引言引言 自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类：自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类： 确定性现象确定性现象：在一定条件下必然发生某一结果的现象。：在一定条件下必然发生某一结果的现象。 其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结果总是确定不变的。果总是确定不变的。 例如：在标准大气压下，纯水加热到例如：在标准大气压下，纯水加热到1001000 0C C时必然会沸腾，时必然会沸腾，半径是半径是R时，圆面积一定是时，圆面积一定是 等。等。 随机现象：随机现象：在相同条件下，重复进行实验或观察，它的结在相同条件下，重复进行实验或观察，它的结果未必是相同的现象。果未必是相同的现象。 其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。 例如：掷硬币出现正面反面情况，在一定条件下，某射例如：掷硬币出现正面反面情况，在一定条件下，某射手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。 概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性的数学分支。的数学分支。 确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因果关系。果关系。 概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现象的大量观察揭示其规律性。象的大量观察揭示其规律性。 同学在学习中要注意其规律和方法。同学在学习中要注意其规律和方法。 随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。这正是概率论所研究的对象这正是概率论所研究的对象。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念随机试验随机试验 我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试验，记为验，记为E E。 叙述试验，我们要注意到：叙述试验，我们要注意到： 1 1、“在一定条件下，进行一次试验在一定条件下，进行一次试验”包括内容：包括内容： 试验条件；试验条件； 观察特性（要观察的目的）观察特性（要观察的目的） 2 2、结果的描述、结果的描述 随机试验有什么特点？下面举例看一看！随机试验有什么特点？下面举例看一看！随机试验随机试验E，样本空间，样本空间 ， 基本事件，事件，概率的定义基本事件，事件，概率的定义序号序号试验条件试验条件观察特性观察特性可能结果可能结果E1 1将一枚硬币抛掷一将一枚硬币抛掷一次次出现正面出现正面H反反面面T的情况的情况H, TE2 2将一枚硬币抛掷二将一枚硬币抛掷二次次同上同上E3 3从六张卡片每张标从六张卡片每张标有有1 1，2 2， ，6 6一个一个数字数字（4张红色，张红色，2张白色）任取一张张白色）任取一张观察抽取卡片观察抽取卡片上的号码数上的号码数1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6E4 4同上同上观察卡片上的观察卡片上的颜色颜色“红色红色”，“兰色兰色” 上面所列举的试验，其共同的特点是：上面所列举的试验，其共同的特点是： 1 1、可以在相同的条件下重复进行（可重复性）、可以在相同的条件下重复进行（可重复性） 2 2、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果能的结果 （预知性）（预知性） 3 3、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机性）性） 具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E E。 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。