第三节等比数列及其前n项和总纲目录教材研读1.等比数列的定义考点突破2.等比数列的通项公式3.等比中项考点二等比数列的性质及其应用考点二等比数列的性质及其应用考点一等比数列的基本运算4.等比数列的常用性质5.等比数列的前n项和公式6.等比数列前n项和的性质考点三等比数列的判定与证明考点三等比数列的判定与证明1.等比数列的定义等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(nN*).教材研读教材研读2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式等比数列an的通项公式为an=a1qn-1.3.等比中项等比中项若G2=ab(ab0),那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*).(2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),anbn,仍是等比数列.5.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.6.等比数列前等比数列前n项和的性质项和的性质公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.与等比数列有关的结论与等比数列有关的结论(1)an=amqn-m,an+m=anqm=amqn(m,nN*).(2)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN*).(3)若等比数列的项数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.(4)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,xq,xq3.1.已知an是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.-B.-2C.2D.答案答案D由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=,由得q3=,解得q=.故选D.D2.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=()A.4B.4C.4D.4答案答案B由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q=,则an=4.B3.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=()A.10B.25C.50D.75答案答案Ba7a12=5,a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.4.(2016北京丰台一模)已知等比数列an中a1=1,且=8,那么S5的值是()A.15B.31C.63D.64答案答案B=q3=8,q=2.又a1=1,S5=31.BB5.(2017北京海淀一模)已知等比数列an中,a2a4=a5,a4=8,则公比q=,其前4项和S4=.答案答案2;15解析解析设等比数列an的公比为q.a2a4=a5,a4=8,8a2=a2q3,q=2.a1=1,S4=15.6.(2017北京朝阳期中)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若a3=2,S4=5S2,则a1的值为,S4的值为.答案答案;解析解析当等比数列的公比等于1时,由a3=2,得S4=4a3=42=8,5S2=52a3=522=20,与题意不符.设各项均为正数的等比数列的公比为q(q0且q1),由a3=2,S4=5S2,得整理得解得或(舍).则S4=.典例典例1(2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.考点一等比数列的基本运算考点一等比数列的基本运算考点突破考点突破解析解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算求解能力.(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=.方法指导方法指导解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn=.1-1(2016北京西城期末)已知数列an是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=a2n,记Sn为数列bn的前n项和,证明:Sn.解析解析(1)设等比数列an的公比为q,因为a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列,所以即解得a1=8,q=.所以an=a1qn-1=8=24-n.(2)证明:因为=,所以数列bn是以b1=a2=4为首项,为公比的等比数列.所以Sn=.典例典例2(1)(2015北京海淀期中)若等比数列an满足a1+a3=5,且公比q=2,则a3+a5=()A.10B.13C.20D.25(2)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20=.(3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=.考点二等比数列的性质及其应用考点二等比数列的性质及其应用答案答案(1)C(2)50(3)34解析解析(1)a3+a5=a1q2+a3q2=(a1+a3)q2=522=20.(2)因为等比数列an中,a10a11=a9a12,所以由a10a11+a9a12=2e5,可得a10a11=e5.所以lna1+lna2+lna20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10lne5=50.(3)由题意可知q-1,故由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3(S9-S6),将S6=S3代入可得=.易错警示易错警示(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用.2-1已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为()A.-3B.3C.-3D.3答案答案C由题意知y2=3,y=,又y与-1,-3符号相同,y=-,又y2=xz,所以xyz=y3=-3.C2-2记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为()A.4B.7C.10D.12答案答案A因为an是等比数列,所以am-1am+1=,故由am-1am+1-2am=0,可知am=2(am=0舍去).由等比数列的性质可知前(2m-1)项积T2m-1=,22m-1=128,故m=4.A典例典例3(2016北京西城二模)已知数列an的前n项和Sn满足4an-3Sn=2,其中nN*.(1)求证:数列an为等比数列;(2)设bn=an-4n,求数列bn的前n项和Tn.考点三等比数列的判定与证明考点三等比数列的判定与证明解析解析(1)证明:4an-3Sn=2,当n=1时,4a1-3S1=2,所以a1=2;当n2时,4an-1-3Sn-1=2,由-,得4an-4an-1-3(Sn-Sn-1)=0,所以an=4an-1,由a1=2,得an0,所以=4,其中n2.故an是首项为2,公比为4的等比数列.(2)由(1)得an=24n-1.所以bn=an-4n=4n-1-4n.则bn的前n项和Tn=(40-4)+(41-8)+(4n-1-4n)=(40+41+4n-1)-(4+8+4n)=-=-2n2-2n.方法技巧方法技巧证明数列an(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义法,证明=q(n2,q为非零常数);二是等比中项法,证明=an-1an+1(n2).若判定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法.