专题8 概率与统计第37练用样本估计总体题型分析高考展望用样本估计总体在高考中也是热点部分，考查形式主要是选择题、填空题或是与概率结合的综合性解答题，重点是频率分布直方图以及数字特征，属于比较简单的题目.常考题型精析高考题型精练题型一频率分布直方图的应用题型二茎叶图的应用题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征常考题型精析题型一频率分布直方图的应用例1(2015广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度 )， 以 160,180)， 180,200)， 200,220)， 220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值；解 由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.0025)201得：x0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.(2)求月平均用电量的众数和中位数；因为(0.0020.00950.011)200.450.5，所以月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为a，由(0.0020.00950.011)200.0125(a220)0.5得：a224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？解月平均用电量为220,240的用户有0.01252010025户，月平均用电量为240,260)的用户有0.007 52010015户，月平均用电量为260,280)的用户有0.0052010010户，月平均用电量为280,300的用户有0.0025201005户，点评利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.(2)平均数：平均数的频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标.变式训练1某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100.(1)求图中a的值；解由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；解由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为 550.00510 650.0410 750.0310 850.0210950.0051073(分).(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445解 由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10.题型二茎叶图的应用例2(1)(2015重庆)重庆市2013年各月的平均气温(C)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.230 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 83 1 2 解析 从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23，23,28,31,32，中间两个数为20,20，故中位数为20，选B.B(2)(2015山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：甲乙9862 8 9113 0 1 2甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A.B.C.D.解析甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，答案B点评由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等.变式训练2为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考的数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；解设甲校高三年级学生总人数为n，由已知条件在甲校高三年级抽取的30名学生中成绩在60分及60分以上的人数为25，因此甲校高三年级这次联考的及格率大约是83.3%.题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3(1)(2014陕西)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()答案D(2)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是_.故甲更稳定，故最佳人选应为甲.答案甲点评平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.变式训练3甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；解由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.高考题型精练1234567891011121.(2015陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.93高考题型精练123456789101112解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：11070%150(160%)137.故选B.答案B高考题型精练1234567891011122.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A.588B.480C.450D.120高考题型精练123456789101112解析少于60分的学生人数为600(0.050.15)120，不少于60分的学生人数为480.答案B高考题型精练1234567891011123.(2014广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10高考题型精练123456789101112解析该地区中小学生总人数为35002000450010000，则样本容量为100002%200，其中抽取的高中生近视人数为20002%50%20，故选A.答案A高考题型精练1234567891011124.已知记录7名运动员选手身高(单位：cm)的茎叶图如图，其平均身高为177cm，因有一名运动员的身高记录看不清楚，设其末位数为x，那么推断x的值为()A.5B.6 C.7D.8高考题型精练123456789101112解析据茎叶图可知解得x8.答案D高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112答案C高考题型精练1234567891011126.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则()高考题型精练123456789101112s22，故选A.答案A高考题型精练1234567891011127.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频率分布直方图是()0 731 7644302 75543203 85430高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112解析由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又0,5)，5,10)两组各一人，排除B，应选A.答案A高考题型精练1234567891011128.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A.45B.50C.55D.60高考题型精练123456789101112解析由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.010.005)200.3.答案B高考题型精练123456789101112解析根据茎叶图分别将甲乙得分按从小到大顺序排起来，根据中位数定义易知甲、乙中位数分别为18,23.9.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别是_.18,23高考题型精练12345678910111210.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是_.高考题型精练123456789101112答案甲高考题型精练12345678910111211.(2014北京)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10,2)622,4)834,6)17高考题型精练12345678910111246,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合计100高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；解根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210(名)，从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.高考题型精练123456789101112(2)求频率分布直方图中的a，b的值；解课外阅读时间落在组4,6)的有17人，频率为0.17，课外阅读时间落在组8,10)的有25人，频率为0.25，高考题型精练123456789101112(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)解样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.高考题型精练12345678910111212.(2014广东)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20高考题型精练123456789101112(1)求这20名工人年龄的众数与极差；解这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：401921.高考题型精练123456789101112(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；解以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0 高考题型精练123456789101112(3)求这20名工人年龄的方差.解这20名工人年龄的平均数为：(1928329330531432340)2030；所以这20名工人年龄的方差为：