第第 2 章章 行列式行列式习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、练习题三、练习题一、主要内容一、主要内容定义定义 定义定义n阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式1 1、n阶行列式的定义阶行列式的定义性质性质1 1 行列式按任一行展开，其值相等，即行列式按任一行展开，其值相等，即2、n阶行列式的性质阶行列式的性质 性质性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零为零. 即当即当 aik = ajk ， ij, k=1, n时，时，det A = 0. 推论推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零若行列式的某一行全为零，则行列式等于零.性质性质3 性质性质4 4（行列式的初等变换）若把行初等变换施（行列式的初等变换）若把行初等变换施(1) 将将A的某一行乘以数的某一行乘以数k得到得到A1，则则 detA1 = k(detA)； (2) 将将A的某一行的的某一行的k(0)倍加到另一行得到倍加到另一行得到A2 ,则则 detA2 = detA；(3) 交换交换A的两行得到的两行得到A3, 则则 detA3 = - detA.于于n阶矩阵阶矩阵A上上： 推论推论 若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值为零为零.性质性质5 5 设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式定理定理1 1 方阵方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为det A0.定理定理2 设设A, B为为n阶方阵，则阶方阵，则 推论推论1 设设Ai (i=1, , t)为为n阶矩阵，则阶矩阵，则 推论推论2 设设A, B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且AB=I (或或BA=I), 则则B=A -1. 行列式性质小结：行列式性质小结： 二、三类初等变换二、三类初等变换 ：1.1.换行反号换行反号 , , 2.2.倍乘倍乘 , , 3.3.倍加倍加 . . 三、三种为零三、三种为零 ： 1.1.有一行全为零有一行全为零 , , 3.3.有两行成比例有两行成比例 . . 2.2.有两行相同有两行相同 , ,四、四、 一种分解一种分解 . .五、五、一、按行展开一、按行展开 ：3 3、克莱姆法则、克莱姆法则克莱姆法则的理论价值克莱姆法则的理论价值定理定理定理定理定理定理定理定理一、逆矩阵的一个简明表达式一、逆矩阵的一个简明表达式引理引理1 设设A=(aij)n,n，则则引理引理2 2 设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则定理定理 1 方阵方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为|A|0。当。当A可可逆时逆时,则则4 4、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵矩阵A中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数r，称为称为A的秩的秩定义定义秩，记为秩，记为R(A) = r. 矩阵的秩的另一种理解：矩阵的秩的另一种理解：基本结论与性质基本结论与性质1. R(A)=0 A=O；2. R(A) r A有一个有一个r 阶子式不为零；阶子式不为零； 3. R(A) r A的所有的所有r +1阶子式全为零。阶子式全为零。 (满秩矩阵满秩矩阵可逆矩阵可逆矩阵 降秩矩阵降秩矩阵不可逆矩阵不可逆矩阵)定理定理1 1 初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。推论推论 对任意矩阵对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，其中其中P, Q分别为可逆矩阵分别为可逆矩阵.定理定理2 2有关矩阵秩的定理有关矩阵秩的定理推论推论 同型矩阵同型矩阵A与与B等价的充要条件是等价的充要条件是R(A)=R(B).( (一一) )计算（证明）行列式计算（证明）行列式( (二二) )克莱姆法则克莱姆法则二、典型例题( (三三) )矩阵秩矩阵秩1利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例 计算计算( (一一) )计算（证明）行列式计算（证明）行列式解解2用降阶法计算用降阶法计算例例 计算计算解解3用数学归纳法用数学归纳法例例 证明证明证证证明证明例例证明证明例例A至少有一个至少有一个n-1阶子式不为零阶子式不为零，至少有一个至少有一个1 1阶子式不为零，阶子式不为零，A的所有的所有n-1阶子式为零，阶子式为零， 练习题练习题填空填空