第二章 粘性流体动力学基本 方程组n流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。这三大定律对流体运动的数学描写就是流体动力学基本方程组。但这个方程组是个不封闭的，要使其封闭还需要加上辅助的物性关系，如密度、比热、粘性系数和热传导系数随温度和压力的变化关系等。一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为千变万化的流动现象毕竟是由这个方程组所规定的。本书的全部内容实质上就是在各种具体条件下用各种不同的方法以不同的近似程度求解这个方程组，研究解的性质。1n本章将较深入地阐述粘性在动量平衡和能量平衡中所起的作用。这主要是指粘性对动量和能量的输运以及由粘性引起的能量耗散。除边界条件外，这些项的存在是粘流与无粘流的根本差别。n粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。用量纲理论研究这一方程组，导出一些重要相似参数，则是本章另一部分内容。本章最后将讨论这一方程组的数学性质。n对流体运动的描述有两种基本方法，即拉格朗日法和欧拉法；对基本定律的数学表述也有两种基本形式，即积分形式和微分形式。2n本书将以欧拉法和微分形式为主，间或采用拉格朗日法和积分形式。现用欧拉法研究守恒定律。n考虑流体流过一个小的、不动的控制体，将此控制体简写为CV。则对任何量q的守恒定律可表述为：nq在CV中的增加率=q从CV表面的进入率 -q从CV表面的流出率 +q在CV内的源和汇产生的总净增率当控制体CV的体积均匀趋于零时所得到的方程就是量q在固定点用欧拉方式表示的守恒方程，原则上控制体CV可以是任何形状，我们这里采用笛卡尔坐标，用矩形六面体表示，这不会影响所得结果的一般性。32-1 质量守恒定律 连续方程n连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。由于不涉及力的问题，所以粘性流体与非粘性流体的连续方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。n当控制体各向均匀收缩到无限小时，该控制体称为微元体。考虑具有相互垂直侧面的微元体，其边长分别为dx，dy和dz（图2.1.1）。若将q定为质量(即q=质量=密度容积)，则可得到连续方程。在微元体内，质量没有源或汇，则此方程可表述为：质量通过边界出入该微元体的净增率等于流体质量在该微元体内的增加率。4为做出定量的表述，首先计算通过该微元体两平行面之间有关物理量的增量。设速度矢量为u，它在x、y和z方向的分量分别为u，v和w。56n现用变量依次轮换法(即xy z和u v w )，可以容易得出通过另外两对微元面的净质量流率，即y方向的速度分量输运出微元体的净质量流率为789102-2 粘性流体的运动方程 动量守恒定律n粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述，它可由牛顿第二定律推出。以微元体为分析对象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量与加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力。对于流体运动应考虑两类外力：一为彻体力，它是作用在微元体内所有质量上的力，如重力：另一类为表面力，它是作用在微元体界面上的力，如压力，摩擦力等。若F表示作用在单位质量上的彻体力，P表示作用在单位容积上的表面力，则运动方程可写为如下向量形式：1112n从欧拉法的观点看，此式右端第一项由流动的非定常性引起，称为当地加速度；右端第二项由流场中速度分布的不均匀性引起，表示经Dt时间后由于微团空间位置的变化而引起的速度的变化，称为迁移加速度或对流加速度。n式中的彻体力可用三个分量表示，即131415n一般情况下是温度的函数,所以方程很复杂.对于常用的情况,可以不考虑随空间位置的变化,于是可作为常量而写到导数之外.考虑到这一点,可以将方程进一步改写.