1工程实例工程实例2工程实例工程实例3工程实例工程实例4工程实例工程实例5工程实例工程实例6工程实例工程实例7工程实例工程实例8 5-1 纯弯曲纯弯曲弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；而剪力是切于横截面的内力系的合力；弯矩M只与横截面上的正应力s相关，而剪力FS只与切应力t相关。ABCDaaFF+-FFS图F+FaM图AC、DB段为横力弯曲CD段为纯弯曲bbmnnmaaD Dxdq qbbmmnnMMaa平面假设：变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁的轴线。纯弯曲实验设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维所组成。变形后，上侧纤维缩短，下侧纤维伸长，中间必有一层纤维的长度不变，称为中性层。9 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力在推导纯弯曲梁横截面上正在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时应力的计算公式时 ，要综合考虑要综合考虑 几何几何 ，物理物理 和和 静力学静力学 三方面三方面 。当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩弯矩 M ， 又有剪力又有剪力 FS 。只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N = = d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S = = d dA A 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有，又有 切应力切应力 FSMI、纯弯曲正应力公式、纯弯曲正应力公式10推导过程演示推导过程演示111122cabd1122cabdMMMM假设假设平平截截面面假假设设单单向向受受力力假假设设中中性性层层：构构件件内内部部既既不不伸伸长长也也不不收收缩的纤维层。缩的纤维层。中性轴中性轴：横截面与中性层的交线。：横截面与中性层的交线。12MM1.几何条件几何条件m2n2 y LyO1O2r ra2dxn2m2n1m1O曲率中心曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层中性层z中性轴中性轴y对称轴对称轴oa2a1yd dq qd dl ld dq qxe2e12.物理条件物理条件(胡克定律胡克定律)133.静力学条件静力学条件dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：，分别为： 抗弯截面模量抗弯截面模量。 4.纯弯曲梁横截面上的应力纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力弯曲正应力)： 距中性层距中性层y处的应力处的应力y轴为对称轴轴为对称轴145.横截面上正横截面上正应力的画法：应力的画法： M min maxM min max 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限 p； 精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁； 对对于于横横力力弯弯曲曲的的细细长长梁梁(跨跨度度与与截截面面高高度度比比L/h5)，上上述述公公式式的的误误差差不不大大，但但公公式式中中的的M应应为为所所研研究究截截面面上上的的弯弯矩矩，即即为截面位置的函数。为截面位置的函数。6.公式适用范围：公式适用范围：1.矩形截面矩形截面三种典型截面对中性轴的惯性矩三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面实心圆截面 3.截面为外径截面为外径D、内径、内径d(a a=d/D)的空心圆的空心圆: 15弯曲正应力分布弯曲正应力分布 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力16工件ACB2aaABFC2aaFa例题51 螺栓压板加紧装置如图所示。已知板长3a150mm，压紧材料的弯曲许用应力s=140MPa。试计算压板传给工件的最大容许压紧力F。解：绘制M图，求出MmaxFa。17例题5-2 卷扬机卷筒心轴的材料45钢，弯曲许用应力s100MPa，轴的结构和受力如图所示，F25.3kN。试校核轴的强度。A25.3kN25.3kNF F 95F F 88F F 856055555555145840BM1M2M3M4解：绘制M图求出各截面上的最大应力，进行强度校核。18例题例题53 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为抗压许用应力为 C =160MPa 。已知截面对形心轴。已知截面对形心轴Z的惯性矩为的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。校核梁的强度。 80y1y22020120zP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B上上+-2.54CB19B 截面截面C截面截面+-2.54CB20 习题习题 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。作用。试计算截面试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解解： 1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I和和II两部分，形心两部分，形心C的纵坐标为的纵坐标为:2计算截面惯性矩计算截面惯性矩2012020120单位：单位：mmIII213 绘制弯矩图绘制弯矩图 截面截面BB的弯矩为的弯矩为:计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：分别为：6kNm22习题习题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。