（二）随机试验（二）随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件，的每一个可能出现的结果叫做基本事件， 记为记为 或或e所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为样本点样本点 满足两点：满足两点：1 完备性：样本点是完备性：样本点是E 的所有可能结果的所有可能结果2 互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。 记为记为A，B，C.集合论集合论全集（集合）全集（集合）点点子集子集概率论概率论样本空间样本空间S S样本点样本点 （基本事件）（基本事件）事件事件A A关系：关系：如如（出现正面）（出现正面）（第二次出现正面）（第二次出现正面）（取到卡片上号码大于（取到卡片上号码大于3）=C =（4，5，6）（四）频率与概率（四）频率与概率频率：在相同条件下，独立重复进行频率：在相同条件下，独立重复进行n次试验，在这次试验，在这n次试验中，次试验中， 事件事件A发生的次数发生的次数nA叫事件发生的频数，比值叫事件发生的频数，比值nA/n称为事称为事 件件A发生的频率，发生的频率， 记为记为f n(A)。 特点：（特点：（1）频率在一定程度上可以反映事件）频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小。发生的可能性大小。 （2）具有波动性的弱点。）具有波动性的弱点。频率具有频率具有“稳定性稳定性”的特性，即当试验次数的特性，即当试验次数n逐渐增大时。逐渐增大时。频率频率f n(A)逐渐稳定某一逐渐稳定某一 定数定数。 实验者实验者 试验次数试验次数正面向上次数正面向上次数正面向上频率正面向上频率德德. .摸根摸根204810610.5181蒲丰蒲丰404020480.5069K.K.皮尔逊皮尔逊1200060190.5016例：掷一枚均匀硬币，记录前例：掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中，正面出次掷硬币试验中，正面出现频率现频率 fn (H)的趋势，如图的趋势，如图0.51由上面演示可看出：由上面演示可看出： 在多次试验中，事件的频率总是在一个在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值定值“附近摆动，附近摆动，而且当试验次数而且当试验次数n越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。 我们将频率稳定于某一定数定义为我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率，记发生的概率，记P(A)。用它表示事件用它表示事件A发生的可能性大小。发生的可能性大小。概率的频率定义概率的频率定义 在在一一组组不不变变的的条条件件下下，重重复复作作n次次试试验验，记记m是是n次次试试验验中中事事件件A发发生生的的次次数数。当当试试验验次次数数n很很大大时时，如如果果频频率率m/n稳稳定定地地在在某某数数值值p附附近近摆摆动动，而而且且一一般般地地说说，随随着着试试验验次次数数的的增增加加，这这种种摆摆动动的的幅幅度度越越来来越越小小，称称数数值值p为为事事件件A在在这这一一组组不不变变的条件下发生的概率，记作的条件下发生的概率，记作P(A)=p.概率的定义：设概率的定义：设S是试验是试验E的样本空间，对于的样本空间，对于E的每一事件的每一事件A赋予赋予一个实数一个实数P(A)，如果如果P(A)满足：满足：公理（公理（1）对于任何事件）对于任何事件A，有有公理（公理（2）对于）对于S，有，有P(S)=1公理（公理（3）对于对于两两互斥的事件）对于对于两两互斥的事件A1,A2,Am, 则称则称P(A)为事件为事件A的概率的概率概率的公理化定义概率的公理化定义 二二. 概率的计算概率的计算（一）直接计算（一）直接计算古典概型古典概型: 1. E的样本空间的样本空间S只含有限个样本点（基本事件）记只含有限个样本点（基本事件）记 n2. E的每个基本事件发生的可能性相同的每个基本事件发生的可能性相同古典概型中古典概型中:其中其中n是是S中中 的个数的个数k是是A中包含的中包含的 个数个数（1）计算计算n，k要用到两个基本原理和排列、组合要用到两个基本原理和排列、组合1. 