花边有多宽(1)第二章 一元二次方程你知道黄金比为什么是你知道黄金比为什么是0.618吗吗?l其实其实,黄金分割就是三条能黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段构成比例线段的特殊线段AB,AC和和BC.其中线段其中线段AC是是线段线段AB和线段和线段BC的的比例中比例中项项,也可写成也可写成AC2=ABBC.ABCl如图点如图点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC,如果如果 那么点那么点C叫做线段叫做线段AB的的黄金黄金分割点分割点,AC与与AB的比称为的比称为黄金比黄金比.数学与生活w你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?w你能根据商品的销售利润作出一定决策吗你能根据商品的销售利润作出一定决策吗?w与一次方程和分式方程一样与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型世界的一个有效数学模型“知识” 知多少花边有多宽w一块四周镶有一块四周镶有宽度相等宽度相等的花边的地毯如下图，它的的花边的地毯如下图，它的长为长为m，宽为，宽为m如果地毯中央长方形图案的面如果地毯中央长方形图案的面积为积为m2 ，则花边多宽，则花边多宽?挑战自我w解：如果设花边的宽为解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案那么地毯中央长方形图案的长为的长为 m,宽为宽为 m,根据题意根据题意,可得方程：可得方程：w你能化简这个方程吗? （82x）（52x） (8 2x) (5 2x) = 18.5xxxx （82x）（52x）818m2数学数学化化生活中的数学w如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那，那么梯子的底端滑动多少米？么梯子的底端滑动多少米？w解：由勾股定理可知，解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙滑动前梯子底端距墙m.w如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动X m，那么滑动后梯子，那么滑动后梯子底端距墙底端距墙 m;w根据题意，可得方程：根据题意，可得方程：w你能化简这个方程吗?6X672(X6)2102xm8m10m7m6m10m数学化1m你能行吗w观察下面等式：观察下面等式：ww你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？方和等于后两个数的平方和吗？w如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依，那么后面四个数依次可表示为：次可表示为：，w你能化简这个方程吗?X1X2X3X4w根据题意，可得方程：根据题意，可得方程：w .(X1)2(X 2)2(X3)2(X4)2X2一一般般化化 上面的方程都是只含有上面的方程都是只含有的的 ，并且都可，并且都可以化为以化为 的形式，的形式，这样的方程叫做这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程一元二次方程的概念w由上面三个问题，我们可以得到三个方程：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：w把把axbxc(a，b，c为常数为常数,a)称为称为一元二一元二次方程的一般形式次方程的一般形式，其中，其中ax ， bx ， c分别称为分别称为二次项二次项、一次项一次项和和常数项常数项，a， b分别称为分别称为二次项系数二次项系数和和一次项系数一次项系数w(8-2x)(-x)=18;w即即 2x2 13x 11 = 0 .wx+x+1)+(x+2)=(x+3)+(x+)w即即 x2 8x 200.w（ x）w即即 x2 12 x 15 0.w上述三个方程有什么共同特点？上述三个方程有什么共同特点？一个未知数一个未知数x整式方程整式方程axbxc(a，b，c为常数为常数, a)“行家”看“门道”w下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程?(2)2x25xy6y0(5)x22x31x2(1)7x26x0w解解: (1)、 (4) (3)2x2 1 0 13x(4) 0y22内涵与外延w1.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10,当当k _ 时，是一元二次方程时，是一元二次方程w2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程,当当k 时，时，是一元一次方程是一元一次方程311解：设竹竿的长解：设竹竿的长为为x尺尺,则门的宽则门的宽 度为度为 尺尺,长长为为 尺尺,依题依题意得方程：意得方程：从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽都进不去，横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程？请根据这一问题列出方程(x4)2 (x2)2 x2即x212 x 20 04尺尺2尺尺xx4x2数学化(x4)(x2).