2024年茂名市普通高中高一年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 且2. 若复数z满足，则（ ）A. 1B. C. 3D. 53. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知函数，则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ）A 6B. 5C. 4D. 36. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ）A. B. C. D. 7. 若是锐角三角形，则边c的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 在四棱中，底面为正方形，底面，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（ ）A 1B. C. D. 3二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知是边长为1的正三角形，分别为，的中点，则（ ）A 与不能构成一组基底B. C. D. 在上的投影向量为10. 某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ）A. 诗经组中位数为3，众数为2B. 论语组平均数为3，方差为1C. 春秋组平均数为3，众数为2D. 礼记组中位数为2，极差为411. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 在上单调递增D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_.13. 若复数是关于x的方程的一个根，则_.14. 在海面上，乙船以40km/h速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为_（km/h）.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知的顶点，.（1）若单位向量与方向相同，求的坐标；（2）求向量与的夹角.16. 已知函数.（1）若，求与交点横坐标；（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.17. 如图1，菱形的边长为2，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示.（1）证明：；（2）若四面体的体积为，求二面角的大小.18. 某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.（1）求图中a，b的值；（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为.；，请判断公式和公式是否相等，并说明理由.19. 如图所示，在中，AD平分，且.（1）若，求BC的长度；（2）求k的取值范围；（3）若，求k为何值时，BC最短.2024年茂名市普通高中高一年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 且【答案】D【解析】【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解.【详解】由，可得，则，故且.故选：D.2. 若复数z满足，则（ ）A. 1B. C. 3D. 5【答案】A【解析】【分析】解法一：先由已知利用复数的乘除法运算求出复数，再可求出复数的模，解法二：对已知等式变形后，利用复数模的性质求解即可.【详解】解法一：由，得，所以，解法二：由，得，所以.故选：A3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先求不等式，再根据集合间的关系判断选项.【详解】，则，而推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4. 已知函数，则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案.【详解】因为函数定义域为R，所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A，当时，所以排除D，因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方，所以排除B，故选：C5. 已知，则的最小值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】由，则，故，当且仅当时，等号成立.故选：D.6. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.【详解】由题意可知将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得，再将的图象向右平移个单位，得的图象，则，故选：B7. 若是锐角三角形，则边c的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据正弦定理表示，再消去，转化为关于角的三角函数，根据锐角三角形求角的范围，根据三角函数的性质求边的取值范围.【详解】由正弦定理可知，则，因为，则，因为是锐角三角形，所以，则，所以.故选：D8. 在四棱中，底面为正方形，底面，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（ ）A 1B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理与判定定理可得，即可设，从而可利用表示出、，再结合同角三角函数基本关系，利用余弦定理计算即可得.【详解】由底面，、平面，故，由底面为正方形，故，又、平面，故平面，又平面，则，由，则，由为线段的中点，则，设，则，由，则，则由余弦定理可得，解得，故.故选：C.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知是边长为1的正三角形，分别为，的中点，则（ ）A. 与不能构成一组基底B. C. D. 在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】对A：由题意可得，即可得与不能构成一组基底；对B：借助平面向量线性运算计算即可得；对C：借助平面向量数量积公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A：由，分别为，的中点，则，即，故与不能构成一组基底，故A正确；对B：由题意可得，故，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D正确. 故选：ABD.10. 某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ）A. 诗经组中位数为3，众数为2B. 论语组平均数为3，方差为1C. 春秋组平均数为3，众数为2D. 礼记组中位数为2，极差为4【答案】BD【解析】【分析】利用列举法判断AC，根据方差公式，判断B，根据极差的定义，判断D.【详解】A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2，但有选手失分超过6分，故A错误；B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，则方差，即，若，所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确；C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2，但有选手失分超过6分，故C错误；D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4，所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确.故选：BD.11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 在上单调递增D. 【答案】ACD【解析】【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得.【详解】对A：由为偶函数，则，当时，则，即当时，故A正确；对B：由为奇函数，则有，即，即，故当时，则，即，故B错误；对C：由， ，则，即，故为周期为的周期函数，由当时，可得在上单调递增，故上单调递增，故C正确；对D：，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据正方体的体对角线即为球的直径可得答案.