乘法原理乘法原理如果完成某件事需经如果完成某件事需经k个步骤个步骤第一个第一个 第二个第二个 第第k个个 步骤有步骤有 步骤有步骤有 步骤有步骤有n1种方法种方法 n2种方法种方法 nk种方法种方法 必须经过每一步骤才能完成此事。必须经过每一步骤才能完成此事。则完成这件事共有则完成这件事共有 种不同方法种不同方法如如 火车3列 火车2列北京 飞机2班 济南 飞机3班 上海 汽车4趟 汽车2趟北京到上海的走法共有北京到上海的走法共有2. 加法原理加法原理 设完成某件事有设完成某件事有k种方式：种方式：第一种第一种 第二种第二种 第第k种种 方式有方式有 方式有方式有 方式有方式有n1种方法种方法 n2种方法种方法 nk种方法种方法无论通过哪种方式都可以完成此事。无论通过哪种方式都可以完成此事。则完成这件事总共有则完成这件事总共有n1+n2+nk 种方法。种方法。如如 火车火车5列列 北京北京 飞机飞机3班班 天津天津 汽车汽车6趟趟北京到天津的共有北京到天津的共有3+5+6=11种方法种方法排列公式排列公式如：如：该公式可视为以下模型：该公式可视为以下模型：m个球放在个球放在n个盒子中，每个盒子最多个盒子中，每个盒子最多有一个球（或说有一个球（或说m个球都不在同一盒子中）个球都不在同一盒子中）第一个球任意放在第一个球任意放在n个盒中之一，有个盒中之一，有n种方法可放种方法可放第二个球任意放在剩下第二个球任意放在剩下n-1个盒中之一，有个盒中之一，有n-1种方法种方法第第m个球任意放在剩下个球任意放在剩下n-m+1个盒中之一，有个盒中之一，有n-m+1种方法种方法 把把m个球全放完共有方法：个球全放完共有方法：种种特别：特别：可重复排列，如：可重复排列，如：m个球任意放入个球任意放入n个盒子中，盒中个盒子中，盒中球的个数不限，共有方法球的个数不限，共有方法 种。种。如：从如：从0，1，2.9个数字中任取个数字中任取7个数字为某城市的电话个数字为某城市的电话号码，该城市最多可安装电话的部数是号码，该城市最多可安装电话的部数是组合公式：组合公式：（2）抽样方法抽样方法10无放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，不放回再无放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，不放回再 取一个，又不放回，再取下一个取一个，又不放回，再取下一个.20 有放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，放回再有放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，放回再 取一个，又放回，再取下一个取一个，又放回，再取下一个.例例1：从：从1，3，5三个数字中任取一个数字，求取的数字大三个数字中任取一个数字，求取的数字大 于等于于等于3的概率？的概率？解：设解：设A表示事件表示事件“任取一个数字大于等于任取一个数字大于等于3”。S=1,3,5, n=3, k=2例例2：从：从1，3，5三个数字中任取一个数字，不放回的再从中三个数字中任取一个数字，不放回的再从中任取一个数字。求下列事件的概率。任取一个数字。求下列事件的概率。（1）“第一次取的是第一次取的是3，第二次取的是，第二次取的是5”=A（2）“取的两个数字是取的两个数字是3和和5”=B分析分析第一次取球的情况第一次取球的情况不放回，第二次抽取不放回，第二次抽取1 3 53 5 1 5 3 1可知可知S=(1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3)解：解： n=6(1) k=1(2) k=2此问题，能否用如下方法计算是否对？此问题，能否用如下方法计算是否对？例例3. 如果例如果例2中的抽样方法为有放回抽样，求中的抽样方法为有放回抽样，求P(A),P(B)第一次取球的情况第一次取球的情况有放回，第二次抽取有放回，第二次抽取1 3 51 3 5 1 3 5 1 3 5 S=(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)n=9分析分析解：解： 例例4：从分别标号为：从分别标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的的9件同型产件同型产品中，有放回的任取品中，有放回的任取3件，求件，求“取得取得3件的号码都是偶数件的号码都是偶数”的概率？的概率？