第八节一一、最值定理与有界性、最值定理与有界性 二、介值定理二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第二章 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论(有界性定理). 由定理 1 可知有证证: 设上有界 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 说明：定理1的条件不满足,结论不一定有,如证证:例例1. 证明: 若 令则给定当时, 有又根据有界性定理, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )二、介值定理o2)定理提供了判断 根的存在性的新方法. 说明 例例1. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则例2. 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明：例3 设证 若记由于因此, 若则问题得证.若则由零点存在定理 即定理定理3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即使至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）开区间内的连续函数（2）闭区间上的不连续函数 (仍用此例)。 1)介值定理的条件不满足, 可能取不到 .上严格单调，则介值定理中的 唯一；说明3)则f(x)可以取到它最大值M与最小值 m 之间的一切值. (推论)根据最值定理 例4证根据最值定理推论于是上连续 , 且恒为正 ,例例5. 设在对任意的必存在一点证证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即当时, 取或, 则有证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明至少存在使提示提示: 令则易证1. 设一点2. 设且则在(a , b)内至少有一点c，使得提示提示: 设易证利用零点定理即可得证.3. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知: