第4课分式及其运算 1 1分式的基本概念：分式的基本概念： (1)(1)形如形如 的式子的式子 叫分式；叫分式； (2)(2)当当 时，分式时，分式 有意义；当有意义；当 时，分式无意时，分式无意 义；当义；当 时，分式的值为零时，分式的值为零要点梳理要点梳理( (A，B是整式，且是整式，且B中含有字母，中含有字母，B0)0)B00B0 0A0 0且且B002 2分式的基本性质：分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以分式的分子与分母都乘以( (或除以或除以) ) ，分式的值不变，用式子表示为：分式的值不变，用式子表示为： ， 同一个不等于零的整式同一个不等于零的整式，( (M是不等于零的整式是不等于零的整式) )3 3分式的运算法则：分式的运算法则： (1)(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变任何两个，分式的值不变 用式子表示为：用式子表示为： ， . . (2) (2)分式的加减法：分式的加减法： 同分母加减法：同分母加减法： ； 异分母加减法：异分母加减法： . . (3)(3)分式的乘除法：分式的乘除法： ， . .(4)(4)分式的乘方：分式的乘方： n ( (n为正整数为正整数) )4 4分式的约分、通分：分式的约分、通分： 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，其根据是分式的基本性质其根据是分式的基本性质 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母通分的关键是确定几个分式的最简公分母5 5分式的混合运算：分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算遇有括号，先算括号进行约分化简，最后进行加减运算遇有括号，先算括号里面的灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整里面的灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式式6 6解分式方程解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根，使分母为意验根，使分母为0 0的未知数的值，是增根，需舍去的未知数的值，是增根，需舍去1 1正确理解分式的概念及分式有意义正确理解分式的概念及分式有意义 判断某一个代数式属于不属于分式，不能看化简后的结果，判断某一个代数式属于不属于分式，不能看化简后的结果，而应看到它的本来面目，分式的概念是以形式上规定的而应看到它的本来面目，分式的概念是以形式上规定的 解有关分式是否有意义的问题时，常用到解有关分式是否有意义的问题时，常用到“或或”与与“且且”来来表达，正确使用表达，正确使用“或或”与与“且且”也是解题的关键也是解题的关键“或或”表表示一种选择关系，含有示一种选择关系，含有“你行，他也行你行，他也行”的意思；的意思；“且且”表表示递进关系，也有示递进关系，也有“同时同时”的意思的意思 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2 2注意分式运算的法则和顺序注意分式运算的法则和顺序 分式的乘除运算，一般先利用法则转化为分式的乘法后，分式的乘除运算，一般先利用法则转化为分式的乘法后，能约分的要先约分，再计算，否则运算非常复杂；对于乘能约分的要先约分，再计算，否则运算非常复杂；对于乘除、乘方混合运算，就遵循除、乘方混合运算，就遵循“先乘方，后乘除先乘方，后乘除”的运算顺的运算顺序；异分母分式相加减，或分式与整式的加减运算，可把序；异分母分式相加减，或分式与整式的加减运算，可把整式看作一个整体与分式通分后，按同分母的分式相加减整式看作一个整体与分式通分后，按同分母的分式相加减来进行运算分式运算中，每步运算都要符合法则或运算来进行运算分式运算中，每步运算都要符合法则或运算律，不能随意套用运算律律，不能随意套用运算律3 3理解分式方程的增根并检验是否产生增根理解分式方程的增根并检验是否产生增根 在分式方程化为整式方程时，一般是将方程两边同乘以含未在分式方程化为整式方程时，一般是将方程两边同乘以含未知数的整式知数的整式( (最简公分母最简公分母) )，当所乘整式不为零时，所得整，当所乘整式不为零时，所得整式的根为增根，因此，验根是解分式方程的必要步骤式的根为增根，因此，验根是解分式方程的必要步骤 分式方程的增根是解题时极易忽视的知识点，在一般情形下，分式方程的增根是解题时极易忽视的知识点，在一般情形下，检验未知数的值是否是增根并不难，而当题目明确有增根检验未知数的值是否是增根并不难，而当题目明确有增根时，反推此时未知数的值就会让人不知所措，此时关键是时，反推此时未知数的值就会让人不知所措，此时关键是要具备逆向的思维能力，特别是涉及分式方程的解而又未要具备逆向的思维能力，特别是涉及分式方程的解而又未明确涉及增根问题时，探讨是否有增根明确涉及增根问题时，探讨是否有增根( (或与增根有关问题或与增根有关问题) )就成了隐含条件，稍不留心就会发生差错就成了隐含条件，稍不留心就会发生差错1 1(2011(2011江津江津) )下列式子是分式的是下列式子是分式的是( () ) A. . B. . C. . y D. . 