第第4 4节基本不等式节基本不等式考纲展示考纲展示1.1.了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程. . 2.2.会用基本不等式解决简单的最会用基本不等式解决简单的最大大( (小小) )值问题值问题. . 知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理 算术平均数算术平均数(2)(2)等号成立的条件当且仅当等号成立的条件当且仅当 时取等号时取等号. .几何平均数几何平均数a=ba=ba=ba=b(2)(2)两个正数的积为定值时两个正数的积为定值时, ,它们的和有最小值它们的和有最小值, ,即若即若a,ba,b为正实数为正实数, ,且且ab=P,Pab=P,P为为定值定值, ,则则a+ba+b , ,等号当且仅当等号当且仅当 时成立时成立.(.(简记简记: :积定和最小积定和最小) )a=ba=b3.3.几个常用的不等式几个常用的不等式(1)a(1)a2 2+b+b2 22ab(a,b2ab(a,bR R).).双基自测双基自测 1.1.设设x0,y0,x0,y0,且且x+y=18,x+y=18,则则xyxy的最大值为的最大值为( ( ) )(A)80(A)80 (B)77 (B)77(C)81(C)81 (D)82 (D)82C CC C答案答案: :-2-23.3.点点(m,n)(m,n)在直线在直线x+y=1x+y=1位于第一象限内的图象上运动位于第一象限内的图象上运动, ,则则loglog2 2m+logm+log2 2n n的最大的最大值是值是. . 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值答案答案: :(1)D(1)D答案答案: :(2)9,+)(2)9,+)反思归纳反思归纳跟踪训练跟踪训练1:1:已知已知x0,y0,x0,y0,且且2x+8y-xy=0,2x+8y-xy=0,求求: :(1)xy(1)xy的最小值的最小值; ;(2)x+y(2)x+y的最小值的最小值. .考点二考点二 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式反思归纳反思归纳 利用基本不等式证明不等式的策略利用基本不等式证明不等式的策略(1)(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式若要证明的不等式不能直接使用基本不等式, ,则考虑利用拆项、配凑等方则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形法对要证不等式进行变形, ,使之达到能使用基本不等式的条件使之达到能使用基本不等式的条件. .(2)(2)若题目中还有已知条件若题目中还有已知条件, ,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系, ,当已知条件中含有当已知条件中含有“1 1”时时, ,要注意要注意“1 1”的代换的代换. .(3)(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立. .考点三考点三 基本不等式实际应用基本不等式实际应用【例例3 3】 导学号导学号 18702290 18702290 如图如图, ,某生态园将一三角形地块某生态园将一三角形地块ABCABC的一角的一角APQAPQ开辟开辟为水果园种植桃树为水果园种植桃树, ,已知角已知角A A为为120,AB,AC120,AB,AC的长度均大于的长度均大于200200米米, ,现在边界现在边界AP,AQAP,AQ处建围墙处建围墙, ,在在PQPQ处围竹篱笆处围竹篱笆. .(1)(1)若围墙若围墙AP,AQAP,AQ总长度为总长度为200200米米, ,如何围可使得三角形地块如何围可使得三角形地块APQAPQ的面积最大的面积最大? ?(2)(2)已已知知APAP段段围围墙墙高高1 1米米,AQ,AQ段段围围墙墙高高1.51.5米米, ,造造价价均均为为每每平平方方米米100100元元. .若若围围围围墙用了墙用了20 00020 000元元, ,问如何围可使竹篱笆用料最省问如何围可使竹篱笆用料最省? ?反思归纳反思归纳 建立关于建立关于x x的函数关系式是解决本题的关键的函数关系式是解决本题的关键, ,在运用基本不等式求在运用基本不等式求最小值时最小值时, ,除了除了“一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等”以外以外, ,在最值的求法中在最值的求法中, ,使用基本不等使用基本不等式次数要尽量少式次数要尽量少, ,最好是在最后一步使用基本不等式最好是在最后一步使用基本不等式, ,如果必须使用几次如果必须使用几次, ,就就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾, ,有矛盾则应调整解有矛盾则应调整解法法. .跟踪训练跟踪训练4:4:如图如图, ,为处理含有某种杂质的污水为处理含有某种杂质的污水, ,要制造一个底宽要制造一个底宽2 m2 m的无盖长方的无盖长方体的沉淀箱体的沉淀箱, ,污水从污水从A A孔流入孔流入, ,经沉淀后从经沉淀后从B B孔排出孔排出, ,设箱体的长度为设箱体的长度为a m,a m,高度为高度为b m,b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与已知排出的水中该杂质的质量分数与a,ba,b的乘积的乘积abab成反比成反比. .现有制箱材料现有制箱材料60 m60 m2 2, ,问问a,ba,b各为多少时各为多少时, ,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A,B(A,B孔面孔面积忽略不计积忽略不计).).备选例题备选例题 (2)(2)当当0a10a1时时, ,求函数求函数f(x)f(x)的最小值的最小值. . 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼易错分析易错分析: :利用基本不等式求最值时要注意条件利用基本不等式求最值时要注意条件: :一正、二定、三相等一正、二定、三相等; ;多多次使用基本不等式要验证等号成立的条件次使用基本不等式要验证等号成立的条件. .