1.81.8函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的图像与性质的图像与性质( (二二) )【知识提炼知识提炼】函数函数y=y=AsinAsin（x+x+）(A0)(A0)的性质的性质定义域定义域 R R 值域值域 -A-A，A A 周期周期 T=T=对称轴对称轴方程方程 令令x+x+= = ，求得，求得x=x=对称对称中心中心 令令x+x+=_,=_,求得求得单调性单调性 递增区间由递增区间由 x+x+ 求得求得递减区间由递减区间由 x+x+ 求得求得k,kZk,kZ【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的最小正周期是的最小正周期是T= T= 吗吗? ?提示提示: :不是不是. .应为应为T= .T= .(2)(2)求函数求函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )在在 , 上的值域，当上的值域，当x x1 1=,x=,x2 2=时的函时的函数值是函数的最值吗？数值是函数的最值吗？提示：提示：不一定，若区间不一定，若区间 , 是函数的单调区间，当是函数的单调区间，当x x1 1=,x=,x2 2=时时的函数值是函数的最值，当区间的函数值是函数的最值，当区间 , 不是单调区间时，应将不是单调区间时，应将x+x+看作一个整体，结合图像求最值看作一个整体，结合图像求最值. .2.2.函数函数y=2sin y=2sin 的图像的两条相邻对称轴间的距离为的图像的两条相邻对称轴间的距离为( () ) 【解析解析】选选B. B. 故两条相邻对称轴间的距离为故两条相邻对称轴间的距离为 . .3.3.函数函数y=y=coscos 的最小正周期为的最小正周期为 , ,则则=( () )A.10 B.5 C.-10 D.A.10 B.5 C.-10 D.1010【解析解析】选选D.D.由由 解得解得: := =10.10.4.4.函数函数y=sin y=sin 的一个递增区间是的一个递增区间是( () )A.-,0A.-,0 【解析解析】选选B.B.因为因为 所以所以 当当k=0k=0时时, ,显然显然 5.5.函数函数y=sin2xy=sin2x在区间在区间 上的值域为上的值域为_._.【解析解析】因为因为x x , ,所以所以2x2x , ,结合图像可得函数的值域为结合图像可得函数的值域为 . .答案答案: :【知识探究知识探究】知识点知识点 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的性质的性质观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题: :怎样借助正弦函数的性质得到怎样借助正弦函数的性质得到y=y=Asin(x+Asin(x+) )的性质的性质? ?【总结提升总结提升】对函数对函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )性质的两点说明性质的两点说明(1)(1)借助周期性借助周期性: :研究函数的单调区间、对称性等问题时研究函数的单调区间、对称性等问题时, ,可以先研究可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性在一个周期内的单调区间、对称性, ,再利用周期性推广到全体实数再利用周期性推广到全体实数. .(2)(2)整体思想整体思想: :研究当研究当x,x, 时的函数的值域时时的函数的值域时, ,应将应将x+x+看作看作一个整体一个整体,利用利用x,x, 求出求出的范围的范围, ,再结合再结合y=y=sinsin的图像求的图像求值域值域. .【题型探究题型探究】类型一类型一 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的值域的值域【典例典例】(2015(2015衡水高一检测衡水高一检测) )已知函数已知函数f(xf(x)=2sin .)=2sin .(1)(1)求求f(xf(x) )最小正周期最小正周期. .(2)(2)求求f(xf(x) )在区间在区间 上的最大值和最小值及取得最值时上的最大值和最小值及取得最值时x x的值的值. .【解题探究解题探究】怎样求函数怎样求函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )在定区间上的值域在定区间上的值域? ?提示提示: :先求出先求出x+x+在定区间上的范围在定区间上的范围, ,将将x+x+看作一个角看作一个角, ,根据正根据正弦函数的图像写出值域弦函数的图像写出值域. .【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)最小正周期最小正周期 (2)(2)当当 所以所以 故故-12sin 2,-12sin 2,故函数的值域为故函数的值域为-1,2.-1,2.当当x=- x=- 时时, ,函数取最小值函数取最小值-1;-1;当当x= x= 时时, ,函数取最大值函数取最大值2.2.【延伸探究延伸探究】若本例条件不变若本例条件不变, ,试求函数在区间试求函数在区间 上的值域上的值域. .【解析解析】当当 故故 故函数的值域为故函数的值域为- ,2.- ,2.【方法技巧方法技巧】函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的值域的值域( (最值最值) )的求解策略的求解策略(1)xR(1)xR时时: :把把“x+x+”视为一个整体视为一个整体, ,结合函数结合函数y=y=Asinx+bAsinx+b中中sinxsinx的的有界性求其值域有界性求其值域. .