解析：根据分式的定义，分母中必含字母的代数式叫分式解析：根据分式的定义，分母中必含字母的代数式叫分式基础自测基础自测B2 2(2011(2011南充南充) )当分式当分式 的值为的值为0 0时，时，x的值是的值是( () ) A0 0 B1 1 C1 1 D2 2 解析：当解析：当x1 1时，分子时，分子x1 10 0，而分母，而分母x2 23030， 所以分式的值为所以分式的值为0.0.3 3(2011(2011金华金华) )计算计算 的结果为的结果为( () ) A. . B C1 1 D2 2 解析：解析： 1.1.BC4 4(2011(2011潜江潜江) )化简化简( ( )()(m2)2)的结果是的结果是( () ) A0 0 B1 1 C1 1 D( (m2)2)2 2 解析：原式解析：原式 1.1.5 5(2011(2011芜湖芜湖) )分式方程分式方程 的解是的解是( () ) Ax2 2 Bx2 2 Cx1 1 Dx1 1或或x2 2 解析：当解析：当x1 1时，方程左边时，方程左边 3 3， 右边右边 3 3，x1 1是原方程的解是原方程的解. . BC题型一分式的概念，求字母的取值范围题型一分式的概念，求字母的取值范围【例例1 1】(1)(1)当当x_时，分式时，分式 无意义；无意义； 解析：当解析：当x1 10 0，x1 1时，分式无意义时，分式无意义 (2)(2011(2)(2011泉州泉州) )当当x_时，分式时，分式 的值为的值为0.0. 解析：当解析：当x2 20 0，x2 2时，分母时，分母x2 24 4，分式的值是，分式的值是0.0.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析1 12 2探究提高探究提高 1.1.首先求出使分母等于首先求出使分母等于0 0的字母的值，然后让未知数不等于的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义这些值，便可使分式有意义 2.2.首先求出使分子为首先求出使分子为0 0的字母的值，再检验这个字母的值是的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为否使分母的值为0 0，当它使分母的值不为，当它使分母的值不为0 0时，这就是所要求时，这就是所要求的字母的值的字母的值知能迁移知能迁移1 1(1)(1)使分式使分式 有意义的有意义的x的取值范围是的取值范围是_ 解析：当解析：当2 2x4040，x22时，分式有意义，时，分式有意义， 故故x的取值范围是的取值范围是x2.2. (2) (2)当当x_时，分式时，分式 的值为的值为0.0. 解析：当解析：当| |x| |3 30 0，| |x| |3 3，x33， 而而x3030，x33，故，故x3.3.x223 3 (3)(3)若分式若分式 的值为的值为0 0，则，则x的值为的值为( () ) A1 1 B1 1 C11 D2 2解析：当解析：当x2 20 0，x2 2时，时，x2 21010，故选，故选D. .D题型二分式的性质题型二分式的性质【例例2 2】(1)(2011(1)(2011湛江湛江) )化简化简 的结果是的结果是( () ) Aab Bab Ca2 2b2 2 D1 1 解析：解析： ab. .A(2)(2)已知已知 3 3，求分式，求分式 的值的值 解法一：解法一： 3 3， 3 3，yx3 3xy，xy3 3xy. . 原式原式 4.4.解法二：解法二： 3 3，xy00， 原式原式 4.4.探究提高探究提高 1.1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变都不得与此相违背，否则分式的值改变. . 2. 2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底后再约分，约分应彻底. . 3. 3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑凑”而求得结果而求得结果知能迁移知能迁移2 2(1)(2011(1)(2011聊城聊城) )化简：化简： . . 解析：解析： . . (2) (2)下列运算中，错误的是下列运算中，错误的是( () ) A. . ( (c c0) 0) B. . 1 1 C. . D. . 解析：解析： . .D题型三分式的四则混合运算题型三分式的四则混合运算【例例3 3】先化简代数式先化简代数式( ( ) ) ，然后选取一个，然后选取一个合适的合适的a值，代入求值值，代入求值 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：原式解：原式( ( ) )( (a2)(2)(a2) 22) 2分分 a( (a2)2)2(2(a2)2)a2 22 2a2 2a4 4 a2 24 34 3分分 取取a1 1，得原式，得原式1 12 24 45 55 5分分 探究提高探究提高准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取a的的值时，不能取使分式无意义的值时，不能取使分式无意义的2.2.知能迁移知能迁移3 3(1)(2011(1)(2011安徽安徽) )先化简，再求值：先化简，再求值： ，其中，其中x2.2. 解：原式解：原式 1.1.(2)(2)计算：计算：( ( ) ) 解：原式解：原式 3(3(a3)3)( (a3)3) 2 2a12.12.(3)(2011(3)(2011贵阳贵阳) )在三个整式在三个整式x2 21 1，x2 22 2x1 1，x2 2x中，请你中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x2 2时分式时分式的值的值 解：答案不唯一解：答案不唯一 如，选择如，选择x2 21 1为分子，为分子，x2 22 2x1 1为分母，为分母， 组成分式组成分式 . . . . 将将x2 2代入代入 ，得原式，得原式 . .