由点阵矢量 联接的单胞的散射波之间的程差为 位相相同，相互叠加，在波矢 方向产生一束衍射波。产生衍射波的条件是，只有当衍射矢量与倒易矢量相同时才可能产生强衍射，这就将衍射与倒易空间联系在一起了。因此倒易空间也被称为波矢空间或衍射空间。入射电子波发生弹性散射的条件是它传递给晶格的动量恰好等于某一倒易矢量。 衍射的物理意义衍射是晶体的固有特性衍射是散射波的叠加，是波动的特性衍射的特点是能量守恒，动量不守恒布拉格方程布拉格方程 将衍射方程用作图法表示如下 点阵平面（hkl）与 正交，且为入射波矢与衍射波矢的等分角平面。衍射波矢就如同是入射波矢在点阵平面（hkl）上的反射波一样。 点阵平面间距 是晶体的特征，波长 是入射电子波的特征，衍射角 是入射电子波、衍射波、晶体间的相对取向关系。 如果2dhkl, 布拉格方程不成立。这就是说，当波长大于（或等于）晶面间距的两倍时，将没有衍射产生，换言之，当晶面间距到了小于（或等于）/2的程度，衍射就终止了，这也就是为什么不能用可见光（波长约为200700纳米）来研究晶体结构的原因。 关于布拉格方程的问题衍射既是晶体的特性，也是波的特性入社晶体的波都会发生散射为什么波长大于2d的入射波通过晶体不产生衍射？从布拉格公式得到的解释：不满足衍射发生的充、要条件。这是一种数学意义的解释。原因当波长大于2d时，不同（相邻）晶面的散射波的程差达不到相干的条件(波长的整数倍），= (k-k) r /(1/)= Kr/(1/)=n与程差对应的相位差=2/ =2(k-k) r=2 Kr达不到2。ddkk为什么程差达不到相干的条件散射波的程差与相邻晶面的间距成正比，晶面的间距d小于波长的一半时，散射波的程差就不可能是波长的整数倍。这是一种物理意义上的解释。电子衍射几何关系的厄瓦尔德反射球作图法表示 以晶体点阵原点O1为圆心，以为半径1/作一圆球面，从O1作入射波波矢k，其端点O为相应的倒易点阵的原点，称为厄瓦尔德反射球。当倒易阵点G与反射球面相截时，衍射方程成立，即衍射波矢k就是从球心到这个倒易阵点的连线方向。反射球面是衍射方程的图解。 相对于倒易点阵来说，晶体的空间点阵是描述原子或原子团在三维空间中平移周期性的一种表达方式，是由具体的晶体结构抽象出来的。由于空间点阵的内容代表了真实的物质，是具体的客观存在。而倒易空间点阵是由正空间点阵推导出来的，倒易空间点阵不代表真实的物质内容，是抽象的客观存在。但是倒易空间点阵在描述电子衍射方面具有诸多便利。因为从倒易阵点与反射球面的相对几何关系就能判断在方向是否有衍射束出现。 劳厄方程劳厄方程 由衍射方程 可得到 代表一个倒易空间中与 正交的一个倒易点阵平面族。 劳厄方程组分别代表与基矢a、b、c正交的三个倒易点阵平面族。它们交于一点（倒易阵点）。只有当衍射矢量 的端点与这个倒易阵点相重时，三个劳厄方程才能同时被满足。劳厄方程组是衍射方程的另一种表达方式，它从正空间中的点阵方向（基矢的方向）出发，利用倒易空间中的点阵平面确定衍射的几何关系。当三个劳厄方程中有一个不成立时（如薄片状晶体或层状缺陷导致的不完整性 ），其它两个劳厄方程代表的两个倒易点阵平面相交于一条直线（倒易点阵方向），衍射矢量的端点与这个倒易点阵方向相遇，就会产生衍射。 从几何作图的角度看，就是反射球构图上就是只要这个倒易点阵方向与反射球面相截，就会产生衍射斑点或条纹。当有两个劳厄方程不成立时（针状晶体或两个方向有层状缺陷导致的不完整性 ），剩下的那个劳厄方程中所代表的倒易点阵平面与反射球面相截，将产生漫散的衍射条纹，其形状取决于倒易点阵平面与反射球面相截的情形。 