第九节圆锥曲线的综合问题总纲目录考点突破考点二考点二圆锥曲线中的定点、定值问题考点一圆锥曲线中的范围、最值问题考点三考点三圆锥曲线中的探索性问题考点一圆锥曲线中的范围、最值问题考点一圆锥曲线中的范围、最值问题考点突破考点突破典例典例1(2018北京东城期末)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点F(1,0)与短轴两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q为椭圆C上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于点P,求OPQ的面积S的最小值.解析解析(1)由题意,得解得a=.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设Q(x0,y0),P(m,2),则+=1.当m=0时,点P(0,2),Q点坐标为(-,0)或(,0),S=2=.当m0时,直线OP的方程为y=x,即2x-my=0,直线QF的方程为y=-(x-1).点Q(x0,y0)到直线OP的距离d=,|OP|=.所以S=|OP|d=|2x0-my0|=.又y0=-(x0-1),所以S=1(x0且x01),当且仅当|x0-1|=,即x0=0时等号成立,综上,当x0=0时,S取得最小值1.方法技巧方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、基本不等式方法等进行求解.1-1(2017北京朝阳一模)过点A(1,0)的直线l与椭圆C:+y2=1相交于E,F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1.(1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标;(2)记AEE1,AFF1的面积分别为S1,S2.设=S1S2,求的取值范围.解析解析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,由得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点为M(x0,y0),则x1+x2=,则x0=,y0=x0-1=-.所以M.(2)设直线l的方程为x=my+1,由得(m2+3)y2+2my-2=0,显然mR.设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2).则y1+y2=,y1y2=.因为=S1S2=(3-x1)|y1|(3-x2)|y2|=(2-my1)(2-my2)|y1y2|=4-2m(y1+y2)+m2y1y2|y1y2|=-+.因为,所以实数的取值范围是.典例典例2(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.考点二圆锥曲线中的定点、定值问题考点二圆锥曲线中的定点、定值问题解析解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=,所以离心率e=.(2)证明:设P(x0,y0)(x00,y0b0)过点(0,),且满足a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A,B,点M的坐标为(2,1),设直线MA与MB的斜率为k1,k2.若直线过椭圆C的左顶点,求此时k1,k2的值;试探究k1+k2是否为定值,并说明理由.解析解析(1)由椭圆过点(0,),得b=.因为a+b=3,故a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是l:y=x+,由解得或故k1=-,k2=.k1+k2为定值,且k1+k2=0.设直线的方程为y=x+m.由消去y,得x2+2mx+2m2-4=0.当=4m2-8m2+160,即-2mb0)的左、右顶点分别为A、B,且|AB|=4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q(4,0),若点P在直线x=4上,直线BP与椭圆交于另一点M,是否存在点P,使得四边形APQM为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.考点三圆锥曲线中的探索性问题考点三圆锥曲线中的探索性问题解析解析(1)由|AB|=4,得a=2.因为e=,所以c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在点P,使得四边形APQM为梯形.由题意可知,AM,PQ不平行,所以AP与MQ平行,即kAP=kMQ.设点P(4,y0),M(x1,y1),则kAP=,kMQ=,kBP=,则=,直线PB的方程为y=(x-2),因为点M在直线PB上,所以y1=(x1-2),将代入得,=,显然y00,解得x1=1.由点M在椭圆上,得+=1,所以y1=,即M,将其代入,解得y0=3,所以P(4,3).方法技巧方法技巧(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.