(2)xa,b(2)xa,b时时: :把把“x+x+”视为一个整体视为一个整体, ,先依据先依据xa,bxa,b,求出求出“x+x+”的范围的范围, ,在此基础上类比函数在此基础上类比函数y=y=Asinx+bAsinx+b值域的求法值域的求法, ,结合结合函数单调性或函数图像求解函数单调性或函数图像求解. .【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+) ) 该函数所表示该函数所表示的曲线上的一个最高点为的曲线上的一个最高点为(2, ),(2, ),由此最高点到相邻的最低点间曲线由此最高点到相邻的最低点间曲线与与x x轴交于点轴交于点(6,0).(6,0).(1)(1)求求f(xf(x) )函数解析式函数解析式. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(3)(3)若若x0,8,x0,8,求求f(xf(x) )的值域的值域. .【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线y=y=Asin(Asin(x+x+) )的一个最高点是的一个最高点是(2, ),(2, ),得得A= ,A= ,又最高点又最高点(2, )(2, )到相邻的最低点间到相邻的最低点间, ,曲线与曲线与x x轴交于点轴交于点(6,0),(6,0),则则 =6-=6-2=4,2=4,即即T=16,T=16,所以所以 此时此时 代入得代入得 所以这条曲线的解析式为所以这条曲线的解析式为 (2)(2)因为因为 解得解得x16k-6,2+16k,kZ.x16k-6,2+16k,kZ.所以函数的递增区间为所以函数的递增区间为-6+16k,2+16k,kZ,-6+16k,2+16k,kZ,因为因为 解得解得x2+16k,10+16k,kZ,x2+16k,10+16k,kZ,所以函数的递减区间为所以函数的递减区间为:2+16k,10+16k,kZ.:2+16k,10+16k,kZ.(3)(3)因为因为x0,8,x0,8,由由(2)(2)知函数知函数f(xf(x) )在在0,20,2上是增加的上是增加的, ,在在2,82,8上上是减少的是减少的, ,所以当所以当x=2x=2时时, ,f(xf(x) )有最大值为有最大值为 , ,当当x=8x=8时时, ,f(xf(x) )有最小值为有最小值为-1,-1,故故f(xf(x) )的值域为的值域为-1, .-1, .类型二类型二 函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )性质的综合应用性质的综合应用【典例典例】已知函数已知函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0,0,|0,0,|0,0,0,|0,| )|0,) (A0,0,|0,| )| )的图像在的图像在y y轴上轴上的截距为的截距为1,1,所以函数图像过所以函数图像过(0,1),(0,1),所以所以sinsin= ,= ,因为因为| | ,|0)(0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的递增区间的递增区间. .(2)(2)将函数将函数f(xf(x) )的图像向左平移的图像向左平移 个单位个单位, ,再向上平移再向上平移1 1个单位个单位, ,得到函得到函数数y=y=g(xg(x) )的图像的图像, ,求求y=y=g(xg(x) )在区间在区间0,100,10上零点的个数上零点的个数. .【解析解析】(1)(1)由周期为由周期为, ,得得=2,=2,得得f(xf(x)=2sin ,)=2sin ,由正弦函数的递增区间得由正弦函数的递增区间得 得得 所以函数所以函数f(xf(x) )的递增区间为的递增区间为 , ,kZkZ. .(2)(2)将函数将函数f(xf(x) )的图像向左平移的图像向左平移 个单位个单位, ,再向上平移再向上平移1 1个单位得到个单位得到y=2sin2x+1y=2sin2x+1的图像的图像, ,所以所以g(xg(x)=2sin2x+1,)=2sin2x+1,令令g(xg(x)=0,)=0,得得x=x=kk+ + 或或x=x=kk+ (+ (kZkZ),),所以函数在每个周期上恰有两个零点所以函数在每个周期上恰有两个零点,0,10,0,10恰为恰为1010个周期个周期, ,故故g(xg(x) )在在0,100,10上有上有2020个零点个零点. .类型三类型三 三角函数的性质及应用三角函数的性质及应用角度角度1:1:函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的单调性的单调性【典例典例】(2015(2015淮北高一检测淮北高一检测) )函数函数y=sin y=sin 的递减区间的递减区间是是( () )【解解题题探探究究】求求函函数数的的单单调调区区间间时时需需要要对对函函数数的的解解析析式式做做怎怎样样的的变变形形? ?提示提示: :利用诱导公式将函数的解析式变为利用诱导公式将函数的解析式变为 【解析解析】选选C.C.函数函数 令令 解得解得 角度角度2:2:函数函数= += +k,kZk,kZ的奇偶性与对称性的奇偶性与对称性【典典例例】(2015(2015哈哈尔尔滨滨高高一一检检测测) )函函数数y=sin(2x+y=sin(2x+)(0)(0)是是R R上的偶函数上的偶函数, ,则则的值是的值是( () ) 【解题探究解题探究】若函数为偶函数若函数为偶函数, ,则则的一般表达式是什么的一般表达式是什么? ?提示提示: :若函数为偶函数若函数为偶函数, ,则则的一般表达式为的一般表达式为= += +k k,k,kZ Z. .【解析解析】选选C.C.若函数为偶函数若函数为偶函数, ,则则= += +k k,k,kZ Z, ,因为因为0 0, ,故故= .= .