解：画M图求截面弯矩M1Mmax23求应力M1Mmax24求曲率半径1120180302q=60 kN/m1m2m11BAyzM1Mmax25梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与Ozyyt，maxyc，max26Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为27习题习题 跨长跨长 l = 2m 的铸铁梁受的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉力如图所示。已知材料的拉，压压许用应力分别为许用应力分别为 t30MPa， c90MPa。试根据截面最为。试根据截面最为合理的要求，确定合理的要求，确定T字形截面梁字形截面梁横截面的尺寸横截面的尺寸d d，并校核梁的强，并校核梁的强度。度。AB1m2mP=80KN解：解： 要使截面最合理，必须使同一截面的要使截面最合理，必须使同一截面的220y60280zoz28已知已知oz以上边缘为参考边以上边缘为参考边220y60280z2912220y60280z30(2) 校核梁的强度校核梁的强度31习题习题 一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，b = 2 m ,IZ5493104mm4，铸铁的许用拉应力，铸铁的许用拉应力s st=30MPa，许用压应力，许用压应力s sc=90MPa。试求梁的许可荷载。试求梁的许可荷载F。bCbDAPbB解解：弯矩图如图所示。弯矩图如图所示。最大负弯矩在最大负弯矩在 B 截面上，截面上，最大正弯矩在最大正弯矩在 C 上上。y202013486120180z40Cy1y2梁的截面图如图所示，中性轴梁的截面图如图所示，中性轴到上，下边缘的距离分别为到上，下边缘的距离分别为-+CB32C 截面截面-+CBC截面的强度条件由最的拉应力控制。截面的强度条件由最的拉应力控制。B 截面截面取其中较小者，得该梁的取其中较小者，得该梁的许可荷载为许可荷载为33习题习题 两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比比 F1F2？解：解： 分析：该题的关键：两分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力种梁的最大弯曲正应力相等且等于许用应力。相等且等于许用应力。由弯曲正应力计算公式34解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全习题习题 图示外伸梁，受均布载图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力荷作用，材料的许用应力 =160MPa，校核该，校核该梁的强度。梁的强度。 35习题习题 简支梁在跨中受集中载荷P=30kN，l=8m，120 MPa。试为梁选择工字钢型号。 解：由强度条件，得 选择工字钢28a ABP36习题习题 梁AC的截面为10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的=160MPa，试求许用均布载荷q。 解：由平衡条件10号工字钢AdBCD2m1mqq+-FBFN37 5-4 弯曲的切应力弯曲的切应力I、梁横截面上的切应力公式、梁横截面上的切应力公式 1、公式推导：、公式推导： n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxbAyyx xdxxM+dMMFSFS +d mnmmdx x y A一一、矩形梁横截面上的切应力、矩形梁横截面上的切应力38横截面上距中性轴等远的各点处横截面上距中性轴等远的各点处切应力切应力大小相等大小相等。各点的切应力方向均与各点的切应力方向均与截面侧边平行截面侧边平行。FS横截面上的剪力横截面上的剪力IS横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩b求应力点处的宽度求应力点处的宽度S*Z横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积的横线以外部分的面积对中性轴的静矩对中性轴的静矩t ty切应力，方向与切应力，方向与Fs相同相同39Zyy0y0bh/2h/2 max40二二、工字形梁横截面上的切应力、工字形梁横截面上的切应力分母两项查表。分母两项查表。其他截面的切应力最大值，一般也在中性轴处。其他截面的切应力最大值，一般也在中性轴处。计算腹板上距中性轴计算腹板上距中性轴为为y处的切应力处的切应力ozybh0yb0h41工字钢截面切应力公式推导工字钢截面切应力公式推导42三、薄壁环形截面梁三、薄壁环形截面梁zy横截面上切应力的大小沿横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。壁厚无变化。切应力的方向与圆周相切切应力的方向与圆周相切。图图 5-7 为一段薄壁环形截面梁。为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为环壁厚度为 ,环的平均半径为环的平均半径为r0，由于由于 r0 故可假设故可假设式中式中A=2 r0 为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为中性轴上，其值为43四、圆截面梁四、圆截面梁式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积dzoy最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上假设假设沿宽度沿宽度上各点处的上各点处的切应力均汇交于切应力均汇交于点点。各点处切应力沿各点处切应力沿 y 方向的分量方向的分量沿宽度相等。沿宽度相等。在截面边缘上各点的切应力在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。的方向与圆周相切。44五、等直梁横截面上最大剪应力的一般公式五、等直梁横截面上最大剪应力的一般公式对于对于 等直梁等直梁 ，其最大剪应力，其最大剪应力t tmax一定在最大剪力一定在最大剪力FSmax所在所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上 。全梁。全梁各横截面中最大剪应力可统一表达为各横截面中最大剪应力可统一表达为b 横截面在中性轴处的宽度横截面在中性轴处的宽度 全梁的最大剪力全梁的最大剪力 整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩45II、梁的切应力强度条件、梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。