干涉函数干涉函数 衍射方程规定只有当入射电子数与点阵平面的夹角正好满足布拉格方程式（倒易阵点必须严格地与反射球面相交 ），才能产生衍射束，偏离这一方向，衍射束的强度为零。倒易阵点是数学意义的几何点 真实晶体的大小都是有限的，晶体内部都有各式各样的晶体缺陷，相应的倒易阵点也有一定的大小和几何形状。衍射束的强度分布有一定的角度范围。 倒易阵点的中心不落在反射球面上，布拉格方程虽不能严格成立，但也能产生衍射。衍射矢量 一般称为偏离矢量或偏离参量，它表示倒易阵点偏离反射球面的程度，也反映衍射束偏离布拉格衍射角2的程度。 晶体在方向有个M1单胞，在方向有个M2单胞，在方向有个M3单胞，晶体对电子的衍射 令 求和后得到 称为干涉函数，它代表晶体的形状和大小对衍射强度分布的影响。 一维干涉函数及衍射强度随衍射条件及偏离参量以及参加衍射的单胞数目的变化。S1=0处，所有单胞的散射波有相同的位相，严格满足衍射方程，在倒易阵点中心处干涉函数有极大值。 0s1S1=1/M1处，衍射强度下降为零。如果薄晶体的厚度方向与平行，主极大值两边的零点规定了薄晶体对电子相干散射影响的范围。倒易阵点不再是处于s1=0的几何点，而是一个长度为2/M1的倒易杆。参加相干散射的单胞数目越少，倒易阵点的延伸也越长，相干散射区间也越宽（强度降低） 。 三维干涉函数倒易阵点沿a，b，c三个方向分别展宽为2/aM1，2/bM2，2/cM3。正空间内晶体的体积比例于 M1M2M3，倒易空间内倒易点阵的体积比例于（M1M2M3）-1 ，两者互成反比。只有在晶体在三维空间是无穷大情况下，倒易阵点才是一个几何点。对于有限大小的晶体，其倒易阵点宽化的情况是多种多样的。 有效的倒易杆长度为1/t 电子显微镜成像原理Abbe成像原理电子衍射图的形成电子衍射图的形成 晶体产生衍射的条件和几何关系由衍射方程、布拉格方程和劳厄方程作出了严格规定。每一个衍射束对应于一个倒易阵点，所有与反射球面相交的倒易阵点构成了一张电子衍射花样。电子衍射图的形成取决于倒易阵点相对于反射球面的分布情况。晶体发生平移，其倒易阵点的空间分布不发生变化。晶体绕某以晶体方向发生转动，其倒易阵点一随之发生转动，与反射球面相交的倒易阵点数目和相交的位置都会发生变化，导致衍射束的数目，分布发生变化。 电子衍射图的几何特征电子衍射图的几何特征 由衍射方程的作图法可知，衍射花样的特征取决于和反射球面相交的那些倒易阵点的分布。所以电子衍射的几何特征通常是由一个反射球面与倒易点阵相交截出的倒易空间曲面决定。由于晶体样品的点阵单胞参数是确定的，所以它的倒易阵点的空间分布也是确定的，所以与反射球面相交的倒易阵点取决于反射球面曲率的大小 。电子衍射图与晶体倒易点阵的关系电子衍射图与晶体倒易点阵的关系对衍射花样的特征有重要影响的因素是入射电子束的波长，它决定了反射球面的曲率，也就影响反射球面与倒易点阵的相对位置。在高能电子衍射的情况下，100千伏加速电压产生的电子束的波长是0.037埃，反射球的半径是27埃-1。而典型金属晶体低指数晶面间距约为2埃，相应的倒易矢量长度约为0.5埃-1。这就是说，反射球的半径比晶体低指数晶面的倒易矢量长度大50多倍。 在倒易点阵原点附近的低指数附近的低指数倒易阵点范围内，反射球面非常接近平面。电子显微镜的加速电压越高，反射球的半径越大，在倒易点阵原点附近反射球面越接近平面。在反射球面近似为一个平面的情况下，它与三维倒易阵点交截得到的曲面为一个平面，即一个二维倒易点阵平面。在这个倒易平面上的低指数倒易阵点都和反射球面相交，满足衍射方程，产生相应的衍射电子束。所以电子衍射图的几何特征与一个二维倒易点阵平面相同。 