11.3几何概型-2-3-知识梳理考点自测1.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.长度 -4-知识梳理考点自测2.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤是:用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;计算频率 作为所求概率的近似值.-5-知识梳理考点自测几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关.(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题。(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.-6-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等. ()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. ()(4)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的. ()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. () -7-知识梳理考点自测2.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()B 解析解析:因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为-8-知识梳理考点自测3.(2017山东潍坊一模,文5)如图正方形内的曲线C是以1为直径的半圆,从区间0,1上取1 600个随机数x1,x2,x800,y1,y2,y800,已知800个点(x1,y1),(x2,y2),(x800,y800)落在阴影部分的个数为m,则m的估计值为()A.157 B.314C.486 D.628B -9-知识梳理考点自测4.(2017全国,文4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()B -10-知识梳理考点自测5.在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.-11-考点一考点二考点三考点四与与长长度、角度有关的几何概型度、角度有关的几何概型例1(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()B -12-考点一考点二考点三考点四-13-考点一考点二考点三考点四思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求?解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度比计算.本例(2)若把点当考察对象,点落在BC线段上的距离不等距,不符合古典概型具有的每个结果的发生具有等可能性的特点.-14-考点一考点二考点三考点四A-15-考点一考点二考点三考点四-16-考点一考点二考点三考点四与面积、体积有关的几何概型与面积、体积有关的几何概型例2(1)(2017福建莆田一模,文6)从区间(0,1)中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于1的概率是()(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为.B -17-考点一考点二考点三考点四思考求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路是什么?-18-考点一考点二考点三考点四-19-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练2(1)(2017广东江门一模,文6)ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,AC1,BD1相交于点O,在该正方体内(含正方体表面)随机取一点M,OM1的概率P=()(2)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少晚5分钟到校的概率为.(用数字作答)A-20-考点一考点二考点三考点四(2)用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立如图所示的平面直角坐标系.设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y5.由题意,知0x20,0y20,可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少晚5分钟到校.-21-考点一考点二考点三考点四几何概型与非几何知几何概型与非几何知识识的的综综合合例3(1)(2017安徽合肥一模,文11)从区间-2,2中随机选取一个实数a,则函数f(x)=4x-a2x+1+1有零点的概率是()AB -22-考点一考点二考点三考点四-23-考点一考点二考点三考点四思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关的问题?解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.-24-考点一考点二考点三考点四B A-25-考点一考点二考点三考点四-26-考点一考点二考点三考点四几何概型的几何概型的应应用用(模模拟拟方法方法)例4从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()C解析解析:如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.-27-考点一考点二考点三考点四思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率的近似值?解题心得将看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.-28-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练4如图所示,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300粒黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96粒,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32C-29-考点一考点二考点三考点四1.两种常见几何概型的解决方法:(1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时,一般是把这个变量看成一条线段或角,即可借助于线段(或角度)的度量比来求解.(2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.2.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关.-30-考点一考点二考点三考点四3.转化思想的应用:很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化成几何概型,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立平面直角坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式计算等.解决几何概型问题时,有两点容易造成失分:一是不能正确判断事件是古典概型还是几何概型;二是利用几何概型的概率公式时,忽视基本事件是否等可能.