分析：由于是有放回的抽取，每取一件产品都有分析：由于是有放回的抽取，每取一件产品都有9种不同的取法。种不同的取法。有放回的抽取有放回的抽取3件，便有件，便有 种不同的结果种不同的结果而要求取得的号码是偶数，所以只能从标号为偶数的而要求取得的号码是偶数，所以只能从标号为偶数的4个中取得，个中取得，有放回的取有放回的取3件，便有件，便有 种不同的结果。种不同的结果。解：解：设设D=“取得取得3件产品的标号都是偶数件产品的标号都是偶数”思考：如果是无放回的抽取，结果如何呢？思考：如果是无放回的抽取，结果如何呢？例例5. 在在100件同型产品中有件同型产品中有5件废品，其余都是正品。今从件废品，其余都是正品。今从100件中无放回的任取件中无放回的任取10件，求取的产品正好有三件废品的概率件，求取的产品正好有三件废品的概率分析：正好取得分析：正好取得3件废品实际上是件废品实际上是“正好取得正好取得3件废品，件废品，7件正品件正品从从100件中无放回的取件中无放回的取10件，共有件，共有 种不同的取法。种不同的取法。正好取得正好取得3件废品，只能从件废品，只能从5件废品中任取件废品中任取3件，共有件，共有 不同的取法不同的取法而另外而另外7件必须从件必须从95件正品中取得，其不同的取法有件正品中取得，其不同的取法有 种。种。所以正好取得所以正好取得3件废品共有件废品共有 种不同的取法种不同的取法解：解：设设A=“正好取得正好取得3件废品件废品”“A、B中中至至少少有有一一个个发发生生时时”， “A发发生生或或B发发生生”与与“事件事件A B发生发生”是等价的。是等价的。（二）用概率性质（二）用概率性质（1）集合运算：和、交（积）、差，自己复习）集合运算：和、交（积）、差，自己复习“事事件件A和和B同同时时发发生生”， “A发发生生且且B发发生生”， “A和和B都发生都发生”与与“事件事件AB发生发生”是等价的。是等价的。A发生且发生且B不发生时，事件不发生时，事件A B发生发生。A与与B互斥（互不相容）即互斥（互不相容）即A与与B没有共同元素没有共同元素AB A与与B对立（互逆）对立（互逆）满足条件：满足条件：且且A AS-A也称为也称为A的逆事件，记为的逆事件，记为（2）概率的性质。要熟记）概率的性质。要熟记10 若若则则 20 一般加法公式一般加法公式ABAB30两两互斥，则两两互斥，则如：产品的次品率是如：产品的次品率是5% （次品）（次品）=A（正品）（正品）=40BAAB例例5：甲、乙二人独立破译密码，甲、乙能译出的概率依次：甲、乙二人独立破译密码，甲、乙能译出的概率依次 为为0.5，0.6，又知甲乙能同时译出的概率是，又知甲乙能同时译出的概率是0.4，求密码能，求密码能 译出的概率？译出的概率？解：（甲能译出）解：（甲能译出）=A（乙能译出）（乙能译出）=B（甲乙能同时译出）（甲乙能同时译出）=AB由条件知由条件知 P(A)=0.5P(B)=0.6P(AB)=0.4P(密码能译出密码能译出)= P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB) =0.5+0.6-0.4=0.7 例例6：已知事件：已知事件A的概率的概率P(A)=0.6，求求法一：条件扩大法一：条件扩大法二：法二：B BA例例7：在同型产品中，有：在同型产品中，有8件次品，其余为正品，今从这件次品，其余为正品，今从这100 件产品中，任取件产品中，任取10件。求至少取得件。求至少取得1件次品的概率。件次品的概率。解：记解：记A=“至少取得一件次品至少取得一件次品”.法一：用古典概率知：法一：用古典概率知：法二：先计算法二：先计算=“不取得次品不取得次品”三、条件概率与乘法公式三、条件概率与乘法公式例：甲、乙两厂生产同一种零件，它们的产品情况如下表：例：甲、乙两厂生产同一种零件，它们的产品情况如下表：产品混放在一起，从中任取一件产品，产品混放在一起，从中任取一件产品，（1）“取得的一件产品是甲厂生产的取得的一件产品是甲厂生产的”=A。 求求P(A)（2）“取得的一件产品是次品取得的一件产品是次品”=B。求。求P(B)（3）“取得的一件产品是甲厂生产的次品取得的一件产品是甲厂生产的次品”=AB 求求P(AB)（4）已知取得的一件是甲厂的产品，求它是次品的概率）已知取得的一件是甲厂的产品，求它是次品的概率，正品正品次品次品小计小计甲厂甲厂505020207070乙厂乙厂25255 5303075752525100100解：解：注意：以上四个问题的不同之处，什么叫注意：以上四个问题的不同之处，什么叫“条件条件”。