对方程的第一个式子可写为161718n应当指出，尽管在粘性流体中几乎处处存在粘性应力，但并不是在任何地方它都重要。由公式（2.2.6）或(2.2.8)可见，只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用。这一点很重要，它是边界层理论赖以建立的一个基本事实，对此，还要在第五章中进一步讨论。192-3 粘性流体的能量方程n1.动能方程2021n上式左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体微团单位质量的动能随时间的变化率。n右端第一项是单位时间内彻体力对单位质量所做的功。n右端第二项是单位时间内粘性力对运动着的单位质量流体所输运的机械能。n右端第三项是单位时间内压力对单位质量的流体所做的功，即流动功。n右端第四项中的 是体积膨胀率（1-5），它与 压力p的乘积代表单位时间的膨胀功。n右端第五项是单位时间内粘性力所做的变形功。它把流体运动的机械能不可逆地转换为热能而消耗，故称为耗散项。2223n对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因而产生大的耗散，而在其它区域耗散则很小。对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因而产生大的耗散。n根据以上分析，可对式(2.3.1a)归结如下：流体微团运动能的变化率取决于单位时间内彻体力所作之功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素。242.内能方程252627282930313.总能量方程32n值得注意的是，与理想流体相比，粘性流体的能量方 程(2.3.20)多了一项 。这项的存在说明，即使 没有外热、热传导和彻体力作功等项，粘性流体微团的总焓沿迹线也是变化的，这是因为粘性应力能够在相邻迹线之间输运能量。n从该式还可以看出，式中并不显式地包含粘性耗散函数，这是因为粘性耗散仅仅引起能量形式的改变，即是说，它将所耗散的机械能都以热能的形式又加到了微团中，从形式看并未引起微团总能量的变化。但是若考虑到由于粘性耗散的存在而改变了整个流场的内能分布，则与此有密切联系的热传导的情况也将改 变，即 项将有所变化而改变微团的总焓。所以， 粘性耗散虽然不显式地影响总的能量平衡，但它的影响仍然隐含在里面。332-4 粘性流体动力学方程组 的封闭性问题n所谓封闭性问题是指方程组所具有的方程数目是否等于所出现的未知函数的数目的问题。只有当这两者相等时，对于正确规定的定解条件，方程组的解才可能既存在又唯一，这是一般的数学原则。n流体动力学的方程组包含有质量方程、动量方程和能量方程；所包含的未知函数有、u u、F F、p、h（或e）、Q Q和q q，共八个（这里把矢量作为一个量看待，）而方程数目仅三个，因此还需补充其他假设条件和物理关系式。通常假设彻体力F F和外热Q Q是已知的。n对处于不同条件下的不同的工质,目前人们还未能找到联系各热力学参数之间的普遍适用关系式。对于空气等气体，常采用完全气体假设，它们满足如下的状态方程和热焓关系34n还可以采用傅里叶定律（1.4.6）计算热流密度矢量q。对热传导系数k和粘度系数,可采用前面的公式计算，在温度变化不大时，也可假设为常数。n利用以上的假设和关系，就可使可压缩粘性气体动力学方程组封闭。n对于不可压缩流体，密度为已知的常数，所以由质量方程(2.1.3)和动量方程(2.2.8)已构成一个关于压力p和速度u u的封闭方程组，即可由此解出压力和速度后再由能量方程求解温度。由于不可压缩流体的能量方程并不与质量方程和动量方程一起联立求解，所以称之为非耦合的；对于可压缩流，质量方程、动量方程和能量方程则必须联立求解，称之为耦合的。352-5 粘性流体动力学方程组 的数学性质n根据偏微分方程理论，可按方程组的数学性质将其分为不同的类型。这一问题的重要性在于定解条件的提法、解的性质以及数值求解过程的基本方式都是由方程的类型确定的。这里只引述有关结论，而不作证明。n关于偏微分方程的一般理论，大部分是从研究如下的拟线性二阶方程发展起来的3637n椭圆型、抛物型和双曲型的名称本身没有什么意义，它们是由与圆锥截面对应的不同的二次曲线的比拟而得来的。