第第2 2讲数列求和及简单应用讲数列求和及简单应用高考导航高考导航热点突破热点突破备选例题备选例题高考导航高考导航 演真题演真题明备考明备考真题体验真题体验答案答案: :(-2)(-2)n-1n-13.3.(2015(2015全国全国卷卷, ,理理16)16)设设S Sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且a a1 1=-1,a=-1,an+1n+1=S=Sn nS Sn+1n+1, ,则则S Sn n= =. .考情分析考情分析1.1.考查角度考查角度考查数列求通项公式考查数列求通项公式( (利用通项与前利用通项与前n n项和的关系、数列递推式等项和的关系、数列递推式等),),考查数考查数列求和列求和( (公式法、分组法、裂项法、错位相减法等公式法、分组法、裂项法、错位相减法等).).2.2.题型及难易度题型及难易度选择题、填空题、解答题均有选择题、填空题、解答题均有, ,难度中等偏下难度中等偏下. .热点突破热点突破 剖典例剖典例促迁移促迁移热点一热点一 数列的通项公式数列的通项公式答案答案: :(1)C(1)C(2)(2)(2018(2018福建三明福建三明5 5月质检月质检) )若若S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且S Sn n=2a=2an n-2,-2,则则S S8 8等等于于( () )(A)255(A)255(B)256(B)256(C)510(C)510(D)511(D)511答案答案: :(2)C(2)C答案答案: :(3)B(3)B(4)(4)(2018(2018莆田二模莆田二模) )在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=2a=2an n+1,+1,则则a a5 5为为. .解析解析: :(4)(4)数列数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=2a=2an n+1,+1,变形为变形为a an+1n+1+1=2(a+1=2(an n+1),+1),a a1 1+1=3,+1=3,所以数列所以数列aan n+1+1为等比数列为等比数列, ,首项为首项为3,3,公比为公比为2,2,所以所以a an n+1=32+1=32n-1n-1, ,即即a an n=32=32n-1n-1-1,-1,则则a a5 5=32=324 4-1=47.-1=47.答案答案: :(4)47(4)47(2)(2)(2018(2018河北唐山三模河北唐山三模) )已知数列已知数列aan n 是等差数列是等差数列,b,bn n 是等比数列是等比数列,a,a1 1=1,b=1,b1 1=2,=2,a a2 2+b+b2 2=7,a=7,a3 3+b+b3 3=13.=13.求求aan n 和和bbn n 的通项公式的通项公式; ;方法技巧方法技巧分组求和的三种题型分组求和的三种题型:(1):(1)通项公式有若干部分构成通项公式有若干部分构成, ,每个部分可以使用公式法、每个部分可以使用公式法、裂项法等求和裂项法等求和, ,只需拆开通项公式只需拆开通项公式, ,分成若干部分求和即得分成若干部分求和即得;(2);(2)奇数项、偶数奇数项、偶数项分别为可以使用公式、裂项等方法求和项分别为可以使用公式、裂项等方法求和;(3);(3)分段求和的分段求和的, ,把数列分成若干段把数列分成若干段, ,每段可以求和每段可以求和. .(2)(2)(2018(2018上饶二模上饶二模) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=2=2n+1n+1+n-2.+n-2.求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;解解: :(2)(2)当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2=2n+1n+1+n-2-(2+n-2-(2n n+n-1-2)=2+n-1-2)=2n n+1,+1,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=3,=3,适合上式适合上式, ,所以所以a an n=2=2n n+1.+1.(6)n(6)nn!=(n+1)-1n!=(n+1)-1n!=(n+1)!-n!;n!=(n+1)!-n!;考向考向3 3错位相减法求和错位相减法求和【例例4 4】 (2018(2018吉林百校联盟九月联考吉林百校联盟九月联考) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sm-1m-1=-4,S=-4,Sm m=0,S=0,Sm+2m+2=14(m2,=14(m2,且且mmN N* *).).(1)(1)求数列求数列aan n 的通项的通项; ;(2)(2)求数列求数列m(am(an n+6)2+6)2n-3n-3 的前的前n n项和项和. .