定义：若定义：若P(A)0,A发生的条件下发生的条件下B发生的条件概率为发生的条件概率为若若P(B)0,B发生的条件下发生的条件下,A发生的条件概率为发生的条件概率为计算方法（一）公式法计算方法（一）公式法 * （二）直接计算（二）直接计算 *注：条件概率具有概率的性质。请自己总结注：条件概率具有概率的性质。请自己总结（2 2） 乘法公式乘法公式若若P(A)0有有P(B)0有有注意：注意： 如何把实际问题表述成事件的关系运算来求如何把实际问题表述成事件的关系运算来求解。解。 区分区分如：一批产品是甲、乙二厂生产的，从中任取一件产品。如：一批产品是甲、乙二厂生产的，从中任取一件产品。“任取一件是甲厂的产品任取一件是甲厂的产品”=A，“任取一件是次品任取一件是次品”=B，求甲厂的生产的次品求甲厂的生产的次品的概率。如何表达？的概率。如何表达？甲厂产品的次品率。甲厂产品的次品率。如何表达？如何表达？例例8:盒中有盒中有10件同型产品，其中件同型产品，其中8件正品，件正品，2件次品。现从件次品。现从盒中无放回的连取盒中无放回的连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。件，求第一次、第二次都取得正品的概率。解：记解：记A=“第一次取得正品第一次取得正品”B=“第二次取得正品第二次取得正品”则则 AB =“第一次取得正品，第二次也取得正品第一次取得正品，第二次也取得正品”因为在第一次已取得正品下，第二次在取得产品时，盒中只剩因为在第一次已取得正品下，第二次在取得产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有件产品，其中正品只有7件。所以件。所以由乘法公式得：由乘法公式得：例例9:将将6个球（其中个球（其中3个红球，个红球，3个白球）随机放入个白球）随机放入3个盒子中。个盒子中。求每个盒子正好都放入一个红球一个白球的概率。求每个盒子正好都放入一个红球一个白球的概率。解：记解：记Ai =“第第i个盒子正好放入一个红球一个白球个盒子正好放入一个红球一个白球”，i=1,2,3则则“每盒正好放入一个红球一个白球每盒正好放入一个红球一个白球”事件可表成事件可表成A1A2A3。由概率的乘法公式得：由概率的乘法公式得：例例10:某厂产品的次品率是某厂产品的次品率是0.04，正品中一等品占，正品中一等品占90%，求从这批产品中任取一件是一等品的概率求从这批产品中任取一件是一等品的概率?解：设解：设“正品正品”=A，“一等品一等品”=B已知已知P(A)=0.96P(任取一件产品是一等品任取一件产品是一等品)=P(B)(4) 事件的独立性事件的独立性如果如果说明说明B的发生对的发生对A发生的概率无影响发生的概率无影响说明说明 A的发生对的发生对B发生的概率无影响发生的概率无影响称称 A与与B互相独立。互相独立。定义：若事件定义：若事件A,B满足满足则称则称A和和B互相独立。（反之也成立）互相独立。（反之也成立）若若互相独立，则互相独立，则注意：注意：互相独立的定义应是：互相独立的定义应是：两两独立两两独立必须满足以上所有等式都成立。必须满足以上所有等式都成立。 有有小结：（小结：（1）A和和B独立独立一般情况一般情况 （2 2）如果已知）如果已知A与与B相互独立，则可知：相互独立，则可知： （3 3）如果）如果A与与B相互独立，则相互独立，则 如甲、乙二人的射击问题。如甲、乙二人的射击问题。例例11:已知事件已知事件A与与B相互独立相互独立,且知且知则则 解：解：例例12:已知已知（1）若）若A与与B互斥。互斥。求：求：（2）若）若A与与B互相独立互相独立求：求：解：解：（1）若）若A与与B互斥。互斥。（2）若）若A与与B互相独立互相独立注意：注意：A与与B对立（互逆），对立（互逆）， A与与B互斥（互不相容），互斥（互不相容）， A与与B独立的概念区别，用处。独立的概念区别，用处。A与与B对立对立A与与B互斥互斥A与与B互相独立互相独立？ABAB若若则则即即AB例例12:甲、乙两名稳健射手各对目标射出一发子弹，记：甲、乙两名稳健射手各对目标射出一发子弹，记：A=“甲命中目标甲命中目标”，B=“乙命中目标乙命中目标”，已知，已知求：（求：（1）甲、乙都命中目标的概率。）甲、乙都命中目标的概率。 （2）甲乙至少有一人命中目标的概率。）