【拓展延伸拓展延伸】若函数若函数y=sin(2x+y=sin(2x+) ) 的图像关于的图像关于x=x= 对称对称, ,则则=_.=_.【解析解析】由题意由题意 答案答案: :- -【方法技巧方法技巧】1.1.关于函数关于函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的对称性与奇偶性的对称性与奇偶性(1)(1)将将x+x+看作整体看作整体, ,代入到代入到y=y=sinxsinx的对称中心、对称轴的表达式的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数可以求出函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的对称中心、对称轴或求的对称中心、对称轴或求值值. .(2)(2)若函数若函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )为奇函数为奇函数, ,则则= =+k,kZ+k,kZ, ,若函数若函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )为偶函数为偶函数, ,则则= = + +k,kZk,kZ, ,函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况. .2.2.求解函数求解函数y=y=Asin(Asin(x+ ) 单调区间的四个步骤单调区间的四个步骤(1)(1)将将化为正值化为正值. .(2)(2)根据根据A A的符号确定应代入的符号确定应代入y=y=sinsin的单调增区间的单调增区间, ,还是单调减区间还是单调减区间. .(3)(3)将将x+x+看看作作一一个个整整体体, ,代代入入到到上上述述的的单单调调区区间间中中解解出出x x的的范范围围即即为函数在为函数在R R上的单调区间上的单调区间. .(4)(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间如果要求函数在给定区间上的单调区间, ,则给则给k k赋值求单调区间赋值求单调区间. .【变式训练变式训练】(2015(2015安徽高考安徽高考) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+)(A,)(A, ,均为正的常数均为正的常数) )的最小正周期为的最小正周期为,当当x=x= 时时, ,函数函数f(xf(x) )取得最小取得最小值值, ,则下列结论正确的是则下列结论正确的是( () )【解解题题指指南南】求求出出函函数数f(xf(x) )的的解解析析式式, ,利利用用正正弦弦函函数数的的图图像像和和性性质质进进行判断行判断. .【解析解析】选选A.A.因为函数因为函数f f（x x）= = Asin(x+Asin(x+)()(A,A, ,均为正的常数均为正的常数) )的最小正周期为的最小正周期为, ,所以所以T= =T= = =2,=2,所以所以f(xf(x)=Asin(2x+)=Asin(2x+) )，当当x= x= 时时, , 所以所以 当当 时函数时函数f(xf(x) )取得最大值取得最大值. .下下面面只只需需要要判判断断2,-2,02,-2,0与与最最近近的的最最高高点点处处对对称称轴轴的的距距离离越越大大, ,函函数数值值越小越小. .当当k=0k=0时时, , 当当k=1k=1时时, , 当当k=-1k=-1时时, , 所以所以 【补偿训练补偿训练】把函数把函数y=y=coscos 向左平移向左平移m(mm(m0)0)个单位个单位, ,所得的图所得的图像关于像关于y y轴对称轴对称, ,则则m m的最小值为的最小值为( () ) 【解题指南解题指南】先表示出平移后的函数解析式先表示出平移后的函数解析式, ,再求再求m m值值. .【解析解析】选选B.B.函数平移后的解析式为函数平移后的解析式为 由题意由题意 因为因为m0,m0,故故m m的最小值为的最小值为 . .规范解答规范解答 应用函数应用函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的性质解题的性质解题【典典例例】(12(12分分)(2015)(2015沈沈阳阳高高一一检检测测) )已已知知函函数数f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+) ) (A0,(A0,0,|0,| )|0)0)周期为周期为方程方程f(kxf(kx)=m)=m恰有两个不同的解恰有两个不同的解, ,求实数求实数m m的取的取值范围值范围. .【审审题题指指导导】1.1.要要求求函函数数的的解解析析式式, ,可可以以通通过过图图像像观观察察周周期期、最最值值、点的坐标点的坐标, ,从而分别求从而分别求,A,A,. .2.2.要要求求实实数数m m的的取取值值范范围围, ,可可以以根根据据方方程程有有两两个个解解, ,即即相相应应的的函函数数有有两两个交点确定实数个交点确定实数m m的范围的范围. .【规范解答规范解答】 【题后悟道题后悟道】1.1.准确赋值求解析式准确赋值求解析式已已知知函函数数的的图图像像求求函函数数的的解解析析式式时时的的关关键键是是确确定定值值, ,一一般般是是先先将将利利用用已已知知点点的的坐坐标标表表示示出出来来, ,再再根根据据的的范范围围求求值值. .如如本本题题中中先先利利用用最大值点将最大值点将值表示出来值表示出来. .2.2.善于利用数形结合思想解题善于利用数形结合思想解题涉涉及及不不可可解解的的方方程程根根的的个个数数问问题题时时, ,一一般般要要将将方方程程变变形形为为两两个个初初等等函函数数, ,利利用用两两个个初初等等函函数数图图像像的的交交点点个个数数等等于于方方程程根根的的个个数数求求参参数数的的范范围围. .如本题如本题处问题的转化处问题的转化. .