然而，不同的类型却反映了具有本质差别的数学物理性质。38n对于这三类典型方程的性质人们已了解得很清楚，但对于粘性流体基本方程组(纳维-斯托克斯方程组)却不是这样，它具有复杂得多的数学性质，在不同的条件下可以有不同的表现，所以不能用任何一类典型方程去简单地类比其综合的性质。n纳维-斯托克斯方程组的分类和数学性质问题虽然原则上可以用编微分方程组的特征理论来研究，但具体分析很复杂，目前还没有完全解决，这里主要从物理上来讨论这一问题。我们首先分析流体的粘性很小和粘性很大两种极限情况。n当粘性趋于零时，纳维-斯托克斯方程组退化为欧拉方程组。对于无粘定常的理想气体流动，在亚声速时扰动可以传遍速个空间，而在超声速时扰动的传播则只能局限在马赫锥范围内。这种物理上的本质差别在数学上的表现为：对于描写无粘定常的流体动力学方程组，在亚声速流动时没有实特征曲面，归属于椭圆型方程；在超声速流动时则存在实特征曲面，归属于双曲型方程3940n在一般情况下(不属于上述的粘性特别小或特别大的极限情况)，纳维-斯托克斯方程组应兼有欧拉方程组和扩散方程的性质。即非定常可压纳维-斯托克斯方程组属于抛物-双曲混合型，或称为不完全的抛物型。其抛物属性是指在动量和能量方程中含有二阶导数项，即粘性和热扩散项；其双曲属性对应于非定常欧拉方程组。n对于定常不可压缩流，方程组为椭圆型，对于非定常不可压缩流，方程组为抛物型。n现以高雷诺数定常超声流为例定性说明纳维-斯托克斯方程组所具有的上述双重属性。412-6 定解条件和定解问题的 适定性n根据现在的一般看法，前面导出的纳维-斯托克斯方程组正确反映了诸如空气和水等典型流体的运动规律(对这一问题将在2-7中进一步讨论)，但是仅由纳维-斯托克斯方程组本身还不能确定流动的具体形态，因为流动的形态还与初始情况和边界情况有关。即是说，一个封闭的微分方程组，加上恰当规定的安始条件和边界条件，才可能确定具体的解，才构成一个定解问题。初始条件和边界条件统称定解条件。42n对于一个定解问题，无论从数学的角度还是从物理的角度出发，都会关心这样几个问题：解是否存在，即解的存在性问题；解是否唯一，即解的唯一性问题；解是否依赖于定解条件和自由项，或者说，定解条件和自由项的微小变化是否引起解的微小变化，此即解的稳定性问题。n如果一个定解问题的解是存在的、唯心史观一的且稳定的，就称此定解问题是适定的。n定解条件的规定应根据方程的类型而确定。43n对于典型的线性方程，为保证适定性所要求的定解条件的提法问题已完全解决了；但对于非线性的纳维-斯托克斯方程组，这一问题并没有完全解决，也没有处理这一问题的完整的理论，这与至今未能完全认识纳维-斯托克斯方程组的数学性质有关。为了规定定解条件，只能依靠物理方面的理由，然后 依靠已知的数学结果和对问题的正确思考和判断。以下介绍目前较通行的处理方法。44451.流体与固体接触面上的边界条件46472.不同流体分界面上的边界条件n在不同液体形成的分界面上，若可不考虑表面张力和质量扩散的作用，则可设界面处两液体诸物理量相等n对于液体与气体形成的分界面，若不考虑蒸发、传热、表面张力以及气体对液体的粘性应力作用等效应，即得到所谓液体的理想自由面，其边界条件为483.入口出口边界条件n对于许多实际问题，为了数值计算的方便，往往需要把无限的求解域缩小为有限域，为此，需构成假想的上游入口边界和下游出口边界。n对于纳维-斯托克斯方程组，正确规定下游边界条件往往是很困难的。因为下游的状态强烈地受上游流动状态的影响，所以下游边界条件应与流场的解有关，这与方程的椭圆性质是有一定矛盾的。实际对下游边界条件常常加一些守恒原则的限制n边界上的压力值不能随意给定，它应与压力泊松方程一致。对不可压缩流体的动量方程(2.2.8b)取散度，考虑到连续方程(2.1.3)，并设彻体力满足， 则得49502-8 粘性流体动力学的相似 律和量纲分析n许多工程和科学技术问题向人们提出了一个要求：寻求保证流动相似的条件。n只有当两种情况下流动相似时，模型实验才有意义。n1.基本方程组和边界条件的量纲一化n寻求相似条件最直接的方法是将基本方程组和边界条件量纲一化。