9.3 点、线、圆的位置关系高考数学高考数学考点直线与圆、圆与圆的位置关系考点直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系(d为圆心到直线的距离,r为圆的半径)相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drd=rdr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|0d0),点M(x0,y0),若点M在O上,则过M的切线方程为x0x+y0y=r2;若点M在O外,则直线x0x+y0y=r2与O的位置关系是相交;若点M在O内,则直线x0x+y0y=r2与O的位置关系是相离.(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引圆的切线,切点为T,切线长公式为|MT|=. 直线与圆的位置关系的解题策略直线与圆的位置关系的解题策略1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径长直线与圆只有一个公共点直线和圆的方程组成的方程组只有一组解;(2)直线与圆相交圆心到直线的距离小于半径长直线与圆有两个公共点直线和圆的方程组成的方程组有两组解;(3)直线与圆相离圆心到直线的距离大于半径长直线与圆无公共点直线和圆的方程组成的方程组无解.2.判断直线和圆的位置关系的方法用方程组解的个数或用圆心到直线的距离判断,一般情况下,后一种方法相对简单,但如果判断两圆相交并求交点坐标,必须求方程组的解,这方法技巧方法1样用第一种方法可起到一举两得的作用.例1(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,8)已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是()A.0kB.kC.kD.k0或kA解题导引导引一:设满足题设的点为(t,kt-2)利用两圆有交点得关于t的二次不等式有解由判别式大于等于零得结论导引二:把两圆有公共点转化为圆心C到直线的距离不超过两半径之和解不等式得结论解析解法一:已知圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.设满足题设的点为(t,kt-2),则关于t的不等式0(t-4)2+(kt-2)24有解,即关于t的不等式(1+k2)t2-(4k+8)t+160有解,从而=16(k+2)2-64(1+k2)0,解得0k.解法二:由题意可知,两圆有公共点,则可知圆心(4,0)到直线y=kx-2的距离不超过2,即2,解得0k,故选A. 直线与圆的综合应用的解题策略直线与圆的综合应用的解题策略1.运用圆的几何性质和垂径定理,把问题化归为直线与圆的位置关系问题.2.在遇到角度、长度问题时,往往利用向量进行转化.例2(2017浙江镇海中学阶段测试,20)已知圆N:(x+3)2+y2=1,抛物线M:y=x2,F(0,1).(1)若P为圆N上任意一点,求|PF|的最小值及相应的点P的坐标;(2)在抛物线M上是否存在纵坐标和横坐标均为整数的点R,使过R且与圆N相切的直线l1,l2,分别交直线l:y=-1于A,B两点,且|AB| = 4,如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.方法2解题导引(1)最小值即为圆外的点到圆心的距离减去半径直线NF与圆的交点即为点P解方程得结论(2)设R(2t,t2),切线方程为x-2t=m(y-t2)利用直线与圆相切的性质得关于m的二次方程由韦达定理把|AB|表示成t的函数解方程得结论解析(1)由题意可得,N(-3,0),直线NF的方程为y=1+,代入圆N的方程,得(x+3)2=1,所以,当P点坐标为时,|PF|有最小值-1.(2)设R(2t,t2),过点R的圆的切线方程为x-2t=m(y-t2),令y=-1,则有x=2t-m(t2+1).由题知点N到直线x-2t=m(y-t2)的距离为=1,化简得(t4-1)m2-2(2t+3)t2m+(2t+3)2-1=0,显然t41,=4(t4+4t2+12t+8),且m1+m2=,m1m2=,所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1)=.因为|AB|=4,所以=4,化简得7t4-20t2-12t=0,所以t=0,或7t3-20t-12=0.由tZ,且7t3=20t+12,知t为偶数,不妨设t=2s(sZ),则由14s3-10s-3=0,易知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.