把方程把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般化成一元二次方程的一般形式形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项解：将原方程化简为：解：将原方程化简为： 9x212x44(x26x9)9x212x49x2 5x2 36 x 320二次项系数为二次项系数为 ，5 36 32一次项系数为一次项系数为 ，常数项为常数项为 .536 324 x2 24x 36 4 x2 24x 36 12x 40回味无穷本节课你又学会了哪些新知识呢？本节课你又学会了哪些新知识呢？学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式式axaxbxbxc c（a a，b b，c c为常数为常数，aa）和有和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数一次项系数会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系你准备如何去求方程中的未知数呢你准备如何去求方程中的未知数呢? ?小结 拓展知识的升华独立独立作业作业1、P47习题2.1 1,2题;祝你成功！知识的升华知识的升华w根据题意，列出方程：根据题意，列出方程：w（）有一面积为（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短的长方形，将它的一边剪短5m，另一，另一边剪短边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？w解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为，则原长方形的长为(x5) m,宽宽为为(x2) m，依题意得方程：，依题意得方程： w(x5) (x2) 54w即即wx2 7x44 025xxX5X254m2知识的升华知识的升华w（）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为（）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个，这三个数分别是多少？数分别是多少？x (x1) x(x2) (x1) (x2) 242. x2 2x8 00.即即w解：设第一个数为解：设第一个数为x，则另两个数分别为，则另两个数分别为x, x2，依题意，依题意得方程：得方程：w2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：系数、一次项系数和常数项：方程方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项3x2=5x-1(x+2)(x -1)=64-7x2=03x25x10x2 x80或或7x2 0 x4035 111 870 435 111870 4或或7x2 4070 47x2 40运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想方程的思想.一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.花边有多宽花边有多宽(2)花边有多宽w一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为长为m，宽为，宽为m如果地毯中央长方形图案的面如果地毯中央长方形图案的面积为积为m2 ，则花边多宽，则花边多宽?w你怎么解决这个问题？估算一元二次方程的解估算一元二次方程的解w解：如果设花边的宽为解：如果设花边的宽为xm , 根据题意得根据题意得w你能求出你能求出x x吗吗? ?怎么去估计怎么去估计x x呢？呢？(8 2x) (5 2x) = 18.5xxxx （82x）（52x）818m2即即2x2-13x+11 = 0.w你能猜得出你能猜得出x x取值的取值的大大致范围致范围吗吗? ?wX X可能小于等于可能小于等于0 0吗吗? ?说说说你的理由说你的理由. .wX X可能大于等于可能大于等于4 4吗吗? ?可可能大于等于能大于等于2.52.5吗吗? ?说说说说你的理由你的理由. .w因此因此,x,x取值的取值的大致范围大致范围是是: :0x2.50x2.5. .w在在0x2.50x2.5这个范围中这个范围中,x,x具体的值具体的值= =? ?w完成下表完成下表( (取值计算取值计算, ,逐步逼近逐步逼近):):w由此看出由此看出, ,可以使可以使2x2x2 2-13x+11-13x+11的值为的值为0 0的的x=1.x=1.故可知故可知花边宽为花边宽为1m.1m.w你还有其它求解方法吗你还有其它求解方法吗? ?与同伴交流与同伴交流. .w如果将如果将(8-2x)(5-2x)=18(8-2x)(5-2x)=18看作是看作是6 63=18.3=18.w则有则有8-2x=6, 5-2x=3.8-2x=6, 5-2x=3.从而也可以解从而也可以解得得x=1.x=1.w怎么样怎么样, ,你还敢挑战吗你还敢挑战吗? ?w你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗? ?x2x2-13x+11 0.5 1 1.5 2 4.75 0 -4 -7生活中的数学生活中的数学w如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑，那么梯子的底端滑动多少米？