为此，首先选定一组特征物理量，用这些量除方程和边界条件中相应的变量，并重新定义由此得到的量纲一变量，即可得到量纲一化的方程和边界条件。515253545556572.相似律n每一个具体的流场都是由封闭的基本方程组和定解条件决定的。即是说，如果有两个流场，它们的几何边界相似，它们有完全一样的量纲一基本方程组，而且还有完全一样的量纲一定解条件，则这两个流场的量纲一解是完全一样的，我们称这两个流场是相似的。所以两个流场相似的必要和充分条件是：n(1)流体边界几何相似；n(2)量纲一基本方程组完全一样；n(3)量纲一定解条件完全一样。58这里所谓的量纲一基本方程组和量纲一定解条件完全一样，是指这些方程和定解条件所包含的所有量纲一组合量都一一对应相等，即是说，若A和B分别代表两个流场，则应有n由于在几何边界相似的前提下，两个流场的这些量纲一数一一对应相等是相似的必要和充分条件，故将这些量纲一数称为相似参数或相似准则。593.完全相似和部分相似n上面列出了8个相似参数，实际上根据问题所涉及的物理内容的不同，还可以得出另外的相似参数。例如：表征自由对流的格拉晓夫数Gr，表征表面张力的韦伯数We，表征高马赫数低雷诺数时壁面可能滑移的克努森数Kn，表征液体内部出现空泡可能性的空化数等等。为了保证严格相似，必须使所有这些相似准则都得到满足，而在实际上这几乎是不可能的，主要是因为有些相似准则相互矛盾。6061n实际上，各个相似准则的重要程度不是在任何条件下都完全一样的，人们可以根据所研究的具体情况只保证某些起主要作用的相似准则。例如，不涉及表面张力时可不考虑We准则，不涉及壁面换热时可不考虑Nu准则，自然对流不重要时可不考虑Gr准则等等。这样就只保证了部分相似而不是完全相似。624.不同条件下方程的简化63n当雷诺数很大时，粘性力项变得很小，忽略此项后得到欧拉方程组。这正是理想流体能在某些条件下代表高雷诺数流动的原因。645.量纲分析n以上讨论了由已知方程互助友爱和定解条件导出量纲一相似参数的方法；还有另一种方法，它的应用范围更广，它能在不知道方程组及其解的情况下导出量纲一相似参数，此即量纲分析法。n由数学公式表述的物理定律，把表征所研究现象的各有量纲量相互联系起来，这些有量纲量的具体数值依赖于所选用的度量单位制。另一方面，物理定律本身应不依赖于单位制的选择。这种情况说明，有量纲量之间的函数相关必然具有某种特有的结构，而量纲理论则提供了确定上述相关结构的方法。方法的基本根据是任何数学方程的各项必须含有相同的质量、长度和时间等量的量纲，而超越函数如logx和sinx等的自变量则必须是量纲量一。65666768n量纲分析在数学上异常简单，因难在于物理方面，要求使用者对过程的物理本质有深刻的了解才能确定影响这一物理过程的主要参数，方能得出有用的结果，否则会得出荒谬的结果。n从上述分析还可见，量纲分析只能建立有量纲量之间的关系，而不能建立量纲一量之间的关系，尽管如此，量纲分析仍不失为非常有力的工具，它不仅可以在不知道数学方程及其解的条件下导出量纲一相似参数，而且还可用以得出一些深刻反映流动物理机制的关系式。692-9 流体的涡旋运动n1.流体运动的有旋性n粘性流体运动总是有旋的。例如，由于粘附作用，在固体壁面附近的薄层中，流体速度由主流的速度值下降到零，以满足壁面无滑移条件。这薄层速度梯度很大，形成强的涡旋运动，所以涡量的产生始自边界，固壁附近的边界层常是生成涡旋的主要区域。在无粘流体中，由于压力、温度和熵等热力学参数的不均匀性也可引起涡旋。例如，由于太阳和地面的辐射对大气的不均匀加热就常引起涡旋。所以除了简单的理想化情况外，实际流动总是有旋的。70712.涡量的输运方程n实际流动中，涡量沿空间的分布往往很不均匀，形成一些局部集中的强涡量区。这些区域对整个流场的运动学和动力学性质有很大影响，所以研究涡旋的生成、输运和扩散过程是很有意义的。n现推导涡量的输运方程。对式(2.2.7d)两端各项取旋度可得727374n式(2.9.3)左端与右端的粘性项与纳维-斯托克斯方程的对应项有相同的形式，但压力项消失了，且右端第一项在纳维-斯托克斯方程中没有对应项。