单晶材料的电子衍射特征明锐的衍射斑点，靠近透射电子束的衍射斑点有较高的强度，外侧衍射束的强度逐渐降低 ；衍射斑点的间距与晶面距离的倒数成正比；衍射斑点形成规则的几何形状-二维网格；衍射斑点的几何形状与二维倒易点阵平面上倒易阵点的分布是相同的；电子衍射图的对称性可以用一个二维倒易点阵平面的对称性加以解释。 La3Cu2VO9晶体的电子衍射图如果晶粒尺度很小，且晶粒的结晶学取向在三维空间是随机分布的，产生衍射束的样品中包含了众多的晶粒，涵盖了所有的晶体取向，即同名晶面族对应的倒易阵点在倒易空间中的分布是等几率的，无论电子束沿任何方向入射，同名晶面族对应的倒易阵点与反射球面相交的轨迹都是一个圆环形，由此产生的衍射束均为圆形环线。所有衍射束形成的衍射花样为一些围绕透射束的同心圆环。多晶材料的电子衍射多晶体的倒易空间特征如果包含有足够多的晶粒，每一个同名正点阵晶面对应的倒易阵点在倒易空间中的分布形成一个以倒易点阵原点为球心的球面 。反射球面与它们相交得到的轨迹都是一些半径恒定的，并且以倒易点阵原点为中心同心圆环。 减少参与衍射的晶粒数，保持晶粒平均尺度不变，就相当于在各个同指数倒易阵点形成的同心倒易球面上取出一些倒易点，使得这些倒易球面不再是连续的球面。它们相交得到的轨迹都是一些半径恒定的，并且以倒易点阵原点为中心同心圆弧线或衍射斑点。 NiFe多晶纳米薄膜的电子衍射多晶体的电子衍射特征1.半径恒定的同心圆环衍射线2.同心圆环的半径依赖于点阵晶面间距3.这些同心圆环衍射线的形状与入射电子束的方向无关。非晶态物质衍射非晶态结构物质的特点是原子的分布在非常小的范围内有一定的序，即每个原子的近邻原子的排列仍具有一定的规律，呈现一定的几何特征。原子排列的短程序使得许多非晶态材料中仍然较好地保留着相应晶态结构中所存在的近邻配位情况，可以形成具有确定配位数和一定大小的原子团，如四面体，八面体或其它多面体单元。不再具有平移周期性，因此也不再有点阵和单胞。 非晶态材料中原子团形成的这些多面体在空间的取向是随机分布的。由于单个原子团或多面体中的原子只有近邻关系，反映到倒空间也只有对应这种原子近邻距离的一或两个倒易球面。反射球面与与它们相交得到的轨迹都是一或两个半径恒定的，并且以倒易点阵原点为中心同心圆环。 由于单个原子团或多面体的尺度非常小，其中包含的原子数目非常少，倒易球面也远比多晶材料的厚。所以，非晶态材料的电子衍射图只含有一个或两个非常弥散的衍射环。 非晶态材料电子衍射图的特征影响电子衍射的因素反射球曲率的影响；晶体取向的影响；晶体形状的影响；样品厚度的影响；晶体结构的影响；微观对称元素的影响；多次衍射；晶体缺陷的影响；高级劳厄衍射的影响。电子衍射的误差电子衍射的误差 电子衍射谱的误差主要来源于衍射常数，现代电子显微镜加速电压的稳定性已能达到V/V=10-7的水平，入射电子波长的变化相对于电子衍射的精度来讲是可以忽略的，所以电子波的非单色性并不是影响电子衍射精度的主要来源。通常影响电子衍射试验精度的因素主要来源于等效相机长度L=f0M的误差，物镜的焦距f0由物镜的励磁电流强度决定，而电子显微镜给出的放大倍数并不准确，一般情况下，透镜系统的放大倍数的误差约为5%左右。所以，由电子衍射方法测量的晶面间距的误差与放大倍数的误差相当，精度低于5%。 反射球半径的影响电子衍射几何分析的基本构图，实心圆点是记录到的衍射束位置，空心圆环是衍射束的实际位置。由于反射球的曲率，它们不重合。点G可以看作是点G沿O1G方向的投影，（长度为1/d）的投影长度为R。电子衍射图是一个放大了的二维倒易点阵面，衍射常数L是其放大倍数。 