题型四分式方程的解法题型四分式方程的解法【例例4 4】解分式方程：解分式方程： 0.0. 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：原式解：原式 0 0， 去分母，去分母，5(5(x1)1)( (x3)3)0 0， 去括号，去括号，5 5x5 5x3 30 0， 22分分 4 4x8 80 0， 4 4x8 8，x2.2. 经检验，经检验，x2 2是原方程的根是原方程的根 原方程的根是原方程的根是x2. 42. 4分分 探究提高探究提高 1.1.按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母若分母为多项式时，应首先进行分解因式将分式方分母若分母为多项式时，应首先进行分解因式将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项一项，不要漏乘常数项 2.2.检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去故应是原方程的增根，须舍去知能迁移知能迁移4 4(1)(2011(1)(2011潼南潼南) )解分式方程：解分式方程： 1.1. 解：方程两边同乘解：方程两边同乘( (x1)(1)(x1)1)，得，得 x( (x1)1)( (x1)1)( (x1)(1)(x1)1)， 化简，得化简，得2 2x1 11 1， 解得解得 x0.0. 检验：当检验：当x0 0时，时，( (x1)(1)(x1)01)0， 所以所以x0 0是原分式方程的解是原分式方程的解(2)(2)若方程若方程 无解，则无解，则m_._. 解析：解析： ， 去分母，去分母，x3 3m，m3 3x. . 当当x2 2时，时，m3 32 21.1.1 11 1勿忘分母不能为零勿忘分母不能为零考题再现当考题再现当a取什么值时，方程取什么值时，方程 的解是负数？的解是负数？学生作答学生作答 解：原方程两边同乘以解：原方程两边同乘以( (x2)(2)(x1)1)，得，得 x2 21 1x2 24 4x4 42 2xa，2 2xa5 5， x . . 由由 0,0,得得a5.5. 故当故当a5 5时，原方程的解是负数时，原方程的解是负数答题规范答题规范规范解答规范解答 解：当解：当x1 1且且x22时，原方程两边都乘以时，原方程两边都乘以( (x2)(2)(x1)1)， 得得x2 21 1x2 24 4x4 42 2xa， 2 2xa5 5， x . . 由由 0 0，得，得a5.5. 又由又由 2 2，得，得a1 1； 1 1，得，得a7 7， 故当故当a5 5且且a7 7时，原方程的解是负数时，原方程的解是负数老师忠告老师忠告 (1)(1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽视题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；往往忽视题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误； (2)(2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除的整式的值不能是零；乘或同除的整式的值不能是零； (3)(3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解如果最后方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解如果最后x取取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不保证新方程与原方程同解这个取值就是方程的解；否则，不保证新方程与原方程同解 从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就不是原方程的解不是原方程的解. . 方法与技巧方法与技巧1 1分式运算过程较长，运算中错一个符号，往往会使原来能够分式运算过程较长，运算中错一个符号，往往会使原来能够化简的趋势改观，使算式越来越繁，形成对分式运算厌烦甚化简的趋势改观，使算式越来越繁，形成对分式运算厌烦甚至惧怕的心理为了避免这种现象，一定要养成分类分级逐至惧怕的心理为了避免这种现象，一定要养成分类分级逐步演算的习惯，每次添、去括号时，要注意每一个符号的正步演算的习惯，每次添、去括号时，要注意每一个符号的正确处理确处理2 2在加深对方法的原理理解的前提下，清楚地归纳运算步骤，在加深对方法的原理理解的前提下，清楚地归纳运算步骤，宜分步式，不宜跳步，不宜一个符号下完成数个步骤宜分步式，不宜跳步，不宜一个符号下完成数个步骤思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1 1分式的分母不为零，分式才有意义，这又是分式的值为分式的分母不为零，分式才有意义，这又是分式的值为0 0的前的前提讨论分式的值为提讨论分式的值为0 0，即要求分母不为，即要求分母不为0 0，又要求分子为，又要求分子为0 0，二者缺一不可二者缺一不可2 2当分式的分子或分母为多项式时，在运算顺序上，相当于使当分式的分子或分母为多项式时，在运算顺序上，相当于使 分子或分母的外面有一个括号，从而把它们分别当成一个整体分子或分母的外面有一个括号，从而把它们分别当成一个整体看，例如：看，例如：5 5 ，应得，应得 ，而不是，而不是 . .3 3分式加减法中的通分是等值变形，不要在学了解分式方程后，分式加减法中的通分是等值变形，不要在学了解分式方程后，两者混淆，把通分变形成去分母了两者混淆，把通分变形成去分母了完成考点跟踪训练 4