甲乙至少有一人命中目标的概率。解：因为甲、乙二人都稳健，可认为其中一人命中与否，解：因为甲、乙二人都稳健，可认为其中一人命中与否，不影响另一人命中与否的概率，即不影响另一人命中与否的概率，即A与与B互相独立。互相独立。（2）法一：）法一：法二：法二：且易知且易知 与与 独立独立例例13:袋中有袋中有4个红球，个红球，3个白球，每次从中任取一个不放回的个白球，每次从中任取一个不放回的取二次，求下列事件的概率。取二次，求下列事件的概率。（1）第二次才取到红球。（）第二次才取到红球。（2）第二次取到红球。）第二次取到红球。解：设解：设 表示第表示第i次取到的是红球。次取到的是红球。i=1,2(1) P第二次才取到红球第二次才取到红球（2）四、全概率公式与贝叶斯公式四、全概率公式与贝叶斯公式 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，B1，B2，Bn为为E的一组的一组事件，且事件，且即即则则（全概率公式）（全概率公式）（贝叶斯公式）（贝叶斯公式）小结：用全概率公式求解问题一般应具有三个条件。小结：用全概率公式求解问题一般应具有三个条件。（1）问题是求一个事件（如设为）问题是求一个事件（如设为A）的概率）的概率P(A)；（2）A的发生可能有的发生可能有“多种原因多种原因”或或“多种条件多种条件”或或“多种情况多种情况 下发生下发生”的诸事件记为：的诸事件记为： B1，B2，Bn，满足满足和和（3）由题中条件易求出）由题中条件易求出注意注意（4）k=1,2,.n例例14 某库内有同型产品某库内有同型产品1000件，其中件，其中500件是甲厂生产的件是甲厂生产的300件是乙厂生产的，件是乙厂生产的，200件是丙厂生产的。已知甲厂产品件是丙厂生产的。已知甲厂产品次品率为次品率为1%，乙厂产品次品率为，乙厂产品次品率为2%，丙厂产品次品率为，丙厂产品次品率为4%，今从库内任取一件产品，求：今从库内任取一件产品，求：（1）求取得一件次品的概率。）求取得一件次品的概率。（2）若已知取得一件次品，求取得的产品属于甲厂的产品）若已知取得一件次品，求取得的产品属于甲厂的产品的概率。的概率。解解（1）记）记 “取得的产品属于甲厂产品取得的产品属于甲厂产品”“取得的产品属于乙厂产品取得的产品属于乙厂产品”“取得的产品属于丙厂产品取得的产品属于丙厂产品”“取得一件次品取得一件次品”易知以下结论：易知以下结论：且且两两互斥两两互斥（2）贝努里试验贝努里试验每次试验有二个结果每次试验有二个结果A（成功）与（成功）与 （失败），叫贝努里试验（失败），叫贝努里试验在相同的条件下，独立进行在相同的条件下，独立进行n次试验叫次试验叫n重贝努里试验重贝努里试验En即即每次试验只有两个结果每次试验只有两个结果A和和 且且P(A)=p都相同。都相同。 各次试验独立各次试验独立En的的n次试验中，事件次试验中，事件A发生发生k次的概率为：次的概率为：如如表示第表示第i次试验次试验A发生发生P(n次独立试验中恰好有次独立试验中恰好有2次次A发生发生)例例15. 设每台机床在一天内需要修理的概率为设每台机床在一天内需要修理的概率为0.02，某车间有，某车间有50台这种机床，试求在一天内需要修理的机床不多于台这种机床，试求在一天内需要修理的机床不多于2台的概率。台的概率。每台每台修理修理A不修理不修理P(A)=0.2因此每台机床在一天内修理与否可看成是一次贝努里试验，因此每台机床在一天内修理与否可看成是一次贝努里试验，50台机床，可看成是台机床，可看成是50次独立重复试验次独立重复试验E50P(一一天内需要修理的机床不多于天内需要修理的机床不多于2台台)=P(一天内有一天内有0台需要修理台需要修理)+ P(一天内有一天内有1台需要修理台需要修理)+P(一天内有一天内有2台需要修理台需要修理)例例16.袋中有袋中有8个红球，个红球，3个白球，每次从中任取一个观察颜色后个白球，每次从中任取一个观察颜色后放回袋中，并往袋中加入放回袋中，并往袋中加入3个与所取得球同色的球，若在袋中连个与所取得球同色的球，若在袋中连续抽取两次，试求：续抽取两次，试求：（1）第二次才取到白球的概率。）第二次才取到白球的概率。（2）第二次取到白球的概率。）第二次取到白球的概率。8红红3白白原袋中情况原袋中情况第一次抽取第一次抽取袋中情况袋中情况11红红3 白白8红红6白白1红红1白白表示第表示第i次取到一白球次取到一白球设设（1）（2）