因为三角形O1OG相似于三角形O1OG，有 整理得到由三角形O1OG和O1OG得到关系式 对于高能电子束来讲，电子波长很短，衍射角一般小于3o,利用近似关系 用OG代替OG，得到 反射球曲率对衍射的影响Rd=L在tg=和sin =的假设下得到的，随着衍射角的增加，OG与OG的差值也将增大，实测值R比真实值要长一些。为了保证实测值与真实值接近，衍射常数沿径向不再是常数，离透射束越远，越大。准确的关系式为 反射球曲率引起的误差尽管 式在通常的电子衍射谱分析中已能达到所要求的精度，一般不需要利用 进行修正，由于反射球面不是一个真正的平面，除了导致点与点不重合引起的衍射电子束投影误差外，反射球面的弯曲还可能产生额外的衍射束，引起电子衍射图细节的变化。 晶体取向的影响晶体取向的影响当调节样品的取向使入射电子束恰好沿着某一次旋转对称轴入射到样品上时，由这个次旋转对称所联系的、有相同指数的倒易阵点（或晶面族）满足衍射方程的程度相同，所以与这些倒易阵点对应的衍射斑点具有相同的强度。如果入射电子束略微偏离这个次旋转轴时，反射球面也相应地偏离了原来的位置，使得原来强度相同的那些衍射斑点相对于反射球面的位置发生变化，一部分倒易阵点远离反射球面，另一部分倒易阵点靠近反射球面，它们满足衍射方程的程度不再相同，这些倒易阵点所代表的衍射斑点也就不再具有相同的强度，一些斑点看上去比另外一些斑点要亮。 晶体取向对电子衍射图的影响晶体取向对电子衍射图的影响 改变晶体取向引起的倒易阵点与反射球面交截情况变化 ；晶体取向的变化导致电子衍射束的强度、数目以及对称性都发生明显变化，因为晶体取向的变化改变了衍射条件当入射电子束严格平行晶带轴时衍射图的几何构图 入射电子束偏离晶带轴时衍射图的几何构图 晶体形状对电子衍射的影响有限大小的晶体导致其倒易阵点宽化；晶体是一个长度为l的一维生长的晶须，其倒易阵点在与晶须正交平面内延展成一个厚度为2/l的二维倒易薄片； 晶体是一个厚度为t二维的晶体薄片，倒易阵点在此晶片的法线方向拉长成一个长度2/t为的一维倒易杆 由于衍射强度急剧下降，因此可以认为有效的倒易杆长度仅为1/t 。晶体形状对倒易点的影响样品厚度的影响样品厚度的影响 非常薄的三维晶体，其倒易阵点的形状也受到一定影响。在入射电子束方向上倒易阵点者全部变成一个个的倒易杆。样品越薄，倒易杆拉伸的越长，同一倒易平面上就有更多的倒易阵点与反射球面相交，产生衍射斑点。衍射图中零阶劳厄带的范围也就越大。 厚样品容易产生多次衍射和高阶劳厄衍射。 晶体结构对电子衍射图的影响晶体结构对电子衍射图的影响 单胞内的原子分布可以影响结构因数或衍射束的强度，考虑到原子分布的情况，与不同晶面指数对应的倒易阵点不再是完全相同的，应具有不同的权重。权重大的倒易阵点与反射球面交截产生的衍射束强度也大，反之，权重小的倒易阵点与反射球面交截产生的衍射束强度也小。点阵类型不同，形同消光的规律也不同。 由于单胞内原子的分布是受到单胞对称性支配的，不同的晶体结构具有不同的对称性，所以不同晶体结构产生的电子衍射图是不同的。在晶体对称性的制约下，单胞内原子的数目和占位均受到严格的限制。 -Fe是体心立方结构，每个单胞中有两个Fe原子分别位于单胞的原点（0 0 0）和体心位置（1/2 1/2 1/2），而面心立方结构-Fe晶体的每个单胞中有四个Fe原子，它们分别位于单胞的原点（0 0 0）和面心位置（0 1/2 1/2，1/2 0 1/2，1/2 1/2 0），可计算出-Fe和-Fe的结构因数分别是 它们具有不同的结构因数，相同指数的晶面产生的衍射电子束具有不同的强度，200晶面产生的衍射强度 结构因数 和 等于零的条件也不相同，110晶面， 因此 -Fe和-Fe晶体产生的电子衍射图中衍射斑点的分布也是不同的。 