进行强度校核。式中式中 ，为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。46在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再按切应力进行强度校核。一般并不需要再按切应力进行强度校核。但在以下几种特殊条件下，需校核梁的切应力：但在以下几种特殊条件下，需校核梁的切应力：1、梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大；、梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大；2、在焊接或铆接的组合截面（如工字钢）钢梁中，当其横截面、在焊接或铆接的组合截面（如工字钢）钢梁中，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值；腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值；3、由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时、由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。47例题55 简支梁AB如图所示。l=2m，a=0.2m。梁上的载荷为q=10kN/m，F200kN。材料的许用应力s160MPa，t100MPa。试选择适用的工字钢型号。 qFFBAlaa21021045解：绘制FS、M图，Mmax45kNm。48习题习题 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度简支梁受均布荷载作用，其荷载集度q3.6kN/m梁的跨长梁的跨长 l=3m ,横截面为横截面为bh=120180mm2, 许用弯曲正应力许用弯曲正应力 =7MPa，许用，许用切应力切应力 =0.9MPa, 校核梁的强度。校核梁的强度。ABq解：梁的正应力强度校核解：梁的正应力强度校核最大弯矩发生在跨中截最大弯矩发生在跨中截面上，其值为面上，其值为梁横截面的的抗弯截面系数为梁横截面的的抗弯截面系数为横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力梁的剪应力强度校核梁的剪应力强度校核矩形截面的面积为矩形截面的面积为梁横截面上的最大剪应力梁横截面上的最大剪应力梁最大的剪力为梁最大的剪力为 所以此木梁是安全的。所以此木梁是安全的。49习题习题 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m1m。胶合面的许可切应。胶合面的许可切应力为力为0.34MPa0.34MPa，木材的，木材的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 解：解：504.4.按胶合面强度条件计按胶合面强度条件计算许可载荷算许可载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 51习题习题 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知 y=100MPa， L=50MPa， =40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应校核梁的正应力、切应力强度条件。力强度条件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_52该梁满足强度要求该梁满足强度要求53 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应主要是依据梁的正应力强度条件力强度条件一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座1、将将荷荷载分散载分散2、合合理理设设置支座位置置支座位置Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图+Pl/8M图Pl/8qlABql2/8M图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40ql2/50ql2/5054二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状从从弯弯曲曲强强度度考考虑虑，比比较较合合理理的的截截面面形形状状，是是使使用用较较小小的的截截面面面面积积，却却能能获获得得较较大大抗抗弯弯截截面面系系数数的的截截面面。在在一一般般截截面面中中，抗抗弯弯截截面面系系数数与与截截面面高高度度的的平平方方成成正正比比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。同同时时应应尽尽量量使使拉拉、压压应应力力同同时时达达到到最大值。最大值。 max min一根一根钢梁最大弯矩梁最大弯矩Mmax3.5kNm，许用用应力力 140MPa，它所要求的抗弯，它所要求的抗弯截面系数截面系数为：Wz250000mm3。如果采用。如果采用圆形、矩形和工字形截面，它形、矩形和工字形截面，它们所需所需的尺寸及其相的尺寸及其相应的比的比值Wz/A列于下表：列于下表：截面形状要求的Wzmm3所需尺寸mm截面面积mm2比值Wz/A圆形250000d=137148001.69矩形250000b=72 h=144104002.4工字形25000020b号工字钢39506.3355三、合理设计梁的外形（等强度梁）三、合理设计梁的外形（等强度梁） 梁梁内内不不同同横横截截面面的的弯弯矩矩不不同同。按按最最大大弯弯矩矩所所设设计计的的等等截截面面梁梁中中，除除最最大大弯弯矩矩所所在在截截面面外外，其其余余截截面面的的材材料料强强度度均均末末得得到到充充分分利利用用。因因此此，在在工工程程实实际际中中，常常根根据据弯弯矩矩沿沿梁梁轴轴的的变变化化情情况况，将将梁梁也也相相应应设设计计成成变变截截面面的的。横横截截面面沿沿梁梁轴轴变变化化的的梁梁，称称为为变截面梁变截面梁。 各各个个横横截截面面具具有有同同样样强强度度的的梁梁称称为为等等强强度度梁梁，等等强强度度梁梁是是一一种种理理想想的的变变截截面面梁梁。但但是是，考考虑虑到到加加工工制制造造以以及及构构造造上上的的需需要要等等，实实际际构构件件往往往往设设计成近似等强的。计成近似等强的。FABFAB5657