方法技巧方法技巧错位相减法是求错位相减法是求aan nb bn n,其中其中aan n 为等差数列、为等差数列、bbn n 为等比数列为等比数列, ,方法机械、方法机械、没有技巧可言没有技巧可言, ,但要注意但要注意:(1):(1)错位相减后共错位相减后共n+1n+1项项, ,前面的前面的n n项不一定是一个等项不一定是一个等比数列的前比数列的前n n项和项和, ,还可能是从第还可能是从第2 2项到第项到第n n项为一个等比数列的前项为一个等比数列的前n-1n-1项和项和;(2);(2)利用利用n=1n=1时时,S,S1 1=a=a1 1b b1 1, ,检验结果是否正确检验结果是否正确. .热点训练热点训练2:2:(1)(1)(2018(2018葫芦岛一模葫芦岛一模) )已知等比数列已知等比数列aan n 的公比的公比q0,aq0,a2 2a a3 3=8a=8a1 1, ,且且a a4 4,36,2a,36,2a6 6成等差数列成等差数列. .求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;解解: :(1)(1)由由a a2 2a a3 3=8a=8a1 1得得a a1 1q q3 3=8,=8,即即a a4 4=8,=8,又因为又因为a a4 4,36,2a,36,2a6 6成等差数列成等差数列, ,所以所以a a4 4+2a+2a6 6=72,=72,将将a a4 4=8=8代入得代入得a a6 6=32,=32,从而从而a a1 1=1,q=2,=1,q=2,所以所以a an n=2=2n-1n-1. .求数列求数列aan n-n-n2 2 的前的前n n项和项和S Sn n. .热点三热点三 数列的综合问题数列的综合问题【例例5 5】 (1) (1)(2018(2018安徽涡阳一中高三最后一卷安徽涡阳一中高三最后一卷) )古代数学著作古代数学著作张丘建算经张丘建算经上曾出现上曾出现“女子织布女子织布”问题问题: :某女子善于织布某女子善于织布, ,一天比一天织得快一天比一天织得快, ,而且每天增加而且每天增加的数量相同的数量相同. .已知第一天织布已知第一天织布5 5尺尺, ,前前3030天共织布天共织布390390尺尺, ,记女子每天织布的数量构记女子每天织布的数量构成数列成数列aan n.在在3030天内天内, ,该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少? ?(2)(2)(2018(2018江西重点中学协作体二联江西重点中学协作体二联) )已知等差数列已知等差数列aan n 的公差的公差d0,ad0,a1 1=0,=0,其其前前n n项和为项和为S Sn n, ,且且a a2 2+2,S+2,S3 3,S,S4 4成等比数列成等比数列. .求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;备选例题备选例题 挖内涵挖内涵寻思路寻思路【例例1 1】 (1) (1)(2018(2018云南玉溪适应考云南玉溪适应考) )已知数列已知数列aan n 中中,a,an+1n+1+a+an n=(-1)=(-1)n nn,n,则数则数列列aan n 的前的前2 0182 018项的和为项的和为; ;答案答案: :(1)-1 018 081(1)-1 018 081答案答案: :(2)10(2)10答案答案: :(4)30(4)30(6)(6)(2018(2018山东济南二模山东济南二模) )已知已知xx表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数, ,例如例如:2.3=2,-:2.3=2,-1.5=-2.1.5=-2.在数列在数列aan n 中中,a,an n=lg n,n=lg n,nN N+ +, ,记记S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和, ,则则S S2 0182 018= =; ;解析解析: :(6)(6)当当1n91n9时时,a,an n=lg n=0;=lg n=0;当当10n9910n99时时,a,an n=lg n=1,=lg n=1,此区间所有项的和为此区间所有项的和为90.90.当当100n999100n999时时,a,an n=lg n=2,=lg n=2,此区间所有项的和为此区间所有项的和为9002=1 800.9002=1 800.当当1 000n2 0181 000n2 018时时,a,an n=lg n=3,=lg n=3,此区间所有项的和为此区间所有项的和为31 019=3 057.31 019=3 057.所以所以S S2 0182 018=90+1 800+3 057=4 947.=90+1 800+3 057=4 947.答案答案: :(6)4 947(6)4 947【例例2 2】 (2018 (2018海南一模海南一模) )已知数列已知数列aan n 是公差为是公差为1 1的等差数列的等差数列, ,且且a a4 4,a,a6 6,a,a9 9成等成等比数列比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;