系统消光系统消光 由于晶体结构的差异引起衍射电子束消失的现象称为系统消光或点阵消光。衍射图中是否出现系统消光主要取决于单胞的类型。由于单胞的类型有4种（初级单胞，底心单胞，体心单胞和面心单胞），它们产生的系统消光有不同的规律。对于初级单胞来讲，只含有位于原点处（0 0 0）的一个阵点，在面心和体心位置没有阵点存在，计算得到的结构因数不为0，因此可知，所以初级单胞不产生系统消光。 底心点阵的系统消光底心单胞除了位于原点的一个阵点，还有位于底心位置（1/2 1/2 0）的另一个阵点。它的结构因数为 当h+k=2n+1（n为任意整数）时，结构因数为 0 体心和面心点阵的系统消光体心单胞和面心单胞系统消光的规律分别为h+k+l=2n+1和hkl 具有不同的奇、偶性。所以衍射束的系统消光只出现在非初级单胞的情况，并且具有严格的规律性。系统消光也可以从倒易点阵的角度来理解。从正点阵与倒易点阵的对应关系可知初级单胞的倒易单胞亦是初级单胞，它们的单胞类型完全相同。对于非初级正点阵单胞的倒易单胞与非初级正点阵单胞则并不一定属于同一类型。 000110200220020001111201221021000110200220020002112202221022000101121011211000200220020002111202222022底心 体心 面心 非初级正点阵单胞的倒易单胞与非初级正点阵单胞则并不一定属于同一类型，衍射图中系统消光的衍射斑点实际上是一些在倒易点阵中不存在的倒易阵点。 微观对称元素的影响微观对称元素的影响 晶体结构中存在的微观对称操作元素如滑移反映面和螺旋轴可以引起电子衍射的系统消光；对称面为（100），滑移矢量是1/2001的滑移反映操作将使0kl晶面产生的衍射束中l为奇数的衍射束发生有规律的系统消光 螺旋轴则只会使沿螺旋轴滑移方向的一列衍射束中的一些衍射消光，这相当于某一列倒易阵点中的一些倒易阵点不出现。 螺旋轴 引起的消光以沿010点阵方向的二次螺旋轴为例，平移矢量是1/2010，它作用于（x y z）的等效元素得到一个位于（-x y+1/2 -z）的新等效元素，计算得到的结构因数为对0k0衍射束来讲，k =2n+1时,结构因数为0，产生规律的系统消光。沿010点阵方向的四次螺旋轴41则有平移矢量是1/4010，它作用于（x y z）的等效元素得到三个分别位于（-z y+1/4 x），（-x y+1/2 -z），（z y+3/4 -x）的新等效元素，计算得到的结构因数为 对于0k0衍射束结构因数可以简化为当k4n时，结构因数为0，所以只有k=4n的0k0衍射束才能出现，其它的0k0衍射束均发生消光。 滑移面的消光以（100）面的010滑移反映面为例，该滑移反映面对称操作以（100）面为镜面反映面，滑移矢量是1/2010。该滑移反映面作用在位于（x y z）位置的等效元素得到一个位于（-x y+1/2 z）的新等效元素。这两个等效元素得到的结构因数为 当h=0时，结构因数简化为 从中可以看出当k=2n+1时,结构因数为0，也就是说，0kl晶面产生的衍射束中k为奇数的衍射束发生有规律的系统消光。 多次衍射多次衍射 由于原子对入射电子的强烈散射作用，使得在晶体内产生的衍射束有相当高的强度，这些强衍射束可以作为新的入射源，继续在晶体内再一次产生衍射，这种次级衍射称为二次衍射；二次衍射形成的衍射斑点会使那些原本结构因数为零的禁止衍射出现在衍射图中，而且还会减弱各个衍射束之间的强度差异。 满足关系r1*+r2*=r3*才能产生二次衍射, r2*并不一定必须在反射球面上OG1G2G3G4G5G6OG2G1G3G5G4G6G7G8一次衍射图 二次衍射图 合成次衍射图