n式(2.9.3)左端表示某微团沿迹线运动时其涡量随时间的变化率，由式(2.9.3b)可见，它可分为两部分，即涡量的当地变化率(左端第一项)和涡量的对流变化率(左端第二项)。后者反映了流体在空间分布不均匀的涡量场中对流所引起的涡量变化。这项说明，涡量也是输运量。这是因为涡量是速度的空间导数，速度作为单位质量的动量是可输运量，因而涡量也是可输运量。n由式(2.9.3)可见，微团涡量随时间的变化率取决于右端第二项。右端第一项是涡的拉伸弯扭项，第二项是涡量的粘性扩散项。下面将分别研究这两项的物理意义。n利用式(2.9.3)可以较容易看出涡量的变化，但不易直接看出涡量的产生。对此将在3-4中通过平板的突然加速说明这一问题。753.涡的拉伸与弯曲7677n可见，由拉压或弯曲而引起的涡量变化都与粘性无关，都是惯性运动的产物。流动一旦由于某种原因成为有旋流后，拉伸和弯曲会进一步增加涡量。在湍流流动中，拉伸和弯曲对形成各种尺度的涡(特别是在高雷诺数时形成小尺度的均匀各向同性的涡)起着非常重要的作用。784.粘性对涡量的扩散79n值的注意的是由粘性流体运动方程导出的式(2.9.5)与线涡在无粘位势流中诱导出的速度场完全一样。这个速度场的基本特点是除中心点外涡量处处为零，但有角变形率(请读者在习题2.18中证明这两点)。如果有粘性就会不断发生耗散，因此只有在中心不断提供涡源的情况下才能维持这种运动。现在来研究如果线涡的涡量突然变为零，线涡原来具有的非零的涡量将怎样向外扩散。8081828384855.环量和开尔文定理868788899091n上面得出的粘性流体的环量将随时间变化的结论是在封闭线周长有限的条件下得出的。利用上述点涡的例子可以得出封闭线半径趋于无限大时的情况。由式（2.9.11）可得出以点涡为圆心的圆周上的环量926.有关涡管流动性质的定理n与流管概念相对应，可引入涡管概念。为此先引入涡线概念。n涡线是这样的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体的涡量方向一致。由于涡量与流体微团瞬时转动速度之间的关系，涡线也可看成流体微团的瞬时转动轴线。n在流场中任取一条非涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称作涡管。93n1.涡管强度守恒定理：在同一时刻，同一涡管的各个以绕涡管壁面的封闭曲线为边界的曲面上的涡通量相等。或可简单表述如下：在同一时刻，涡管各截面上的涡通量相等。此涡通量可表征该涡管的强度。n应当指出，涡管强度守恒定理不涉及流体的介质属性，它是根据涡管本身的性质证明的，对于有粘和无粘流体都适用。n还应指出，此定理只涉及同一时刻涡管不同截面上的涡通量守恒的问题，不能用于涡通量随时间变化的问题。对于后一问题应该用2-9-5和下面将要讨论的定理处理。94n2.涡线、涡面和涡管保持性定理：如果流体是无粘的，流场是正压的，且彻体力有势，则在某一时刻构成涡线、涡面或涡管的那些流体质点，在运动的全部时间中，仍将构成涡线、涡面或涡管，尽管它们的形状和位置都可能变化。n3.涡管强度保持性定理：如果流体是无粘的，流场是正压的，且彻体力有势，则任何涡管的强度在运动的全部时间内均保持不变。95n由于所谓涡管强度就是通过该涡管的任意截面的涡通量，而由2-9-5的讨论可知，这就等于沿围绕所研究的涡管一周的周线的环量。由开尔文定理可知，在上述条件下，该环量在运动的全部时间内均保持不变，再由前述的涡管保持性可知，涡管强度应保持不变。n应当指出，由建立这些定理的条件可以看出，对于粘性流体，涡管保持性定理和涡管强度保持性定理都不再成立，而只在粘性很小的流体中，或粘性作用可以忽略的一段时间内，这两个定理才可近似成立。962-10 流函数n在流体力学中，常用一些手段以减少未知函数数目。用得最广泛的是速度势函数和流函数。速度势存在的必要和充分条件是流动无旋，而粘性流体流动总是有旋的，所以速度势函数法不能用于粘性流。流函数法则不存在这种限制。9798n对于可压流也可定义流函数，只不过形式称复杂一点。在跨声速流动中用数值方法解流函数方程时存在所谓双解问题，即在同一点，亚声速解和超声速解都可能满足要求，需要用别的关系来判断哪个解在物理上是正确的。这是流函数法不方便之处。99100