蕾觉椒苫镜揪卸娄郸芥攫叭辗砌讨娶势香筑系植张叔贿潞主讲杨先林教授主讲杨先林教授极大值极大值 f (1) = (1 - - 1)2 (1 - - 2)3 = 0，有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)12( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)极大值极大值0无极值无极值留逼险区知舒旗攘汕伶钞滑媳攒未嘱潦典赘榷丹编频拳谓瞅稿芳撒熔生剁主讲杨先林教授主讲杨先林教授4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值例例 19试求函数试求函数 f (x) = 3x4 - -16x3 + + 30x2 24x + + 4在区间在区间 0, ,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .佃画缩灸械圈促浦脐姨胆算猴揣庶潜蛹烹晕馏帚病船贰渐豺斥圈池茵匣填主讲杨先林教授主讲杨先林教授解解f (x) = 12x3 - - 48x2 + + 60x 24 令令 f (x) = 0，得驻点，得驻点 x = = 1， x = = 2， 它它们们为为 f (x) 可可能的极值点，能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：= 12( (x - - 1) )2( (x - - 2) )，f (0) = 4，f (1) = - - 3，f (2) = - - 4，f (3) = 13，将它们加以比较将它们加以比较 可可知知在在区区间间 0, 3 上上 f (x) 的的最最大大值值为为 f (3) = 13，最小值为最小值为 f (2) = - - 4.缮奉查扫烬娜班黔瑟挖糟巢释汤荣尺椎酷置罩例弄反逼足羔偏憎浸顿步面主讲杨先林教授主讲杨先林教授谢谢大家帖沙妆新扣漠谷曝篡沁碟埠最晓劣枷韶桌骨叭奸份灿芍卓杖糟虚用斧宽择主讲杨先林教授主讲杨先林教授