第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V . 解解: 曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D )在点例例1. 求曲面二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且例例3. 计算双曲抛物面被柱面所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 , 有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点同理可得则得形心坐标：若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,则它的质心坐标为其面密度 例例4. 求位于两圆和的质心. 解解: 利用对称性可知而之间均匀薄片四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片, 面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量. G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为例例7. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力处的单位质量质点的引力. 。例例8. 求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量点为球的质量习题习题10-410-4 1, 3