动多少米？w解：如果设梯子底端解：如果设梯子底端滑动滑动x m，根据题意得，根据题意得w你能猜得出你能猜得出x x取值的取值的大致范大致范围围吗吗? ?做一做做一做72+(x+6)2=102数学化数学化xm8m10m7m6m10m1m即即 x2+12x-15=0估算一元二次方程的解估算一元二次方程的解w完成下表完成下表( (取值计算取值计算, ,逐步逼近逐步逼近):):做一做做一做xx2+12x-15 0.5 1 1.5 2 -8.75 -2 5.25 13w你能猜得出你能猜得出x x取值的取值的大致范围大致范围吗吗? ?可知可知x x取值的大致范围是取值的大致范围是: :1x1.51x1.5w在在1x1.51x1.5这个范围中这个范围中, ,如果如果x x取整数是几取整数是几? ?如果如果x x精确到十分位呢精确到十分位呢? ?百分位呢百分位呢? ?估算一元二次方程的解估算一元二次方程的解w在在1x1.51x1.5这个范围中这个范围中, ,如果如果x x取整数是几取整数是几? ?如果如果x x精确到十分位呢精确到十分位呢? ?百分位呢百分位呢? ?做一做做一做w由此看出由此看出, ,可以使可以使x2+12x-15的值接近于的值接近于0 0的的x x为为整数的值是整数的值是x=1;x=1;精确到十分位的精确到十分位的x x的值约是的值约是1.2.1.2.w你能算出精确到百分位的值吗你能算出精确到百分位的值吗? ?xx2+12x-15 1.1 1.2 1.3 1.4-0.59 0.84 2.29 3.76你能行吗你能行吗w观察下面等式：观察下面等式：ww你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？后两个数的平方和吗？w如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依，那么后面四个数依次可表示为：次可表示为：，随堂练习随堂练习1 1w即即 x2-8x-20=0.X1X2X3X4w根据题意，可得方程：根据题意，可得方程：w .(X1)2(X 2)2(X3)2(X4)2X2一一般般化化w你能求出这五个整数分别是多少吗你能求出这五个整数分别是多少吗? ?回味无穷回味无穷本节课你又学会了哪些新知识呢？本节课你又学会了哪些新知识呢？学习了估算一元二次方程学习了估算一元二次方程axaxbxbxc c（a a，b b，c c为常数为常数，aa）近似解的方法；近似解的方法；知道了估算步骤知道了估算步骤: :先确定大致范围先确定大致范围; ;再取值计算再取值计算, ,逐步逼近逐步逼近. .想一想想一想, ,有没有便捷的方法去求方程中的未知数呢有没有便捷的方法去求方程中的未知数呢? ?小结小结 拓展拓展知识的升华独立独立作业作业1、P47习题2.2 1,2题;祝你成功！知识的升华独立独立作业作业w根据题意根据题意,列出方程列出方程,并估算方程的解：并估算方程的解：w1.一面积为一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和，苗圃的长和宽各是多少？宽各是多少？w解：设矩形的宽为解：设矩形的宽为xm，则长为，则长为(x2) m, 根据题意得：根据题意得： wx (x2) 120.w即即wx2 2x120 0.xx+2120m2w根据题意根据题意,x,x的取值范围大致是的取值范围大致是0x11.0x11.w完成下表完成下表( (在在0x110x11这个范围内取值计算这个范围内取值计算, ,逐步逼近逐步逼近):):w由此看出由此看出, ,可以使可以使x x2 2+2x-120+2x-120的值为的值为0 0的的x=10.x=10.故可知故可知宽为宽为10m,10m,长为长为12m.12m.xX2+2x-120 8 9 10 11 -40 -21 0 23w2.一名跳水运动员进行一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练跳台跳水训练,在正常情况下在正常情况下,运动员运动员必需在距水面必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员和运动员距水面的高度距水面的高度h(m)满足关系满足关系: h10+2.5t-5t2.那么他最多有多长那么他最多有多长时间完成规定动作时间完成规定动作.510+2.5t-5t2. 2t2 t20.即即w解：根据题意得解：根据题意得w完成下表完成下表( (在在0t30t3这个范围内取值计算这个范围内取值计算, ,逐步逼近逐步逼近):):w由此看出由此看出, ,可以使可以使2t2t2 2-t-2-t-2的值为的值为0 0的的t t的范围是的范围是1.2t1.3.1.2t1.3.故可知运动员完成规定动作最多有故可知运动员完成规定动作最多有1.3s.1.3s.t2t2-t-2-2 -1 4 13w根据题意根据题意,t,t的取值范围大致是的取值范围大致是0t3.0t3. 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 0 1 2 3 -2 -1 -0.68 -0.32 0.08 0.52 4 13运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想方程的思想.一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.